精品解析：云南昆明市第三中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

昆明市第三中学高2026届高一下学期4月月考 数学学科能力测试 考试时间120分钟，满分150分 命题人：秦颖 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的选项中，符合题目仅有一项） 1. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则等于（   ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 在梯形中，已知,,点在线段上，且,则 A. B. C. D. 5. 两个大小相等的共点力、，当它们的夹角为时，合力的大小为，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，是的平分线，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是边长为的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 35 B. C. D. 8. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足．则下列叙述错误的是（ ） A. B. 当 时，点到轴的距离的最大值为 C. 当水斗的坐标是时， D. 当时， 二. 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求） 9. 已知复数满足（是虚数单位），则下列关于复数的结论正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第三象限 D. 复数是方程的一个根 10. 下列说法正确的是（ ） A. ，不能作为平面的一个基底 B. 已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则 C. 若点是的重心，为平面内任一点，则一定有 D. 已知，，且与夹角为锐角，则 11. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则形状不唯一 B. 是的充要条件 C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若的面积为 ，则角C为 三. 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若 ，则 ___________________． 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________________． 14. 已知中的三个内角满足 ，面积，是的中点，当最小时，_____________. 四. 解答题（本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，. （1）若，且A、B、C三点共线，求m的值. （2）当实数k为何值时，与垂直？ 16. 已知平面向量满足，且的夹角为. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求和夹角的余弦值. 17. 如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20°方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？ 18. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角A的大小； （2）若，试求周长的取值范围. 19. 如图，在中，，点P在边BC上，且． （1）若，求的值； （2）若，求PB﹔ （3）求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2026届高一下学期4月月考 数学学科能力测试 考试时间120分钟，满分150分 命题人：秦颖 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的选项中，符合题目仅有一项） 1. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 2. 在中，，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理得. 3. 若复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，即， 则，故的共轭复数的虚部为，选项A正确. 4. 在梯形中，已知,,点在线段上，且,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求解. 【详解】因为， ， 所以， 所以. 故选C. 【点睛】本题考查向量加法的三角形法则. 5. 两个大小相等的共点力、，当它们的夹角为时，合力的大小为，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当、的夹角为时，结合平面向量数量积的运算性质可得出的值，当和的夹角为时，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】由题意可知， 当和的夹角为时，则且， 所以，故, 当和的夹角为时，则， 此时. 6. 在中，已知，是的平分线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线定理根据角平分线将三角形分成的面积之比得到，再利用正弦定理得出，将代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出的值. 【详解】因为是的平分线， 所以，即 因为，即， 即 ， 在中，由正弦定理进行边化角得：， 又，即， 可得：，即. 7. 如图，四边形是边长为的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 35 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出来、的坐标，然后利用坐标求数量积即可. 【详解】以为坐标原点，以、所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、， 则，，所以. 8. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足．则下列叙述错误的是（ ） A. B. 当 时，点到轴的距离的最大值为 C. 当水斗的坐标是时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】A.利用圆上定点坐标求半径，结合旋转周期求出角速度，再通过初始位置坐标确定初相;B.根据自变量取值范围求出相位区间，结合正弦函数最值，判断动点到坐标轴的距离最值;C.已知定点纵坐标，代入三角函数方程求解时间，结合通解公式验证选项表达式是否成立;D.代入具体时间求出动点坐标，利用两点间距离公式计算线段长度. 【详解】点在圆上，， 周期，，时，，得， 所以，，故，所以 A 正确； ，，则 点到轴距离为， 当时，，此时， 点到轴的距离取得最大值6，且，符合区间范围，选项B正确； 若水斗坐标为，则纵坐标，得，所以， 所以① ，解得（此时水斗的位置与点的位置重合，与选项矛盾舍去）， ② ，解得， 因此符合条件的时间为或，并非， 或者取时，，对应纵坐标为0，不为，故选项C错误； 当时，，此时，， 即.， ，选项D正确. 二. 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求） 9. 已知复数满足（是虚数单位），则下列关于复数的结论正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第三象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：由，得． ，故A正确； ，故B正确； 平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C错误； ， 复数是方程的一个根，故D正确． 故选：ABD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. ，不能作为平面的一个基底 B. 已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则 C. 若点是的重心，为平面内任一点，则一定有 D. 已知，，且与夹角为锐角，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，因为，所以，故，不能作为平面的一个基底，故A正确； 对B，因为，，三点不共线，，，三点共线，且，所以.故B错误； 对C，因为点是的重心，所以，所以，即.故C正确； 对D，因为，，且与夹角为锐角， 所以，即.故D错误. 11. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则形状不唯一 B. 是的充要条件 C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若的面积为 ，则角C为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据判断即可；对于B，根据正弦定理判断即可；对于C，根据正弦定理边角互化，三角恒等变换得即可判断；对于D，根据余弦定理与面积公式求解判断即可. 【详解】对于A，因为，，即，故有两个解，对应的三角形形状不唯一，故A正确； 对于B，由正弦定理得，， 所以，根据大边对大角得， 所以是的充要条件，故B正确； 对于C，因为，所以 因为， 所以，即， 所以或，所以或，即为等腰三角形或直角三角形，故C选项错误； 对于D，因为的面积为 ，所以， 由余弦定理得， 所以，即， 因为，所以，故D选项正确. 三. 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若 ，则 ___________________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以， 则，， 故. 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【详解】向量在方向上的投影向量的坐标为： . 14. 已知中的三个内角满足 ，面积，是的中点，当最小时，_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式，两角差的余弦公式，三角形的面积公式以及基本不等式分析求解即可. 【详解】设的三个内角对应的边分别为， 由， 则， 即， 也即， 因此有， 又因为，所以， 由， 因为为直角的斜边，是的中点， 所以， 当且仅当，即时，有最小值，即. 四. 解答题（本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，. （1）若，且A、B、C三点共线，求m的值. （2）当实数k为何值时，与垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示，根据共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案； （2）根据题意，求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求得. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 因为A、B、C三点共线， 所以，得. 【小问2详解】 因为，， 所以. 因为与垂直，所以， 解得. 16. 已知平面向量满足，且的夹角为. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求和夹角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ). 【解析】 【详解】试题分析：(Ⅰ)利用模长平方与向量的平分相等，将已知两边平方展开，得到关于的方程解之即可；(Ⅱ)分别求出和模长以及数量积，利用数量积公式求夹角. 试题解析：(Ⅰ)由已知得 ，即，解得. (Ⅱ)， . 又 . 所以和夹角的余弦值为. 17. 如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20°方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？ 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛. 【解析】 【分析】(Ⅰ) 在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案. (Ⅱ)首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间. 【详解】(Ⅰ)由已知可得， 中，根据余弦定理求得， ∴． (Ⅱ)由已知可得， ∴． 中，由正弦定理可得， ∴分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力. 18. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求角A的大小； （2）若，试求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将正切转化为正弦、余弦，再结合正弦定理把边化角求解； （2）利用正弦定理用角表示边，利用三角函数的值域求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理，得， 为锐角三角形，，所以， 即，即， 因为，所以， 因为，约去得，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ，，， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 由正弦定理， 所以， 所以周长 ， 因为，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围是. 19. 如图，在中，，点P在边BC上，且． （1）若，求的值； （2）若，求PB﹔ （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定的大小，在利用正弦定理即可求解； （2）在中，用余弦定理求长度；再求出，在三角形中由正弦定理求出，即可求解； （3）设，表示出，作出边上的高，并表示出来，进而可求出面积的表达式，结合三角恒等变换化简以及二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由可知，对于，， 由正弦定理得， 即，解得. 【小问2详解】 由题意可知C为锐角， 因为，所以， 因为， 所以在中由余弦定理可得， 所以，解得，（负值舍去）， ， 在三角形中由正弦定理得：，则， 解得，所以； 【小问3详解】 设，则，由于，则， 在中由正弦定理得：，解得， 过A点作BC的垂线，交BC于M点，设的面积为S， 则，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立，（，则） 即三角形ABC面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $