5.3二次函数的应用（第三课时）课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，核心讲解销售利润最值模型的解题步骤，尤其“每…每…”模型。课堂通过“温故知新”回顾单件利润、总利润等公式，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于通过例1到例5分层递进的例题及合作探究，培养学生数学思维与模型意识，如例3分析降价与销量关系，强调自变量取值限制。课堂小结系统梳理公式与解题思路，助力学生提升实际问题解决能力，也为教师提供清晰教学路径。

北师大初中数学九年级上册 第五章二次函数 5.3二次函数的应用 （第三课时） 掌握利用二次函数性质，解决销售利润最值模型问题的基本解题步骤，尤其是“每…每…”模型；能够根据问题情境设出自变量，准确梳理数量关系，列出二次函数解析式。 理解实际问题中自变量的取值限制，明确理论顶点最值与实际最值的区别，掌握在区间内求最值的求解方法。 教学目标 重点：根据实际情境列二次函数解析式； 利用顶点公式求解理论最值；熟练掌握利润类模型的解题思路 难点：准确分析涨价、降价情境下利润与销量的变化关系；准确求自变量实际取值范围；区间类问题求解最值。 温故知新 单件利润=_______ __ - . 总利润=销售总额-________=单件利润× . 销售量 = 原销售量 ± 变化销量 销售额=售价 × 销售量 销售单价 单件成本 总成本 销售量 例1. 某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量 m（件）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系为 m=300-3x． （1）当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润； 新课讲解 (1) 当 m=45 时 由m=300-3x得 45=300-3x ∴x=85. ∴45×（85-60）=1125， 答：当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元； 例1. 某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量 m（件）与每件的销售价 x（元）之间的函数关系为 m=300-3x． （1）当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润； （2）如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 新课讲解 (2) 设销售利润为 y 元，根据题意得出 y=(x-60)(300-3x) =-3x2+480x-18000 答：当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元； =-3(x-80)2+1200 ∵-3＜0 当x=80时，利润最大，最大为1200： 例2. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y=kx＋b， 且x=65时，y=55；x=75时，y=45. 新课讲解 (1)求一次函数y=kx＋b的表达式; 解：(1)根据题意，得 , 解得 ∴一次函数的表达式为y=-x＋120. 例2. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y=kx＋b， 且x=65时，y=55；x=75时，y=45. 新课讲解 (2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ (2)根据题意，得W=(x-60)(-x＋120) =-x2＋180x-7 200 =-(x-90)2＋900. ∵-1＜0， ∴当x＜90时，W随x的增大而增大. 而60≤x≤87， ∴当x=87时，W最大=－(87－90)2＋900=891. ∴当销售单价定为87元/件时，商场可获得最大利润是891元． 新课讲解 例3.某服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件20元。根据市场调查，以单价26元批发给经销，商销商愿意经销5000件，并且表示每降价0.5元，愿意多经销500件。 请你帮助厂家分析，批发单价是多少时所获得的利润最大？是多少？ 01 合作探究 02 合作探究 03 合作探究 成本20元，批发单价26元，则销售一件T恤可获利多少？ 经销商经销5000件时，厂家可获利多少？ 04 合作探究 05 合作探究 为什么降价后经销商愿意多经销T恤衫？ 降价0.5元后，批发单价多少？销售量多少？利润多少？ 降价0.5x元后，批发单价多少？销售量多少？利润多少？ 可以无限降价吗？有什么限制吗？ 售价-进价=6元 6×5000=30000元 薄利多销 批发单价=26--0.5=25.5元 5000+500=5500件 5500（6-0.5）=30250元 新课讲解 例3.某服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件20元。根据市场调查，以单价26元批发给经销，商销商愿意经销5000件，并且表示每降价0.5元，愿意多经销500件。 请你帮助厂家分析，批发单价是多少时所获得的利润最大？是多少？ 05 合作探究 降价0.5x元后，批发单价多少？销售量多少？利润多少？ 可以无限降价吗？有什么限制吗？ 降价0.5x元后，批发单价为（26-0.5x）元， 销售量（5000+500x）件， 利润（5000+500x）（26-0.5x-20）元 不可以无限降价。6-0.5x≥0，∴0≤x≤12 新课讲解 例3.某服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件20元。根据市场调查，以单价26元批发给经销，商销商愿意经销5000件，并且表示每降价0.5元，愿意多购进500件。 请你帮助厂家分析，批发单价是多少时所获得的利润最大？是多少？ 解：设批发单价降低为0.5x元，利润为y元， 则批发单价为（26-0.5x）元， 销售量为（5000+500x）件， ∴y=（5000+500x）（26-0.5x-20） =-250（x-1）2+30250 解：设单价为x元，利润为y元， 则y＝（x﹣20）[5000+500× ] ＝﹣1000x2+51000x﹣620000． 对称轴为直线x＝25.5， ∵﹣1000＜0，20≤x≤26 ∴当x＝25.5时，y有最大值， 答：批发单价定为25.5元所获利润增大为30250元 ∵-250＜0,26-0.5x-20≥0，∴0≤x≤12 ∴当x=1时，y有最大值为30250元 答：批发单价是25.5元时，所获得的利润最大为30250元 你还有其他解法吗？ 关键技巧：设未知数的方式会影响函数表达的复杂程度。设降价金额为自变量，往往比设售价为自变量更简便。 例4. 某商店销售一种商品，平均每天可以销售20件，每件盈利12元．为了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，平均每天可以多卖5件． （1）若每件商品降价5元，每件商品盈利___元，则平均每天可卖___件商品，所得利润是_____元； （2）该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少？ 新课讲解 (2)解：设每件商品降价x元时，利润为w元， 则w=（12-x）（20+5x） ∵-5＜0， ∴当x=4时，W最大=320. ∴该商店想要一天的盈利最大，应降价4元， 所得的最大利润是320元．． 7 45 315 =-5x2＋40x-2400 =-5(x-4)2＋320 例5（2026•青岛）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间将近似满足二次函数关系y＝﹣x2+bx+c（13≤x≤24），部分数据见表： 产量x（万件） 总成本y（万元） … … 15 285 18 336 20 360 … … （1）求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式； 新课讲解 解：（1）把x＝15，y＝285和x＝20，y＝360分别代入 y＝﹣x2+bx+c得： 解得：b=50,c=-240 ∴y＝﹣x2+50x﹣240（13≤x≤24）； 例5（2026•青岛）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间将近似满足二次函数关系y＝﹣x2+bx+c（13≤x≤24），部分数据见表： 产量x（万件） 总成本y（万元） … … 15 285 18 336 20 360 … … （2）投产第一年，如果该产品每件 售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ 新课讲解 （2）设生产该产品x万件时，总利润为w万元， w＝20x﹣（﹣x2+50x﹣240） ＝x2﹣30x+240 ＝（x﹣15）2+15． ∴x＝24距离对称轴比x＝13距离对称轴远， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． ∵a=1＞0，对称轴为直线x＝15，13≤x≤24， ∴当x＝24时，w取得最大值， ∴w最大值＝（24-15）2+15=96， 答：生产该产品24万件时总利润最大， 最大总利润是96万元． 注意！！！ 例5（2026•青岛）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间将近似满足二次函数关系y＝﹣x2+bx+c（13≤x≤24），部分数据见表： 产量x（万件） 总成本y（万元） … … 15 285 18 336 20 360 … … （3）投产第一年，如果该产品每件 售价为m元时，总利润会随着产量x的增大而增大，则m的最小值是多少？ 新课讲解 （3）设生产该产品x万件时，总利润为w万元， w＝mx﹣（﹣x2+50x﹣240） ＝x2+（m﹣50）x+240 ∴对称轴为直线 ∵总利润随着产量x的增大而增大，且13≤x≤24， ∴ 解得：m≥24． ∴m的最小值为24． 同步练习 1.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的单价为800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是________人时，这个旅行社可以获得最大的营业额. 25 同步练习 2.某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件. 设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件. （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式； （3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 同步练习 解：（1）当50≤x≤80时，y=210-（x-50）， 即y=260-x; 当80＜x＜140时，y=210-（80-50）-3（x-80），即y=420-3x. 则y= （50≤x≤80), （80<x<140). （3）当50≤x≤80时，w=-x2+300x-10 400， 当x=80有最大值，最大值为7 200， 当80＜x＜140时，W=-3x2+540x-16 800， 当x=90时，有最大值，最大值为7 200， 故售价定为90元时，利润最大为7 500元. （2）由“利润=（售价-成本）×销售量”可以列出函数关系式 W=-x2+300x-10 400（50≤x≤80）, W=-3x2+540x-16 800（80＜x＜140）. 同步练习 3.（2026·大庆）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于40元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于55元，经市场调查发现，平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并写出x的取值范围； （2）求平均每天的销售利润w（元）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ （1）y＝﹣3x+240（40≤x≤55）； （2）w＝（﹣3x+240）×（x﹣40）＝﹣3（x﹣60）2+1200， ∵对称轴是直线x＝60，40≤x≤55）， ∴x＝55时，y的值最大，最大值＝1125（元）． 同步练习 4.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 分 析：相等关系是 客房日租金的总收入=_______________×_______________ 每间客房日租金 每天客房出租数 解：设每间客房的日租金提高x元，客房日租金的总收入为y元，则：每间客房日租金为________， 每天客房出租数为_________。 ∵-3/5＜0，0≤x＜200 ∴当x=20时， y有最大值为19440 答：日租金提高到180元总收入最高 你还有其他方法吗？ 参照教材144页例3 课堂小结 2、“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路: 设出自变量（如售价或降价幅度）； 用含自变量的代数式表示销售量及单件利润； 建立总利润的二次函数表达式； 求出最值及取得最值时自变量的值； 检验结果是否符合实际意义。 1、单件利润=_______ __ - . 总利润=销售总额-________=单件利润× . 销售额=售价 × 销售量 销售单价 单件成本 总成本 销售量 PART FOUR 04 单击此处添加您的文字内容 教学反思 主讲老师： 看 观 谢 谢