3.6 二元一次方程组的解法 课时作业 2026-2027学年湘教版数学 七年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C、D四组分层设计，构建“基础巩固-能力提升-拓展创新-计算专项”的知识巩固路径，适配新授课教学，强化消元思想及两种解法的应用，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|消元思想、代入/加减法步骤|选择填空为主，直接考查变形代入、系数调整等基础操作，如用代入法解简单方程组| |B组能力提升|解法选择、含分数/括号方程组整理|解答题形式，需先整理方程再选方法，如解含分母的方程组，培养运算能力| |C组拓展创新|字母系数求解、整体代入/换元法|结合同类项、非负数性质等综合考点，如已知同解求字母值，发展抽象能力与创新意识| |D组计算专项训练|各类方程组计算|集中训练不同形式方程组求解，强化步骤规范性，提升计算准确性|

湘教版七年级数学上册　第3章　一次方程与方程组　3.6　二元一次方程组的解法 第3章　一次方程与方程组 3.6　二元一次方程组的解法　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、学习目标 1．理解“消元”的思想，知道解二元一次方程组的基本思路是把“二元”转化为“一元”。 2．掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的一般步骤，能熟练解二元一次方程组。 3．能根据方程组的特点选择适当的方法求解，会先整理含分数、括号的方程组再求解。 4．能利用方程组的解求字母系数的值，初步体会整体代入、换元等数学方法。 二、知识梳理 知识点1　消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想（如图1）。 图1 知识点2　代入消元法 把方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，从而求出方程组的解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法。 一般步骤（以方程组为例）： ①变形：从方程①得x=y+3。③ ②代入：把③代入②，得3(y+3)−8y=4。 ③求解：解这个一元一次方程，3y+9−8y=4，−5y=−5，y=1。 ④回代：把y=1代入③，得x=1+3=4。 ⑤写解：所以原方程组的解是。 提示：变形时，一般选择系数比较简单（特别是系数为1或−1）的方程进行变形；代入时，要代入另一个方程，不能代入变形的那个方程。 知识点3　加减消元法 当方程组中两个方程的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫作加减消元法，简称加减法。 一般步骤（以方程组为例）： ①变系数：①×3，得9x+12y=48；③　②×2，得10x−12y=66。④ ②加减：③+④，得19x=114。 ③求解：x=6。 ④回代：把x=6代入①，得18+4y=16，y=−。 ⑤写解：所以原方程组的解是。 提示：同一未知数的系数相同时用减法，系数互为相反数时用加法；系数不成倍数关系时，一般找系数的最小公倍数，把两个方程分别乘适当的数。 知识点4　解法的选择 方程组的特点 适合的方法 举例 有一个方程是用含一个未知数的式子表示另一个未知数 代入法 某个未知数的系数为1或−1 代入法（或加减法） 同一未知数的系数相等或互为相反数 加减法 系数较复杂 加减法（先变系数） 含分母或括号 先整理成一般形式，再选方法 知识点5　检验 求出方程组的解后，可以把解代入原方程组的每一个方程进行检验（可以在草稿纸上进行）。例如检验：3×6+4×(−)=18−2=16，5×6−6×(−)=30+3=33，两个方程都成立。 易错提醒 ① 代入法中，把变形后的式子代入另一个方程时，要加括号，如3(y+3)，不能写成3y+3。 ② 加减法中，两个方程相减时，要注意每一项都要相减，特别是负号的处理，如(5x−6y)−(5x−2y)=−4y。 ③ 方程两边同乘一个数时，不要漏乘不含未知数的项（常数项）。 ④ 求出一个未知数后，要代入原方程组中较简单的方程求另一个未知数，最后用大括号写出方程组的解。 ⑤ 含分母的方程先去分母，含括号的方程先去括号，整理成ax+by=c的形式后再求解。 知识结构 内容 要点 基本思想 消元：二元→一元 代入法 变形→代入→求解→回代→写解 加减法 变系数→加减→求解→回代→写解 特殊方法 整体代入、换元 检验 把解代入原方程组的每一个方程 三、典型例题精析 【例1】用代入法解方程组： 【解析】方程①已经用含x的式子表示y，直接代入②。 解：把①代入②，得3x+2(2x−3)=8。 去括号，得3x+4x−6=8，解得x=2。 把x=2代入①，得y=2×2−3=1。 所以原方程组的解是。 【例2】用加减法解方程组： 【解析】两个方程中x的系数相同，用减法消去x。 解：①−②，得4y=8，解得y=2。 把y=2代入②，得2x−2=4，解得x=3。 所以原方程组的解是。 【例3】解方程组： 【解析】两个方程中y的系数分别为−2和3，最小公倍数为6，先变系数再相加。 