精品解析：云南省文山州马关县第一中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

马关县第一中学2025年春季学期高一年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到并集，再求出补集. 【详解】，， 故. 故选：D 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出,即可得出结果. 【详解】由可得 ， 所以的虚部是. 故选：A 3. 已知，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对数的性质判断的大小关系. 【详解】由，故. 故选：A 4. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的定义有，结合已知即可得. 【详解】设，， 又是两个不共线的向量，故，解得. 故选：D 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可得正确的选项. 【详解】, 而，故，故， 故选：C 6. 若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案. 【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得； 扇形的面积. 故选：C 7. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）（参考数据：） A. 2033年 B. 2032年 C. 2031年 D. 2030年 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件得到从而2020年起第年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项. 【详解】设2022年起第年投入的研发资金为（2022年为第一年）， 由，得， 两边取常用对数得，则， 所以2032年第一次研发资金超过. 故选：B 8. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值. 【详解】如图： 取中点，则，， ， ∵三点共线，∴，即， ∴， 当且仅当时，取等号； 故选：B 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知虚数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误. 【详解】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 10. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量，，， 对于A，，故 A 错误； 对于B，，与不平行，故B错误； 对于C，因为，则，，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确． 故选：CD. 11. 已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,则 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】∵， ∴①， 由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若为纯虚数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】由为纯虚数，得，解得， 所以，则， 故答案为：. 13. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据最值得出A，再根据周期得出，最后再代入点求出，求出函数的解析式即可. 【详解】由最大值为1，且得， 令函数周期为，有，解得，则， 而当时，，则有，又，则， 因此，. 故答案为：. 14. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________. 【答案】 【解析】 【分析】在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】如图，在中，，所以. 在中，因为，所以. 由正弦定理得,故，故， 在中，易得. 故答案为：60. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简与求值： （1）计算； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）利用指数与对数的相互转化先求得，再结合换底公式计算即可. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 由，可得， 所以. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式进行化简求值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理求出和，进而求出△ABC的周长． 【小问1详解】 因， 由正弦定理得， 因为角A，B，C为的内角，即， 则，，可得，所以. 【小问2详解】 因为，则，所以， 由余弦定理得：，解得， 所以的周长为． 17 已知平面向量，且. （1）求与的夹角的值； （2）当取得最小值时，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【小问1详解】 由，可得， 又，所以，又，所以； 【小问2详解】 因为， 所以. 所以的最小值为，此时. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在上的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再根据余弦函数的单调性求解即可； （2）根据余弦函数的性质求解即可； （3）由题设化简可得，结合平方关系求得，再结合两角差余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ， 令， 解得， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 即函数在上的值域为. 【小问3详解】 因为，所以， ，即， 所以， 所以 19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据函数的奇偶性列方程组，即可求出结果； （2）在上恒成立，即在上恒成立，再利用基本不等式求的最小值，即可求出结果. 【小问1详解】 因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数， 则有②， 由①+②得到，所以. 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立， 由（1）知，即在上恒成立， 即， 因为，所以，故， 所以， 又，所以， 故. 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 马关县第一中学2025年春季学期高一年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不共线向量，若与是共线向量，则（ ） A B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）（参考数据：） A. 2033年 B. 2032年 C. 2031年 D. 2030年 8. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ） A 1 B. C. 2 D. 4 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知虚数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 10. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 11. 已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,则 A. 2 B. 3 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若为纯虚数，则__________. 13. 函数部分图象如图所示，则函数的解析式为__________. 14. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简与求值： （1）计算； （2）已知，求值. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 已知平面向量，且. （1）求与的夹角的值； （2）当取得最小值时，求实数的值. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在上的值域； （3）若，求的值. 19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$