4.3.2 等比数列的前n项和公式(第1课时) 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦等比数列前n项和公式，分层设计从基础公式应用到综合问题解决，梯度合理，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式直接应用（如选择1-5）|单一知识点，强调运算能力| |中档层|综合计算与实际情境（如选择6、填空11）|结合应用意识，培养推理能力| |提升层|复杂推理与综合应用（如解答17）|跨知识点整合，发展创新意识|

课时作业35 等比数列的前n项和公式(第1课时) 一、选择题 1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于(　　) A．10 B．210 C．210－2 D．211－2 2．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　) A．81 B．120 C．168 D．192 3．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A. B. C. D. 4.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　) A.33 B.72 C.84 D.189 5．在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　) A．(2n－1)2 B．(2n－1)2 C．4n－1 D．(4n－1) 6.某人于2025年7月1日去银行存款 a元，存的是一年定期储蓄，2026年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r不变，则到2030年7月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有(　　) A．a(1＋r)4元 B．a(1＋r)5元 C．a(1＋r)6元 D．[(1＋r)6－(1＋r)]元 7.数列{an}的通项an＝n×2n，数列{an}的前n项和Sn为(　　) A．n×2n＋1 B．n×2n＋1－2 C．(n－1)×2n＋1＋2 D．n×2n＋1＋2 8.在等比数列{an}中，S3＝3a3，则其公比q的值为(　　) A．－ B． C．1或－ D．－1或 9．(多选题)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．S9＝29－1 C．数列的前5项和为 D．6S3＝S9 10.在等比数列{an}中，a1＋ax＝82，a3ax－2＝81，且前x项和Sx＝121，则此数列的项数x等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11.已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，则f＝________.　 12.已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 13.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________. 14.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________． 三、解答题 15.已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 16.在等比数列{an}中，a5＝162，公比q＝3，前n项和Sn＝242，求首项a1和项数n. 17.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 课时作业35 等比数列的前n项和公式(第1课时) （答案） 一、选择题 1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于(　　) A．10 B．210 C．210－2 D．211－2 解析：∵an＝2n，∴a1＝2，q＝2. ∴S10＝＝211－2. 故选D. 2．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　) A．81 B．120 C．168 D．192 解析：设{an}的公比为q， ∵a2＝9，a5＝243， ∴q3＝＝27，∴q＝3. 又∵a2＝a1q，∴a1＝3. ∴S4＝＝120. 故选B. 3．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A. B. C. D. 解析:Sn＝＝. 故选D 4.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　) A.33 B.72 C.84 D.189 解析:由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3， 得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2. ∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84. 故选C 5．在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　) A．(2n－1)2 B．(2n－1)2 C．4n－1 D．(4n－1) 解析：由a1＋a2＋…＋an－1＋an＝2n－1， 得a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1(n≥2)． ∴an＝2n－1(n≥2)． 又a1＝1，∴an＝2n－1， ∴a＝4n－1，∴{a}是等比数列，首项为1，公比为4. ∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 故选D. 6.某人于2025年7月1日去银行存款 a元，存的是一年定期储蓄，2026年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r不变，则到2030年7月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有(　　) A．a(1＋r)4元 B．a(1＋r)5元 C．a(1＋r)6元 D．[(1＋r)6－(1＋r)]元 解析：设2025年存入银行的存款为a1元，2026年存入银行的存款为a2元……则2030年存入银行的存款为a6元，那么2030年从银行取出的钱有(a6－a)元．所以a1＝a，a2＝a(1＋r)＋a，a3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a，…，a6＝a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a，所以a6－a＝a[(1＋r)＋(1＋r)2＋…＋(1＋r)5]＝[(1＋r)6－(1＋r)]. 故选D. 7.数列{an}的通项an＝n×2n，数列{an}的前n项和Sn为(　　) A．n×2n＋1 B．n×2n＋1－2 C．(n－1)×2n＋1＋2 D．n×2n＋1＋2 解析：∵Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 ＝－n×2n＋1 ＝2n＋1－2－n×2n＋1， ∴Sn＝2＋(n－1)×2n＋1. 故选C. 8.在等比数列{an}中，S3＝3a3，则其公比q的值为(　　) A．－ B． C．1或－ D．－1或 解析：∵S3＝3a3，∴q＝1时成立． 当q≠1时，＝3a1q2， ∴q2＋q＋1＝3q2，解得q＝－. 综上，q＝1或q＝－. 故选C. 9．(多选题)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．S9＝29－1 C．数列的前5项和为 D．6S3＝S9 解析：设{an}的公比为q， ∵9S3＝S6， ∴9×＝， ∴9＝1＋q3，∴q＝2. ∴S9＝＝29－1.故选项A，B正确．又6S3＝6×(23－1)≠S9，∴选项D不正确．∵是等比数列，首项＝1，公比＝，∴S′5＝＝.选项C正确． 故选ABC. 10.在等比数列{an}中，a1＋ax＝82，a3ax－2＝81，且前x项和Sx＝121，则此数列的项数x等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：设{an}的公比为q， ∵ ∴或 ①当a1＝1，ax＝81时， ∵Sx＝＝＝121，∴q＝3. 又∵ax＝1×qx－1＝3x－1＝81，∴x＝5. ②当a1＝81，ax＝1时， ∵Sx＝＝121，∴q＝. 又∵ax＝81×qx－1＝81×x－1＝1，∴x＝5. 综上，x＝5. 故选B. 二、填空题 11.已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，则f＝________. 解析：∵f＝＋2×＋3×＋…＋n×，① ∴f＝＋2×＋3×＋…＋n×.② 由①－②得，f＝＋＋＋…＋－＝1－－， ∴f＝2－－＝2－. 答案：2－　 12.已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 解析：∵a－6a＝an＋1an， ∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0. ∵an>0，∴an＋1＝3an. 又a1＝2， ∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴Sn＝＝3n－1. 答案：3n－1 13.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________. 解析：设等比数列{an}的公比为q， 由a5＝＝a2q3＝2q3，解得q＝.又数列{anan＋1}仍是等比数列，其首项是a1a2＝8，公比为，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n). 答案：(1－4－n)　 14.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________． 解析：∵S3，S9，S6成等差数列， ∴2S9＝S3＋S6. 显然q≠1， ∴2×＝＋. ∴2q9－q6－q3＝0.∴q3＝－. ∴a5＝＝3×(－2)＝－6. 答案：－6　 三、解答题 15.已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n， 故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则 A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n， 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 16.在等比数列{an}中，a5＝162，公比q＝3，前n项和Sn＝242，求首项a1和项数n. 解：由已知条件，得 由①得81a1＝162，解得a1＝2. 将a1＝2代入②，得＝242， 即3n＝243，解得n＝5. 所以数列{an}的首项a1＝2，项数n＝5. 17.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)数列是公差为1的等差数列， ∴＝a1＋n－1， 可得Sn＝n(a1＋n－1)，∴a1＋a2＝2(a1＋1)，a1＋a2＋a3＝3(a1＋2)，且a2＝3，a3＝5.解得a1＝1.∴Sn＝n2. ∴n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立). ∴an＝2n－1. (2)bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和 Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n， ∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1， ∴－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×－(2n－1)×3n＋1， 可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $