5.4二次函数与一元二次方程(第二课时） 课件

该初中数学课件聚焦“利用二次函数图象求一元二次方程近似解”，通过“温故知新”梳理二次函数与方程根的关系（交点、判别式、距离），再以问题导入衔接旧知与新知，搭建学习支架。 其亮点是采用“探究-验证-归纳”流程，结合几何直观（观察图象定根范围）和推理意识（计算函数值、求根公式验证），典型例题覆盖多情境，小结分步骤提炼方法。助力学生发展数学眼光与思维，教师可直接用结构化内容提升教学效率。

北师大版九年级上册 第五章 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程 第二课时 学习目标 1.利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.（重点） 2.体会用二次函数函数图象估计一元二次方程解的方法.（难点） 01 温故知新 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的交点 图象（a<0） 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 △=b2-4ac 有两个交点 （x1，0）（x2，0） x1，x2是方程两不等实根 △＞0 两交点间距离AB= AB 有一个交点, 是抛物线顶点 横坐标是方程的 两个相等的实根 △=0 交点为抛物线顶点（-,0） 没有交点 方程没有实数根 △＜0 若a＞0，抛物线完全在x轴上方， 函数值横正 若a＜0，抛物线完全在x轴下方， 函数值横负 x2 x1 x y O O x y O y x 02 引入新课 问题1:一元二次方程x2＋2x－10＝0的根与二次函数 y＝x2＋2x－10的图象(右图所示)与x轴交点的横坐标有什么关系？ 一元二次方程x2＋2x－10＝0的根是二次函数 y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标． 问题2：能否从图象中直接得到方程的根呢？ 根据图象我们很难准确地求出方程的解， 但可以利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 03.新课探究 探究：利用图象法求一元二次方程的近似根 二次函数y＝x2＋2x－10的图象如图 问题1、你能利用二次函数的图象估计 一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？ 由图象可知方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个根在-5和-4之间，另一个在2和3之间. x … -4.4 -4.3 -4.2 -4.1 … 2.1 2.2 2.3 2.4 … y … … 问题2、如何确定它们的十分位呢？ 0.56 -0.11 -0.76 -1.39 -1.39 -0.76 -0.11 0.56 … 利用计算器进行探索： 因此，x=-4.3是方程的一个近似根; x=2.3是方程的另一个近似根. 问题3、你能用我们学过的知识进行验证得出的结论是否正确吗？ 可以利用一元二次方程的求根公式进行验证. . ∴x1=,x2=. 用图象法求一元二次方程的近似根时，通常结果只取到十分位. 04.归纳总结 1、一次函数与一次方程的关系： （1）当x、y看成两个变量时，y=kx+b是一次函数； 当x、y看成两个未知数时，y=kx+b是二元一次方程； （2）一次函数y=kx+b上一个点的横纵坐标是 二元一次方程y=kx+b的一组解； 反之亦如此。 （3）一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标是 一元一次方程kx+b=0的解； 反之亦如此。 （4）一次函数y=kx+b与直线y=m的交点横坐标是 一元一次方程kx+b=m的解； 反之亦如此。 04.归纳总结 2、二次函数与一元二次方程的关系： （1）当x、y是两个变量时，y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数；当x、y是两个未知数时，y=ax2+bx+c(a≠0)是二元二次方程； （2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上的一个点横纵坐标是二元 二次方程ax2+bx+c=0的一组解； 反之亦如此。 （3）二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解； 反之亦如此。 （4）二次函数y=ax2+bx+c图象与直线y=m的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=m的解； 反之亦如此。 04.典型例题 例1：利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2－2x－1＝0的近似根(结果精确到0.1)． 解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1 的图象与x轴交点的横坐标． 作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示. 由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间，∴-1＜x1＜0，2＜x2＜3 先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04； 当x＝－0.5时，y＝0.25.（可以列表探究） 因此，x≈－0.4是方程的一个近似根， 同理，x≈2.4是方程的另一个近似根.即方程 x2－2x－1＝0的近似根为x1≈－0.4，x2≈2.4. 04.典型例题 例2：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.5 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－3.9，x2≈1.9 D．x1≈－3.5，x2≈1.5 分析：由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象可得 对称轴为x＝－1，而对称轴右侧部分图象与x轴交点的横坐标约为0.5， ∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1， 则＝－1，∴x1＝－2.5. 故x1≈－2.5，x2≈0.5. B 04.典型例题 例3：利用二次函数的图象求一元二次方程 －x 2＋2x－3＝－8的近似根． 分析：一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3直线y=－8交点对应的横坐标， 解：先作函数 y＝－x 2＋2x－3的图象，由图象可知方程 －x 2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x 2＋2x－3与直线 y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，右边的交点横坐标在3和4之间．即-2<x1<-1,3<x2<4 x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 利用计算器进行探索： ∴x1≈-1.4，x2≈3.4. 05 课堂小结 1、掌握利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤： 步骤1、作图：用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象； 步骤2、观察：估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标, 确定一元二次方程ax2+bx+c=0根或根的取值范围 步骤3、列表：利用计算器在根的范围内列表，计算出相应 的函数值，当相邻的y为两个异号值时，则可估计一元 二次方程ax2+bx+c=0的近似根为其中的y值更接近于0的 自变量x值。 05 课堂小结 2、理解利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=m的根取值范围的步骤： 步骤1、用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象 及直线y=m的图象； 步骤2、观察二次函数的图象与直线y=m的交点的横坐标, 确定一元二次方程ax2+bx+c=m根的值或根的取值范围。 06.课堂练习 1.下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(　 　) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 C 2.根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 C 3.如果用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．2.4 B．2.0 C．1.8 D．1.4 D 4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是x1＝1.2， 则另一个根x2＝________． －3.2 5.下表是一组二次函数 y＝x 2＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值： 那么方程x 2＋3x－5＝0的一个近似根是 . x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 1.2 6.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,则方程ax²+bx+c=0的两个根是____________, 若函数y＜0,则对应x的取值范围是___________； 若函数y>0,则对应x的取值范围是___________. x1=1, x2=3 1＜x＜3 那么方程x 2＋3x－5＝1的一个近似根是 . 1.4 x＜1或x＞3 教材153页数学理解 解：∵二次函数y=-x²+3x+1的图象与直线y=-x+4有两个交点，横坐标分别为 1和3 ∴方程-x²+3x+1=-x+4有两个实数根，为x1=1, x2=3 07 课后反思 谢谢观赏！ $