湖北武汉市第十二中学2026-2027学年上学期高二数学周测试卷9.12

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦空间向量与概率核心知识，通过基础题（如互斥事件概率）、能力题（如正方体动点夹角）及创新题（如概率与组合综合），分层考查数学眼光、思维与语言，适配高二周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量方向向量、独立事件概率|结合正方体模型考查直线所成角（空间观念）| |多选题|3/18|四面体向量表示、直三棱柱向量投影|比赛情境中考查概率综合判断（数据意识）| |填空题|3/15|四点共面条件、空间距离计算|向量法与几何法结合求距离（运算能力）| |解答题|5/77|平行六面体向量运算、正四面体动点参数|设置动点范围问题，考查推理与建模能力（模型观念）|

高二数学周测试卷（9月12日） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 3．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 4．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 5．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设设，，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 11．甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12．已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．（本小题13分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求： (1)甲复原三次，第三次才成功的概率； (2)甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率． 16．（本小题15分）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，.(1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 17．（本小题15分）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 18．（本小题17分）如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 19．（本小题17分）如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 试卷第1页（共3页） 《2026-2027学年度高二数学9月12日周测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D C C C C B B BD BCD CD 1【详解】依题意，直线l的一个方向向量为. 2．【详解】由和对立，可得，则，又由随机事件和互斥可知， 所以. 3【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 4．【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确；对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 5．【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角，连接，且， 在中，，. 6．【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ，则，故C正确. 7．B【详解】由题意可知，在张卡片中抽取张，所有可能情况有种， 当时，即，由于是在不同卡片上取出的数字，所以的情况不存在，即的情况不存在， 当时，则是相邻的两个数字，那么的可能情况有，共种情况， 当时，则相差，那么的可能情况有，共种情况， 所以的可能情况数有种， 根据古典概型概率公式得，已知，即，由于，直接化简得，即，解得， 又因为为整数且，所以，因此的最大值是，故B正确. 8．B【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，，其中，， 则，，∵，∴，得 ∵，∴，由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 9．BD【详解】由向量的平行四边形法则，得，故A错误； 由向量的平行四边形法则和三角形法则，得 ，故B正确；因为点在线段上，且，所以，所以，故C错误； ，故D正确． 10．BCD【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以.所以 .对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误；对于选项B，向量在向量上的投影向量为， 故B正确；对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 11．CD【分析】A利用概率的乘法公式和加法公式计算；B利用对立事件的概率公式计算；C结合AB选项，再利用对立事件的概率公式计算；D解不等式即可. 【详解】A选项，甲得4分意味着甲赢局，输局，其概率为，故A错误； B选项，甲全部赢的概率为，则乙至少赢一场的概率为，故B错误； C选项，由AB选项知，甲获胜的概率为， 故乙赢得比赛的概率为，故C正确； D选项，要使甲获胜的概率大，则，得，则的取值范围，故D正确. 12．4【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 13． 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 14．13 法一：(向量法)由可得， 又因为，线段AB，BD在平面内，所以,, 所以，故,即C，D两点间的距离为13. 法二：（几何法）如图，在长方体中，， 又因为 所以，，即C，D两点间的距离为13. 15．(1)0.032 (2)0.92 【详解】（1）记“甲第次复原成功”为事件，“乙第次复原成功”为事件， 依题意，，． “甲第三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立， ． （2） “甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件． （3） 所以． 16．(1) (2) 【详解】（1）因为 ，又，所以，所以； （2）因为， ，所以，. 17．【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ，所以. (2)由题意知，，因为，所以， 所以，， ，不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 18．(1)(2)． 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则，    所以，，，得． （2）因为，且，，设，，， 所以，    得，即，    故，即，所以长度的取值范围为． 19．(1) (2)1(3)或． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解； （2）利用空间向量的线性运算得到，然后利用三点共线求出，最后利用空间向量数量积的运算律结合余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出，解方程即可求解. 【详解】（1）在中，，，． （2）设，由（1）可知，，，， ，，三点共线，，，， ，由余弦定理可得， ，． （3）设，由余弦定理可得，由正四面体得， ， ，化简得，解得或，或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $