2.4.2 圆的一般方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，涵盖概念、条件、圆心半径及待定系数法、轨迹问题等核心知识点。课堂导入从圆的标准方程展开引出一般方程，通过“是否都表示圆”的问题建立与旧知联系，搭建学习支架。 其亮点在于问题驱动探究，如情境导入问题培养数学抽象与逻辑推理，例题一题多解（如方程辨析用配方法和系数法）提升数学运算，轨迹问题分直接法、定义法等教学（如直角三角形顶点轨迹）发展直观想象。帮助学生构建知识体系，教师可高效实施教学。

2.4.2　圆的一般方程 第二章　直线和圆的方程 1 课标要求 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）. 2.掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）. 情境导入 　　前面我们已学习了圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆吗？ 目 录 CONTENTS 知识点一　圆的一般方程的概念 知识点二　求圆的一般方程 提能点　与圆有关的轨迹问题 小结与自测 课时作业 知识点一　圆的一般方程的概念 目录 5 问题　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条件？ 提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，（x＋ ）2＋（y＋ ）2＝ ，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 概念：当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0叫做圆的一般方程. 2. 圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆 心为 　（－ ，－ ）　，半径长为 　 　. 提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2 的系数相同且不为0，xy的系数为0. D2＋E2－4F＞0　 （－ ，－ ）　 　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2 ＋E2－4F＜0时呢？ 提示：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－ ，－ ）. 当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 数学·选择性必修第一册 目录 判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及 半径： （1）2x2＋y2－7y＋5＝0； 解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆. （2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； 解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆. （3）x2＋y2－4x＝0； 解：方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2 的圆. 数学·选择性必修第一册 目录 （4）x2＋y2－4ax－2 ay＋6a2＝0； 解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－ a）2＝a2. 当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆； 当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a， a），半径是｜a｜的圆. （5）〔一题多解〕4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0. 解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋ ＝0， 法一　由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何图形. 法二　方程可变形为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝－ ，故方程不表示任何 图形. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 圆的一般方程的辨析 （1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配 方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆； （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的 关系，确定它是否表示圆. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　（1）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则 （　BD　） A. m＝－1 B. m＝1 C. 圆心为（－1，－2） D. 圆心为（1，－2） 解析：根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋ 2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为 ，若其直径为4，则 ＝2，解得m＝1.故选B、D. BD 数学·选择性必修第一册 目录 （2）方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围 为 ⁠. 解析：方程表示圆⇔ 1＋1－4k＞0⇔k＜ . （ －∞， ） 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　求圆的一般方程 目录 14 （链接教材P86例4）已知△ABC的三个顶点分别是点A（2，2），B （5，3），C（3，－1）. （1）求△ABC的外接圆的一般方程； 解：设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F ＞0），由题意得 解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）点M（a，2）在△ABC的外接圆上，试求a的值. 解：因为点M（a，2）在（1）所求的圆上，故点M（a，2）的坐标满足 圆的方程，可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝ 2或a＝6. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； （2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； （3）解此方程组，求出D，E，F的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　求满足下列条件的圆的一般方程： （1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且 圆心在第二象限，半径为 ； 解：由题意得圆心C（－ ，－ ）， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－ － －1＝0，即D＋E＝－2，　① 又半径r＝ ＝ ， ∴D2＋E2＝20，　② 数学·选择性必修第一册 目录 由①②可得 或 又圆心在第二象限，∴－ ＜0，－ ＞0，即D＞0，E＜0. ∴ ∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距 之和为－2. 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）. ∵圆经过点（4，2）和（－2，－6）， ∴ 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故 x1＋x2＝－D. 数学·选择性必修第一册 目录 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故 y1＋y2＝－E. 由已知，得－D＋（－E）＝－2， 即D＋E－2＝0.　③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 提能点　与圆有关的轨迹问题 目录 22 角度1　直接法求轨迹方程 求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的2倍的点M的轨 迹方程. 解：设点M的坐标是（x，y）， 则 ＝2.∴ ＝2. 化简，得x2＋y2－8x＋12＝0， 即所求轨迹方程为x2＋y2－8x＋12＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 角度2　定义法求轨迹方程 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求直角顶 点C的轨迹方程. 解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）. 由直角三角形的性质，知｜CD｜＝ ｜AB｜＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆 （因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3， 且x≠－1）. 数学·选择性必修第一册 目录 角度3　代入法求轨迹方程 （链接教材P87例5）已知点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，P是 圆上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程. 解：设线段AP的中点为M（x，y）， 由中点坐标公式，得点P的坐标为（2x－2，2y）. ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴（2x－2）2＋（2y）2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1. 数学·选择性必修第一册 目录 变式　若本例条件不变，如图，点B（1，1）是圆内一点，Q为圆上的动 点，若∠PBQ＝90°，如何求线段PQ的中点N的轨迹方程？ 解：设线段PQ的中点为N（x，y）， 在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜， 连接ON（图略），则ON⊥PQ， ∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2， ∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 求与圆有关的轨迹方程的3种方法 数学·选择性必修第一册 目录 提醒：（1）弄清题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，若求 的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；（2）要 考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形. 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　（2026·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半. （1）求动点M的轨迹方程； 解：设动点M的坐标为（x，y）. 因为A（2，0），B（8，0），｜MA｜＝ ｜MB｜. 所以（x－2）2＋y2＝ [（x－8）2＋y2]. 化简得x2＋y2＝16. 即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹. 解：设点N的坐标为（x0，y0）， 因为A（2，0），N为线段AM的中点， 所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）. 又点M在圆x2＋y2＝16上， 所以（2x0－2）2＋4 ＝16， 即得（x0－1）2＋ ＝4. 所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆. 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 31 数学·选择性必修第一册 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程. （　√　） （2）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆. （　×　） （3）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程. （　×　） （4）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. （　√　） √ × × √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. （2026·天津高二月考）圆x2＋y2＋2x－2y＝1的圆心和半径分别是 （　　） A. （1，－1）；1 B. （1，－1）； C. （－1，1）；1 D. （－1，1）； 解析：将该圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝3，所以圆心为（－1，1），半径为 .故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. （2026·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P 满足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（　　） A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 半圆 解析：设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴ ＝2 ，两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝4.∴P的轨迹为圆.故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目录 4. 已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5）， 则△ABC的外接圆方程为 ⁠. 解析：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵点A，B， C在圆上， ∴ 解得 ∴△ABC的外接圆方程 为x2＋y2－2x＋2y－23＝0. x2＋y2－2x＋2y－23＝0 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 37 1. 已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－2，3），则D，E分 别为（　　） A. D＝4，E＝－6 B. D＝－4，E＝－6 C. D＝－4，E＝6 D. D＝4，E＝6 解析：　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－ ，－ ），又已 知该圆的圆心坐标为（－2，3），∴－ ＝－2，－ ＝3，∴D＝4，E＝ －6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点（1，－1）的圆的方程是 （　　） A. x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B. x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C. x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D. x2＋y2－4x－6y－4＝0 解析：　依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由于所求 圆过点（1，－1），所以1＋1－4－6＋m＝0，解得m＝8，所以所求圆的 方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 若点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围 是（　　） A. （－2，＋∞） B. ［－2，－ ］ C. （－2， ） D. （－2，2） 解析：　因为点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满 足 解得－2＜k＜ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. 圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋ y2－4x＋3＝0，则a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（ ，1），圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有 ×1＝－1，解得a＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心 的轨迹是（　　） A. 点 B. 直线 C. 线段 D. 圆 解析：　∵圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），∴（1－ a）2＋（0－b）2＝1，∴（a－1）2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是圆心 为（1，0），半径为1的圆. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕已知圆的方程为x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有 （　　） A. 关于点（2，0）对称 B. 关于直线y＝0对称 C. 关于直线x＋3y－2＝0对称 D. 关于直线x－y＋2＝0对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：x2＋y2－4x－1＝0⇒（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为 .选项A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以A正确；选项B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B正确；选项C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C正确；选项D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D不正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4 为半径的圆，则下列结论正确的是（　　） A. F＝4 B. 点（0，1）在圆外 C. 圆与y轴相切 D. 点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：由题知 解得D＝－4，E＝8，F＝4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，C错误；因为圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点（2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m＝ ⁠. 解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－ 2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋ 4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积 最小. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段 AB的中点M的轨迹方程为 ⁠. 解析：设M（x，y），因为△AOB是直角三角形，所以｜OM｜＝ ｜ AB｜＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9 即为所求. x2＋y2＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）求满足下列条件的圆的一般方程： （1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点； 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得 解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）〔一题多解〕圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3， 0）两点. 解：法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－ ，－ ）. 因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点， 所以 解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 法二　因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点， 所以圆心在直线x＝1上. 又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）. 所以圆的半径为 ＝ ， 所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5. 所以圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. （2026·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有 的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　） A. （－∞，－2） B. （－∞，－1） C. （1，＋∞） D. （2，＋∞） 解析：由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴ 解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C. 若∠ACB＝ ，则实数m＝（　　） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 解析：　∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－ m，∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝ .由∠ACB＝ 可得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝ r，解得r＝2 ，∴ ＝ 2 ，解得m＝－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 〔一题多解〕设定点M（－3，4），动点N在圆O：x2＋y2＝4上运 动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP（O为坐标原点），则点P的 轨迹方程为 ⁠. （x＋3）2＋（y－4）2＝4（ x≠－ ，且x≠－ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：法一（定义法）　设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜ON｜＝ 2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋（y－4）2 ＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点不共线.当 点P在直线OM上时有 或 因此点P的轨迹方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝4（ x≠－ ，且x≠－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 法二（代入法）　如图所示，设点P（x，y），N（x0， y0），则线段OP的中点坐标为（ ， ），线段MN的中 点坐标为（ ， ）.由于平行四边形的对角线互相 平分，故 从而 又点N（x＋3， y－4）在圆x2＋y2＝4上，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.当点P在直线OM上时，有 或 因此点P的轨迹方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝4（ x≠－ ，且x≠－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，－2），且圆 心C在直线l：x－y＋1＝0上. （1）求圆C的方程； 解：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D （ ，－ ）. 又kAB＝－3，所以km＝ ，所以直线m的方程为x－3y－3＝0. 由 得圆心C（－3，－2）， 则半径r＝｜CA｜＝ ＝5， 所以圆C的方程为（x＋3）2＋（y＋2）2＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）线段PQ的端点P的坐标是（5，0），端点Q在圆C上运动，求线段 PQ的中点M的轨迹. 解：设点M（x，y），Q（x0，y0）. 因为点P的坐标为（5，0）， 所以 即 又点Q（x0，y0）在圆C：（x＋3）2＋（y＋2）2＝25上运动， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 所以（x0＋3）2＋（y0＋2）2＝25， 即（2x－5＋3）2＋（2y＋2）2＝25， 整理得（x－1）2＋（y＋1）2＝ ， 即线段PQ的中点M的轨迹为以（1，－1）为圆心，半径为 的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0， a∈R. （1）当a取何值时，方程表示圆； 解：当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，方程为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ ，因为 ＞0，所以a≠－1时方程表示圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点； 解：证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0. 对于a取任何值，上式成立，则有 解得 或 所以C过定点A（0，0），B（ ，－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值. 解：由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小， 从而得以AB为直径圆的方程为 （x－ ）2＋（y＋ ）2＝ ， 所以 ＝ ， ＝ ， ＝ ， 解得a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $