精品解析：云南文山壮族苗族自治州马关县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

马关县第一中学2024年春季学期高一年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知实数集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】， 又，则， 故， 故选：C. 2. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为， 所以与不为同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 所以与不为同一函数； 对于C，与的定义域均为， 且，所以与为同一函数； 对于D，函数的定义域为，的定义域为， 所以与不为同一函数. 故选：C 3. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】， 当且仅当时等号成立， 因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 4. 设向量，则与平行的向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：，设， 令，则，即，对照选项只有C满足，故选C. 5. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数和对数函数的单调性比较. 【详解】解：， 又， 故选：A. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系式即可求解. 【详解】∵，∴，，∴， 故选：D. 7. 已知在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则角的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得到与的关系，再通过辅助角公式及三角形内角的角度范围即可得到答案. 【详解】由题意， 即①，②， 联立①②得， 整理得，即， 又，， ，，故选B. 8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ） A. B. C. 2021 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件先求解出的值，然后分析的取值特点，从而求解出结果. 【详解】因为为偶函数，所以，所以， 所以且不恒为，所以， 又因为，所以，所以，所以， 又因为， 所以， 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 的充要条件是存在唯一一个实数，使得 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，当时，，A正确； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，的充要条件是存在唯一实数，使得，C错误； 对于D，，则有， 结合向量夹角的范围可知， ，D正确. 10. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D. 【详解】. 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，因为，可得. ∴与的值相等的是ABD. 故选：ABD. 11. 下列命题中正确的有（ ） A. 是幂函数，且在单调递减，则 B. 的单调递增区间是 C. 的定义域为，则 D. 的值域是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用幂函数的定义与性质可判定A，利用复合函数的单调性可判定B，利用函数的定义及一元二次不等式恒成立计算可判定C，利用换元法求值域可判定D. 【详解】对于A，由幂函数的定义可知或， 又在单调递减，所以，所以，故A正确； 对于B，， 可知时，单调递增， 结合复合函数的单调性可知的单调递增区间为，故B错误； 对于C，恒成立，显然符合题意， 当时，则，综上所述，故C错误； 对于D，令，此时， 显然，故D正确. 故选：AD 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义以及诱导公式求解即可. 【详解】角的终边经过点， 由三角函数的定义得：，，. 13. 已知正方形的边长为1，则______. 【答案】 【解析】 【详解】如图所示：，由已知可得与的夹角为， . 14. 为锐角三角形，分别为角所对的边，若，，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】中，，由正弦定理得， 为锐角三角形，，则有，， 由余弦定理， 即. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知关于的不等式. （1）当时，解不等式； （2）若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，转化为一元二次不等式，分解因式结合二次函数图象开口向上即可得到解集； （2）一元二次不等式在全体实数上恒大于0，只需判别式，解不等式即可得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，不等式为，即， 解得或，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 设，因为不等式，对于任意实数都成立， 所以， 解得， 故实数的取值范围是. 16. 已知在直角坐标系中（为坐标原点），，，. （1）若，，三点共线，求的值； （2）当时，直线上存在点使，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由，，三点共线，可得∥，从而列方程可求得的值； （2）由于点在直线上，所以设，从而可表示出的坐标，再由可得，则列方程可求出的值，进而可求出点的坐标 【详解】解（1）∵，，三点共线，∴∥， ∵， ∴ ∴ （2）设， ， ∵，则或 ∴点的坐标为或. 17. 在中，内角对应边长分别为. （1）若且，求角的值； （2）若，判断的形状. 【答案】（1） （2）等边三角形 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将题目所给式子的边化角，得到有关角A和角B的关系式，利用即可求出和. （2）根据正弦定理，将题目所给式子的角化边，得到关于边a，b，c的等式，再利用三元均值不等式.进而可得出. 【小问1详解】 因为， 所以有， 即， 又因为， ， ， 因为，. . 【小问2详解】 因为， 由正弦定理可得：， 整理得：， 又， 当且仅当时取等号， 所以， 故为等边三角形. 18. 函数的一段图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）要得到函数的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到? （3）若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2）法一：将的图象向左平移个单位，得到的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象； 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象. 法二：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象； 再将所得图象向左平移个单位，得到的图象； 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象. （3） 【解析】 【分析】（1）由图象直接得到，求出函数的周期，即可求出，利用图象经过，结合的范围求出的值，即可得到的解析式； （2）由三角函数的图象变换规律，结合平移与伸缩的顺序采用方法一或方法二推出结果； （3）根据的范围，结合三角函数的性质得出的最大值，由题意得到的不等式，求解即可． 【小问1详解】 由图象知，，，， 将图象上的点代入中，得， 结合图象可知，则，， 又，所以，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，∴， ∴当，即时，取最大值3. 又不等式在上恒成立， ∴在上恒成立， 故，即，即或. ∴t的取值范围为. 19. 已知函数 （1）判断的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 【答案】（1） ∵，定义域为，关于原点对称， 又， ∴为奇函数. （2）在上为减函数，证明如下： ∵， 任取，且，则 ， ∵，∴，，， 故，即， ∴在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断； （2）先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论； （3）利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵为上的奇函数，又， ∴. 又由于函数为上的减函数， ∴， 则， 又存在，使得成立，则， 又∵在上为减函数， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第（3）问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2024年春季学期高一年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知实数集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 设向量，则与平行的向量可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则角的值为（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ） A. B. C. 2021 D. 0 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 的充要条件是存在唯一一个实数，使得 D. 若，则 10. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中正确的有（ ） A. 是幂函数，且在单调递减，则 B. 的单调递增区间是 C. 的定义域为，则 D. 的值域是 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边经过点，则______. 13. 已知正方形的边长为1，则______. 14. 为锐角三角形，分别为角所对的边，若，，则___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知关于的不等式. （1）当时，解不等式； （2）若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知在直角坐标系中（为坐标原点），，，. （1）若，，三点共线，求的值； （2）当时，直线上存在点使，求点的坐标. 17. 在中，内角对应边长分别为. （1）若且，求角的值； （2）若，判断的形状. 18. 函数的一段图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）要得到函数的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到? （3）若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 19. 已知函数 （1）判断的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $