曾都一中2026-2027学年高二上学期数学9月份第二周周测训练

**基本信息** 聚焦概率统计、三角、空间向量立体几何的跨模块整合，以题载法构建“概念辨析-运算推理-实际应用”逻辑链条，渗透数学思维与数据观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率统计|4（第1/4/7/9题）|事件判断、频率分布、分层抽样与概率计算|事件分析→概率计算→实际应用| |三角|1（第8题）|解三角形与面积最值|边角关系→三角恒等变换→基本不等式求最值| |空间向量立体几何|5（第2/3/5/6/10题）|线面角、基底判断、投影向量、空间向量运算与最值|空间向量表示→位置关系判断→度量计算|

曾都一中2026年秋高二数学强化训练小卷二 时间：2026-09-15 内容：概率统计三角，空间向量立体几何 班级：高二（ ）班 姓名：______________ 考号：___________________ 一、单选题 1. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张相同的卡片中，不放回随机抽取2张.设事件：“两张卡片数字之和为偶数”，事件：“两张卡片数字之积为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 【详解】事件：“两个奇数”或“两个偶数”；事件：“1个奇数1个偶数”或“两个偶数”； 可得：，且事件与事件不互斥； ：即2个偶数，故即事件与事件不相互独立；：包含所有基本事件，故.故选 D. 2. 在直三棱柱中,,,.是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 二、多选题 3．下列命题中，正确的是（  AC   ） A．若空间三个向量，满足，则向量共面 B．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 C．在四面体中，若，则 D．已知四点共面，对平面ABC外的任意一点，若，则 4．在下列关于概率的命题中,错误的是( ) A．若事件满足,则为对立事件 B．若事件满足,事件和事件互斥,则 C．若事件满足,则相互独立 D．若事件与是互斥事件,则与也是互斥事件 【答案】ABD 三、填空题 5．已知，，则在上的投影向量为_____. 【答案】 6． 在正四棱台中，，，，设，，，则______． 【答案 】 四、解答题 7．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了 100名候选者的面试成绩并分成五组:第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数)； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自不同组的概率. 解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，则， 解得，又因，解得. 故候选者面试成绩的平均数为：； 因前2组的频率之和为，前3组的频率之和为， 故中位数在第3组，设为，依题意，，解得； （2）由图知，第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为， 第五组志愿者人数为1，设为，从这5人中选出2人，所有情况有共10种， 其中选出的两个来自不同组的情况有共4种，故选出的两个来自不同组的概率为. 8．在中,,,分别是角,,所对的边,且满足. (1)求角的大小; (2)若为边上的一点,平分且,求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由可知,得,于是, 即,则为锐角,所以 (2) 即得, , ,当且仅当时取等号, ,故面积的最小值为 9．甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，乙、丙射击一次击中目标的概率均为，且任意两次射击互不影响． (1)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (2)若乙至少有一次击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？ （参考数据：） 【详解】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率为； （2）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以， 所以， 又为正整数，所以，即乙至少要射击12次． 10．在空间直角坐标系中，已知点，，. (1)设，，若与互相垂直，求的值； (2)若点P在直线上运动，求当的值最小时，P点的坐标. 【详解】（1）由题意知， ， 所以， . 又与互相垂直， 所以， 解得. （2）因为点在直线上移动，所以存在实数使得 所以， ， 所以 ， 当且仅当时，上式取得最小值， 所以当的值最小时，点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都一中2026年秋高二数学强化训练小卷二 时间：2026-09-15 内容：概率统计三角，空间向量立体几何 班级：高二（ ）班 姓名：______________ 考号：___________________ 一、单选题 1. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张相同的卡片中，不放回随机抽取2张.设事件：“两张卡片数字之和为偶数”，事件：“两张卡片数字之积为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 2. 在直三棱柱中,,,.是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A． B． C． D． 二、多选题 3．下列命题中，正确的是（    ） A．若空间三个向量，满足，则向量共面 B．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 C．在四面体中，若，则 D．已知四点共面，对平面ABC外的任意一点，若，则 4．在下列关于概率的命题中,错误的是( ) A．若事件满足,则为对立事件 B．若事件满足,事件和事件互斥,则 C．若事件满足,则相互独立 D．若事件与是互斥事件,则与也是互斥事件 三、填空题 5．已知，，则在上的投影向量为_____. 6． 在正四棱台中，，，，设，，，则______． 四、解答题 7．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了 100名候选者的面试成绩并分成五组:第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数)； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自不同组的概率. 8．在中,,,分别是角,,所对的边,且满足. (1)求角的大小; (2)若为边上的一点,平分且,求面积的最小值. 9．甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，乙、丙射击一次击中目标的概率均为，且任意两次射击互不影响． (1)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (2)若乙至少有一次击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？ （参考数据：） 10．在空间直角坐标系中，已知点，，. (1)设，，若与互相垂直，求的值； (2)若点P在直线上运动，求当的值最小时，P点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $