第2章 2.4.2 圆的一般方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，通过类比直线方程一般式，提出二元二次方程能否表示圆等问题，衔接圆的标准方程，构建从已知到未知的知识支架。 其亮点在于以问题驱动和实例分析，引导学生用数学眼光观察方程特征，通过数学思维推理方程表示圆的条件，结合待定系数法和轨迹问题实例（如菱形顶点求圆方程），用数学语言表达几何关系。小结明确核心要点，助力学生发展逻辑推理与应用意识，教师可高效开展教学。

2．4.2　圆的一般方程 课标要求 1.掌握圆的一般方程及其特点．　2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小．　3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 返回导航 还记得直线方程的各种特殊形式吗？最终都可以化为一般式方程，类似的，我们学习了圆的标准方程，圆的方程是否还有其他形式？例如，给出如下方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，常数A，B，C，D，E，F适当取值，能表示直线吗？能表示二次函数对应的抛物线吗？能表示圆吗？圆的标准方程与上述方程有何关系？这就是这节课我们需要解决的问题． 返回导航 新课导入 思考1　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可否化为二元二次方程的一般形式？ 提示：可以，展开转化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 思考2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？举例说明． 提示：不一定，如x2＋y2＝0，表示坐标原点O(0，0)；如x2＋y2＋1＝0，不能表示任何曲线． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点一　圆的一般方程 第一部分 6 1．当_________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆，我 们把这个方程叫做圆的一般方程，其圆心坐标为__________，半径为 _______________________．  2．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点__________． 3．当______________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． D2＋E2－4F＞0 D2＋E2－4F＜0 返回导航 即时练 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0是圆的方程．(　　) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则有E≠0.(　　) (4)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．(　　) √ × √ × 返回导航 2．(2026·宿州期中)圆x2＋y2＋4x＋2y＝0的圆心坐标是(　　) A.(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，2) D．(2，1) 解析：圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y＝0，所以圆心坐标为(－2，－1). B　 返回导航 3．设实数a＞0，圆C：x2＋y2－4x＋ay＝0的面积为8π，则a＝________． 4 返回导航 4．若点P(1，2)在圆：x2＋y2－6x＋4y－2a－1＝0的外部，则a的取值范围为________． (－7，3) 返回导航 【感悟提升】　判断二元二次方程表示圆的两种方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的关系，确定它是否表示圆． 注意　在利用D2＋E2－4F来判断二元二次方程是否表示圆时，x2与y2的系数均为1. 返回导航 知识点二　求圆的一般方程 第二部分 13 例1　(对接教材例4)在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A(0，4)和C(6，2)，AB所在直线的方程为2x＋y－4＝0. (1)求对角线BD所在直线的方程； 返回导航 (2)求过A，C，D三点的圆的方程． 返回导航 返回导航 【感悟提升】　待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组． (3)解此方程组，求出D，E，F的值． (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 返回导航 训练 D　 返回导航 返回导航 2．已知圆C的圆心在直线3x＋2y＝0上，且圆C与x轴的交点分别为(－2，0)，(6，0)，则圆C的方程为_____________________． x2＋y2－4x＋6y－12＝0 返回导航 应用点　与圆有关的轨迹问题 例2　(对接教材例5)已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P为圆上异于点A的一个动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 【解】　设线段AP的中点M(x，y)(0≤x<2)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤x<2). 返回导航 (2)求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 返回导航 返回导航 母题探究　本例条件不变，若Q也是圆x2＋y2＝4上的动点，且∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解：设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，OP(图略)， 则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 返回导航 【感悟提升】　求轨迹方程的三种常用方法 返回导航 B　 训练 返回导航 返回导航 2．已知定点B(－2，1)和点C(3，2)，Rt△ABC以BC为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为______________________________________________． 返回导航 课堂巩固自测 1．(2026·南通月考)圆x2＋y2＋6x＝0的半径为(　　) A．3 B．6 C．9 D．36 解析：x2＋y2＋6x＝0可化为(x＋3)2＋y2＝9，所以圆的半径为3. A　 返回导航 2．(多选)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 AB　 返回导航 3．圆心在直线y＝x上，且经过点P(3，1)，Q(1，－1)的圆的一般方程为____________________________． x2＋y2－2x－2y－2＝0 返回导航 返回导航 (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 返回导航 1．已学习：圆的一般方程与动点的轨迹方程． 2．须贯通：待定系数法求圆的一般方程体现方程思想，求动点的轨迹方程的常用方法有定义法、直接法、相关点法等． 3．应注意：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时，要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件． 课堂小结 返回导航 $