解：①×3，得9x−6y=18。③　②×2，得4x+6y=34。④ ③+④，得13x=52，解得x=4。 把x=4代入①，得12−2y=6，解得y=3。 所以原方程组的解是。 【例4】解方程组： 【解析】先去分母，把方程①整理成一般形式。 解：①×6，得3x+2y=12。③ ③+②，得6x=12，解得x=2。 把x=2代入②，得6−2y=0，解得y=3。 所以原方程组的解是。 【例5】解方程组： 【解析】先去括号，整理成一般形式。 解：由①得2x−y=4，③　由②得x+3y=9。④ 由③得y=2x−4，⑤　把⑤代入④，得x+3(2x−4)=9，即7x−12=9，解得x=3。 把x=3代入⑤，得y=2×3−4=2。 所以原方程组的解是。 【例6】已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值。 【解析】两个方程组的解相同，说明这个解满足四个方程，可以先解不含字母的两个方程。 解：解方程组，两式相加得3x=6，x=2，从而y=1。 把x=2，y=1代入含字母的两个方程，得 ①×2−②，得3a=6，a=2；把a=2代入①，得b=3。 【答案】a=2，b=3 【例7】已知不解方程组，求x+y和x−y的值。 【解析】观察系数特点，用整体思想。 解：①+②，得5x+5y=15，所以x+y=3； ②−①，得x−y=1。 【答案】x+y=3，x−y=1 【例8】小明解方程组的过程如下： 解：①−②，得−6y=4，所以y=−。…… 小明的解法对吗？若不对，请指出错误并给出正确的解答。 【解析】不对。错在两个方程相减时，−2y−(−4y)应等于2y，小明误算成了−6y。 正确解答：①−②，得2y=4，y=2。把y=2代入①，得3x−4=5，x=3。 所以原方程组的解是。 方法归纳 ① 选方法：有系数为±1的未知数，或一个方程已表示成“y=…”的形式，优先用代入法；同一未知数系数相等或互为相反数，优先用加减法。 ② 变系数：找要消去的未知数系数的最小公倍数，两个方程分别乘适当的数。 ③ 先整理：含分母先去分母，含括号先去括号，含小数可先化为整数。 ④ 巧解法：系数“交叉相等”的方程组，可先相加、相减；结构相同的部分可用换元法。 ⑤ 求字母系数：把方程组的解代入含字母的方程，得到关于字母的方程（组）再求解。 四、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．用代入法解方程组时，代入正确的是（　　） A．x−2−2x=4 B．x−2+2x=4 C．x−2+x=4 D．x−1+2x=4 2．用加减法解方程组时，最简便的方法是（　　） A．①×3−②×2，消去x B．①×3+②×2，消去x C．①+②，消去y D．①−②，消去y 3．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5．若|x+y−5|+(x−y−1)²=0，则xy的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．已知是方程组的解，则a−b的值为（　　） A．−1 B．1 C．2 D．3 7．若单项式3xa+by²与−x⁴ya−b是同类项，则a，b的值分别为（　　） A．3，1 B．1，3 C．2，2 D．4，2 8．已知方程组，则x+y的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．9 9．用加减法解方程组，要消去y，正确的是（　　） A．①×3+②×2 B．①×3−②×2 C．①×4−②×3 D．①×2+②×3 10．若x=2y，且2x+y=10，则x，y的值分别为（　　） A．2，4 B．4，2 C．6，3 D．3，6 二、填空题 11．把方程3x−y=5变形，用含x的式子表示y，得y=________。 12．方程组的解是________。 13．已知x+2y=4，2x+y=5，则x+y=________，x−y=________。 14．若(x−y−3)²+|2x+y−9|=0，则x+y=________。 15．已知方程组的解是，则a=________，b=________。 16．在等式y=kx+b中，当x=1时，y=3；当x=−1时，y=1，则k=________，b=________。 17．方程组的解是________。 18．当x=________，y=________时，代数式x+y与x−y的值分别为5和1。 B组　能力提升 三、解答题 19．用代入法解下列方程组： （1）　　　　（2） 20．用加减法解下列方程组： （1）　　　　（2） 21．用适当的方法解下列方程组： （1）　　　　（2） 22．已知方程组与方程组的解相同，求(−a)b的值。 23．已知关于x，y的方程组的解满足x+y=2，求k的值。 C组　拓展创新 24．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为。求a2026+(−b)2027的值。 25．阅读材料：解方程组时，如果设x+y=m，x−y=n，那么原方程组可化为关于m，n的方程组。请用这种方法（换元法）解这个方程组。 26．解方程组： D组　计算专项训练 27．　　　　28． 29．　　　　30． 31．　　　　32． 五、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．B　解析：把y=1−x代入x−2y=4，得x−2(1−x)=4，去括号得x−2+2x=4。 2．C　解析：两个方程中y的系数互为相反数，直接相加即可消去y。 3．B　解析：两式相加得2x=4，x=2，y=1。 4．A　解析：两式相加得7x=7，x=1，代入得y=2。 5．C　解析：由非负数的性质得，解得，xy=6。 6．A　解析：代入得，两式相加得4a=8，a=2，b=3，a−b=−1。 7．A　解析：由同类项的定义得，解得。 8．C　解析：两式相加得3x+3y=9，x+y=3。 9．A　解析：y的系数分别为−2和3，①×3得−6y，②×2得6y，相加消去y。 10．B　解析：把x=2y代入2x+y=10，得5y=10，y=2，x=4。 11．3x−5 12．　解析：两式相减得x=6，y=4。 13．3；1　解析：两式相加得3x+3y=9，x+y=3；第二式减第一式得x−y=1。 14．5　解析：，相加得3x=12，x=4，y=1，x+y=5。 15．2；0　解析：a+1=3，a=2；1−b=1，b=0。 16．1；2　解析：，相加得2b=4，b=2，k=1。 17．　解析：设==t，则x=3t，y=4t，7t=14，t=2。 18．3；2 B组　能力提升 19．解：（1）把x=y+2代入3x+2y=11，得3(y+2)+2y=11，5y=5，y=1。把y=1代入x=y+2，得x=3。所以原方程组的解是。 （2）由2x−y=5得y=2x−5。③把③代入3x+4y=2，得3x+4(2x−5)=2，11x=22，x=2。把x=2代入③，得y=−1。所以原方程组的解是。 20．解：（1）两式相加，得6x=18，x=3。把x=3代入3x+2y=13，得2y=4，y=2。所以原方程组的解是。 （2）第一个方程×2，得4x+6y=−2；第二个方程×3，得9x−6y=54。两式相加，得13x=52，x=4。把x=4代入2x+3y=−1，得3y=−9，y=−3。所以原方程组的解是。 21．解：（1）第一个方程×6，得3x−2y=6；第二个方程×2，得4x+2y=22。两式相加，得7x=28，x=4。把x=4代入2x+y=11，得y=3。所以原方程组的解是。 （2）整理得①+②，得4y=28，y=7。把y=7代入①，得3x=15，x=5。所以原方程组的解是。 22．解：解方程组，由第一个方程得y=3x−5，代入第二个方程得2x+3(3x−5)=−4，11x=11，x=1，y=−2。 把x=1，y=−2代入含a，b的方程，得 由a+2b=8得a=8−2b，代入4a−10b=−22，得4(8−2b)−10b=−22，−18b=−54，b=3，a=2。 ∴(−a)b=(−2)³=−8。 23．解：两个方程相加，得3x+3y=k+4，即3(x+y)=k+4。 ∵x+y=2，∴6=k+4，k=2。 C组　拓展创新 24．解：甲看错了a，但他的解满足方程②：4×(−3)−b×(−1)=−2，解得b=10。 乙看错了b，但他的解满足方程①：5a+5×4=15，解得a=−1。 ∴a2026+(−b)2027=(−1)2026+(−1)2027=1+(−1)=0。 25．解：设x+y=m，x−y=n，原方程组可化为 第一个方程×6，得3m+2n=36；与2m−3n=−2联立。前式×3，得9m+6n=108；后式×2，得4m−6n=−4。相加得13m=104，m=8，n=6。 所以，两式相加得2x=14，x=7，y=1。 所以原方程组的解是。 26．解：①+②，得4047x+4047y=4047，即x+y=1。③ ②−①，得x−y=3。④ ③+④，得2x=4，x=2；③−④，得2y=−2，y=−1。 所以原方程组的解是。 方法点拨：当两个方程中x，y的系数“交叉相等”时，先把两个方程相加、相减，得到x+y和x−y的值，可以大大简化计算。 D组　计算专项训练 27．解：两式相加，得4x=8，x=2。把x=2代入x−2y=0，得y=1。所以原方程组的解是。 28．解：由第二个方程得y=13−2x，代入第一个方程，得4x−3(13−2x)=11，10x=50，x=5，y=3。所以原方程组的解是。 29．解：第一个方程×2，得10x+4y=50，减去第二个方程，得7x=35，x=5。把x=5代入第一个方程，得2y=0，y=0。所以原方程组的解是。 30．解：由第一个方程得x+1=6y，代入第二个方程，得2×6y−y=11，11y=11，y=1，x=5。所以原方程组的解是。 方法点拨：把x+1看作一个整体代入，计算更简便。 31．解：第一个方程×10，得3x−2y=5；由第二个方程得y=5−x，代入得3x−2(5−x)=5，5x=15，x=3，y=2。所以原方程组的解是。 32．解：第一个方程×12，得3x+4y=16；③第二个方程整理，得5x−6y=33。④ ③×3，得9x+12y=48；④×2，得10x−12y=66。两式相加，得19x=114，x=6。 把x=6代入③，得18+4y=16，y=−。所以原方程组的解是。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $