2.4.2　圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，涵盖方程形式、与标准方程互化、待定系数法求方程及轨迹方程求法等核心内容。课前通过微思考（如“方程x²+y²+Dx+Ey+F=0是否都表示圆”）衔接圆的标准方程，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于结合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，通过典例剖析（如已知圆面积求圆心）和规律总结（点与圆位置关系判断），呈现轨迹问题多种解法（如直角顶点轨迹用斜率乘积与圆定义法）。学生能提升运算与推理能力，教师可借助系统例题与训练高效开展教学。

2.4.2　圆的一般方程 目 标 素 养 1.探索并掌握圆的一般方程,提升数学抽象的核心素养. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化,提升逻辑推理的核心素养. 3.会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程,提升数学运算的核心素养. 4.初步掌握点的轨迹方程的求法,并能简单应用. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.圆的一般方程 当　D2+E2-4F>0　时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.其中圆心坐标为  　,半径为  　.  微思考1(1)所有形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程都表示圆吗? (2)方程x2+y2-2x+4y+1=0,x2+y2-2x+4y+6=0分别表示什么图形? 提示:(1)不是,只有当D2+E2-4F>0时才表示圆. (2)对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方,得(x-1)2+(y+2)2=4,表示以 (1,-2)为圆心,2为半径的圆.对方程x2+y2-2x+4y+6=0配方,得 (x-1)2+(y+2)2=-1,不表示任何图形. 2.轨迹方程 (1)点M的轨迹方程是指　点M的坐标(x,y)　满足的关系式.  (2)轨迹是指点在运动变化过程中形成的　图形　.在解析几何中,我们常常把图形看作　点的轨迹(集合)　.  (3)求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过　“坐标化”　将其转化为关于变量x,y之间的方程.  微思考2已知定点A(2,2),动点M(x,y)满足|MA|=1,则点M的轨迹方程是什么? 提示:由题意知,满足条件的点M的轨迹是以点A(2,2)为圆心,1为半径的圆,所以有(x-2)2+(y-2)2=1,即点M的轨迹方程是 (x-2)2+(y-2)2=1. 课堂·重难突破 一 圆的一般方程的概念 典例剖析 1.(1)若圆x2+y2+2x+ky+k-1=0的面积是π,则该圆的圆心坐标为 (　　). A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(-1,2) D.(-1,-2) (2)已知点P(1,2)在圆C:x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部,则实数k的取值可能是(　　). A.-3 B.-2 C.1 D.2 答案:(1)B　(2)C 解析:(1)因为圆的面积等于π,所以圆的半径r=1,即=1,解得k=2,则圆的方程为x2+y2+2x+2y+1=0,圆心坐标为(-1,-1),故选B. (2)由题意可得解得-2<k<2,只有1∈(-2,2),故选C. 规律总结　 学以致用 1.(1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标为　　　　,半径为　　　　.  (2)若点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线 x-y+1=0对称,则该圆的面积为　　　　.  答案:(1)(-2,-4)　5　(2)9π 解析:(1)由圆的一般方程的形式,知a+2=a2,解得a=2或-1. ∴a=2不符合题意. 当a=-1时,方程可化为x2+y2+4x+8y-5=0, 即(x+2)2+(y+4)2=25, ∴圆心坐标为(-2,-4),半径为5. 二 求圆的一般方程 典例剖析 2.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1). (1)求△ABC的外接圆的方程; (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求实数a的值. 解:(1)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0. (2)由(1)知△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0, ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上, ∴a2+22-8a-2×2+12=0, 即a2-8a+12=0, 解得a=2或6. 学以致用 2.已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为 4 ,求圆的方程. 解: (方法一)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将点P,Q的坐标分别代入上式, 令x=0,得y2+Ey+F=0,③ 故圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0. (方法二)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x-y-1=0, ∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上, 设其圆心坐标C(a,a-1). 代入①式整理得a2-6a+5=0, 解得a1=1,a2=5, 故圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37. 三 与圆有关的轨迹问题 典例剖析 3.已知Rt△ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0),求直角顶点C的轨迹方程. 解:(方法一)设直角顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1. 故直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1). (方法二)设斜边AB的中点为D,由中点坐标公式得点D(1,0). 由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2. 由圆的定义知,动点C的轨迹是以点D(1,0)为圆心,以2为半径的圆(因为A,B,C三点不共线,所以除去与x轴的交点). 设点C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且 x≠-1). 规律总结 求轨迹方程的三种常用方法: (1)直接法:根据题目条件,先建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,再化简、证明. (2)定义法:当动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,则先把x1,y1用x,y表示,再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中,得点P的轨迹方程. 学以致用 3.已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 解:设另一端点C的坐标为(x,y). 依题意,得|AC|=|AB|. 又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,且B,C不能为圆A的一条直径的两个端点. 因为B,C不能重合,所以点C不能为(3,5). 又因为B,C不能为一条直径的两个端点, 故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)),它的轨迹是以点A(4,2)为圆心, 为半径,除去(3,5)和(5,-1)两点的圆. 随堂训练　 1.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2+6x+8y=0,则下列说法正确的是(　　). A.圆M的圆心坐标为(3,4) B.圆M的半径为5 C.点(-6,-8)不在圆M上 D.圆M关于直线x-y-1=0对称 答案:BD 2.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(　　). A.点 B.直线 C.线段 D.圆 答案:D 解析:∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0), ∴(1-a)2+(0-b)2=1.∴(a-1)2+b2=1.∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆. 3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围是 (　　). 答案:B 4.若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则实数a,b,c的值依次为(　　). A.-2,4,4 B.-2,-4,4 C.2,-4,4 D.2,-4,-4 答案:A 5.如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程. 解:设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),因为点C的坐标 即x0=8-x,y0=6-y.① 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4, 把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4, 整理,得(x-9)2+(y-6)2=4. 所以端点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4. 谢谢 $