等比数列及其前n项专题练习2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦等比数列核心概念与性质，通过分层题型构建"定义-性质-应用"逻辑链，强化数学建模与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-4、填空12|基本量法、分类讨论公比|通项公式→前n项和公式→中项性质| |性质应用|选择5-8、多选9-11|等比数列片段和性质、单调性判定|定义推导→性质拓展→充要条件论证| |实际建模|选择6、填空13|复利计算模型、传染数递推|实际问题→数学抽象→数列模型构建| |综合证明|解答15-19|错位相减法、数学归纳法|概念辨析→推理证明→综合应用|

等比数列及其前n项和 一、选择题 1．等比数列的前项和为，，，则（    ）A．12B．15 C．24 D．48 2．设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 3．在等比数列中，，，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 4．等比数列中的，是方程的两个根，则（    ）A． B．1015 C． D．1014 5．已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 7．若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ）A． B．2 C． D． 8．已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ）A． B． C． D． 二、选择题 9．设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有，则下列说法正确的是（    ） A．B．C．D． 10．在等比数列中，，，则（    ）A．的前12项积为B．的前8项和为C．是公比为4的等比数列D．的前n项和为 11．已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（   ） A．数列为等差数列B．数列为等比数列C．数列的通项公式为 D．数列的前 项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等比数列中，，，则的值为________ 13．小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 14．设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小自然数等于199，其中正确结论的编号是________． 四、解答题 15．已知数列为等比数列．(1)若，且求的值；(2)若求数列的通项公式． 16．已知数列前项和满足，且． (1)求；(2)求数列的前项和以及数列的通项公式． 17．记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前n项和. 18．已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式；(2)求使成立的的取值范围. 19．甲､乙两个容器中分别盛有浓度为的某种溶液，同时从甲､乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，经次调和后，甲､乙两个容器的溶液浓度分别为．(1)试用表示． (2)证明：数列是等比数列，并求出的通项． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 【答案】D 设等比数列的公比为， 当时，，所以， 由得， 解得，所以. 2．设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 【答案】B 由题，， 根据等比数列的性质，，成等比数列， 故， ， 所以. 3．在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 设等比数列的公比为，，通项公式为（）, 将、代入，得： ， 由于等比数列首项，等式两边同除以，整理得： 解得或， 已知，且，故，舍去，得， 由，代入得，解得， 因此. 4．若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 【答案】C 由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 5．已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A ① 充分性证明：对任意，等比数列通项为， 若，，则， 由，，，可得，即， 严格单调递增，充分性成立； ② 必要性验证：若严格单调递增，存在反例：取，公比，此时数列通项公式为， 所以， 所以数列严格单调递增，但不满足且，故必要性不成立； 综上，“，”是“数列严格单调递增”的充分非必要条件． 6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 7．若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 8．已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 对任意的，，设等比数列的公比为，则， 因为，则，所以，即， 因为，所以，即，故数列单调递增，所以， 故当且时，；当且，. 所以当时，最小. 故选：C. 二、选择题 9．设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 对于A，由，则当时，，故A正确； 对于B，，则， 两式相减有：， 即，故B正确； 对于C，由递推关系可得， ，故C错误； 对于D，， 且， 所以数列是以6为首项，以2为公比的等比数列， 则，故D正确． 10．在等比数列中，，，则（    ） A．的前12项积为 B．的前8项和为 C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为 【答案】AC 为等比数列，q为公比，由，， 则，，解得，，， A．，所以A正确； B．为等比数列,首项为2,公比为,前8项和为,故B错误； C．，故C正确； D．，所以是首项为,公比为2的等比数列,前n项和为,故D错误． 11．已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（   ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．数列的通项公式为 D．数列的前 项和 【答案】BD 选项 A ：计算得 ， 公差不相等，故 不是等差数列，A错误； 选项B：由 变形得 ，即 ，且 ， 因此 是首项为 2 、公比为 2 的等比数列，B正确； 选项C：由等比数列通项公式得 ，不是 ， C 错误； 选项D：先化简通项： ，故 ， 前项和裂项相消得 ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等比数列中，，，则的值为________ 【答案】 设等比数列的公比为， 因为，，，所以， 两式相除得，所以，所以， 所以，解得，代入， 得，解得，， 所以. 13．小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 【答案】86.9 设每月还款元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为元， 则， 可得， 整理得. 14．设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小自然数等于199，其中正确结论的编号是________． 【答案】①③④ 因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，.则 ，所以，故结论①正确； ，故结论②错误； ，故结论③正确； ， 又因为，所以使成立的最小自然数等于199，故结论④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． （1）因为，则，即， 又因为，所以. （2）因为，则，可得， 设数列的前3项依次为，则有， 整理得，解得或， 此时或，所以或 16．已知数列前项和满足，且． (1)求； (2)求数列的前项和以及数列的通项公式． （1）由于， 代入可得：，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）因为，所以， 当时，， 经检验，当时不符合上式， 因此，数列的通项公式为 17．记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. (1)证明：令时，，即得， 当时，①，②， 由①②得，，又由，又，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2），， 因为，所以， ， 两式相减得： ， 所以. 18．已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值范围. （1）设等比数列的公比为，， 当时，，不符合题意，所以， 所以，，成等比数列，且公比为， ，所以，， 所以. （2）由（1）知，， 所以由可得， 即， 当为正偶数时，不等式显然成立； 当为正奇数时，则， 因为为递减数列，且， 所以且为奇数， 综上， 19．甲､乙两个容器中分别盛有浓度为的某种溶液，同时从甲､乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，经次调和后，甲､乙两个容器的溶液浓度分别为． (1)试用表示． (2)证明：数列是等比数列，并求出的通项． （1）由题意，经次调和后甲､乙两个容器中的溶液浓度分别为， 所以． （2）由（1）知，， 可得， 所以数列是等比数列 因为，所以①， 又因为②． 联立①②得． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $