3.4 一元一次方程的应用 课时作业 2026-2027学年湘教版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学七年级上册3.4一元一次方程的应用同步练，以“知识点梳理+分层练习”构建三阶巩固路径，通过基础夯实、能力提升、拓展探究培养抽象能力、运算能力和模型意识，实现从概念理解到综合应用的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|列方程步骤、单一问题类型（和差倍分、行程等）|选择填空为主，直接对应知识点，如和差倍分问题（题1）、销售问题（题2）| |B组能力提升|多种问题类型综合应用（行程+追及、工程+合作等）|解答题为主，结合实际情境，如分段计费（题23）、方案选择（题24）| |C组拓展探究|复杂情境与多步骤问题（数字问题、图形拼接等）|综合应用题，需建立复杂模型，如三位数数字问题（题26）、方案优化（题27）|

湘教版·七年级数学上册　第3章 一次方程（组）　3.4 一元一次方程的应用　课时作业 湘教版七年级数学上册　第3章 一次方程（组） 3.4 一元一次方程的应用 课时作业（知识点梳理 + 分层练习 + 答案解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：________　建议用时：60 分钟　得分：______ 一、学习目标 1．掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤，经历“实际问题→数学模型→解释应用”的过程。 2．能分析和差倍分、行程、工程、销售、配套、分配、分段计费、方案选择等问题中的等量关系，正确列出方程。 3．会检验方程的解是否符合实际意义，提高分析问题和解决问题的能力。 二、知识点梳理 ■ 知识点1　列方程解应用题的一般步骤 步骤 具体内容 审 读懂题意，弄清已知量、未知量及它们之间的关系 设 设出未知数（直接设或间接设），并用含未知数的式子表示其他相关量 找 找出能够表示问题全部含义的一个等量关系 列 根据等量关系列出方程 解 解所列的方程，求出未知数的值 验 检验所求的解是否是方程的解，是否符合实际意义 答 写出答案（包括单位） ■ 知识点2　常见问题类型及等量关系 问题类型 基本数量关系与等量关系 和差倍分问题 较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量；总量=各部分量之和 行程问题 路程=速度×时间；相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离； 追及问题：快者路程−慢者路程=开始时相距的路程； 顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度−水流速度 工程问题 工作量=工作效率×工作时间；把全部工作量看作 1，各部分工作量之和=1 销售问题 利润=售价−进价；售价=标价×折扣（打 x 折即乘 ）； 利润率=×100%，即利润=进价×利润率 配套问题 按配套比例找等量关系，如 1 个螺钉配 2 个螺母：螺母数量=2×螺钉数量 分配（调配）问题 无论怎样分配，总量不变；调配后两部分满足新的倍数关系 数字问题 两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字 分段计费与方案选择 先判断属于哪一段，再分段计算；方案选择时先求出费用相等的临界值，再比较 ■ 知识点3　设未知数的技巧 （1）直接设：问什么设什么，如“求甲有多少本书”，就设甲有 x 本书； （2）间接设：当直接设未知数不便于列方程时，可设与所求量有关的其他量，如数字问题中设某一位上的数字，比例问题中设每一份为 x。 ■ 典型例题 例1　某校七年级共有 420 名学生，男生人数比女生人数的 2 倍少 30 人，男、女生各有多少人？ 【解析】设女生有 x 人，则男生有 (2x−30) 人。 根据题意，得 x+(2x−30)=420，解得 3x=450，x=150。 2x−30=270。答：男生有 270 人，女生有 150 人。 例2　甲、乙两站相距 480 千米，慢车从甲站出发，每小时行驶 60 千米；快车从乙站出发，每小时行驶 90 千米。 （1）两车同时出发，相向而行，经过几小时两车相遇？ （2）慢车先出发 1 小时，快车再出发，两车相向而行，快车出发几小时后两车相遇？ 【解析】（1）设经过 x 小时两车相遇。根据题意，得 60x+90x=480，解得 x=3.2。 答：经过 3.2 小时两车相遇。 （2）设快车出发 y 小时后两车相遇。慢车共行驶 (y+1) 小时， 根据题意，得 60(y+1)+90y=480，即 150y=420，解得 y=2.8。 答：快车出发 2.8 小时后两车相遇。 例3　一项工程，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 8 天完成。现在由甲先做 2 天，然后甲、乙合作完成，还需要几天？ 【解析】设还需要 x 天完成。甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 。 根据题意，得 +(+)x=1， 两边都乘 24，得 4+(2+3)x=24，即 5x=20，解得 x=4。 答：还需要 4 天完成。 例4　某商品的进价为 150 元，标价为 250 元，商店要求以利润率为 20% 的售价打折出售，此商品应打几折？ 【解析】设此商品打 x 折出售，则售价为 250× 元。 根据“售价−进价=进价×利润率”，得 250×−150=150×20%， 即 25x−150=30，解得 x=7.2。 答：此商品应打七二折出售。 例5　某车间有 22 名工人，每人每天可以生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个。1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【解析】设安排 x 名工人生产螺钉，则 (22−x) 名工人生产螺母。 根据“螺母数量=2×螺钉数量”，得 2000(22−x)=2×1200x， 即 44000−2000x=2400x，4400x=44000，解得 x=10，22−x=12。 答：应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。 【方法归纳】（1）行程问题常借助线段图分析，工程问题、销售问题常借助表格分析； （2）检验时不仅要检验是不是方程的解，还要检验是否符合实际意义（如人数、件数必须为正整数）。 三、课时作业 ■ A组　基础巩固 一、选择题 1．学校买来 360 本图书，分给甲、乙两个班，甲班分得的本数是乙班的 2 倍，则乙班分得（　　） A．240 本 B．180 本 C．120 本 D．100 本 2．一件商品按成本价提高 40% 后标价，再打八折出售，售价为 224 元。设这件商品的成本价为 x 元，则可列方程为（　　） A．0.8×(1+40%)x=224 B．0.8x×40%=224 C．(1+40%)x×0.2=224 D．(1+40%)x=224 3．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 6.5 米，甲让乙先跑 5 米。设 x 秒后甲追上乙，则可列方程为（　　） A．7x+5=6.5x B．7x=6.5x+5 C．7x−5=6.5x−5 D．6.5x=7x+5 4．一项工作，甲单独完成需要 10 天，乙单独完成需要 15 天，两人合作完成这项工作需要（　　） A．5 天 B．8 天 C．12.5 天 D．6 天 5．某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓 12 个或螺母 18 个，1 个螺栓配 2 个螺母。设安排 x 名工人生产螺栓，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，则可列方程为（　　） A．12x=2×18(28−x) B．2×12x=18(28−x) C．12x=18(28−x) D．2×18x=12(28−x) 6．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了 3 小时。已知水流速度为 3 千米/时，设船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程为（　　） A．2(x−3)=3(x+3) B．2x+3=3x−3 C．2(x+3)=3(x−3) D．2(x+3)+3(x−3)=0 7．在一次足球联赛中，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。某队踢了 12 场比赛保持不败，共积 28 分，该队胜了（　　） A．5 场 B．6 场 C．7 场 D．8 场 8．某商店同时卖出两件衣服，每件都卖 120 元，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%。在这次买卖中，这家商店（　　） A．赔 10 元 B．赚 10 元 C．不赚不赔 D．赚 8 元 二、填空题 9．一个两位数，个位数字比十位数字大 3，个位数字与十位数字的和为 11，这个两位数是________。 10．某商品的标价为 300 元，打八折出售后仍可获利 20%，则该商品的进价为________元。 11．甲仓库存粮 120 吨，乙仓库存粮 90 吨。从甲仓库调出________吨粮食到乙仓库，可使乙仓库的存粮是甲仓库的 2 倍。 12．一列火车匀速行驶，完全通过一条长 300 米的隧道需要 20 秒，隧道顶上有一盏灯，灯光垂直照射在火车上的时间是 10 秒，则这列火车的长为________米。 13．一个长方形的周长为 26 厘米，长比宽的 2 倍多 1 厘米，则这个长方形的面积为________平方厘米。 14．在某月的日历中，竖列上相邻的三个数的和为 45，则这三个数分别是________________。 ■ B组　能力提升 三、解答题 15．学校图书馆有科技书和文艺书共 1200 本，其中文艺书的本数比科技书的 2 倍多 150 本，两种书各有多少本？ 16．如图，A，B 两地相距 36 千米，甲骑自行车从 A 地出发，每小时行 12 千米；乙步行从 B 地出发，每小时行 6 千米。 （1）若两人同时出发，相向而行，经过几小时两人相遇？ （2）若乙先出发 1 小时，甲再出发，两人相向而行，甲出发几小时后两人相遇？ （第16题图） 17．小明从家步行去学校，每分钟走 60 米。小明出发 10 分钟后，爸爸发现他忘了带作业本，立即骑自行车以每分钟 180 米的速度沿同一路线去追小明（如图）。 （1）爸爸出发几分钟后追上小明？ （2）若小明家离学校 1200 米，爸爸能在小明到校前追上他吗？请说明理由。 （第17题图） 18．如图，在 400 米的环形跑道上，甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 150 米，两人同时从起点出发。 （1）若两人同向而行，经过几分钟甲第一次追上乙？ （2）若两人背向而行，经过几分钟两人第一次相遇？ （第18题图） 19．一项工程，甲队单独做需要 20 天完成，乙队单独做需要 30 天完成。现在先由甲队单独做 5 天，然后乙队加入，两队合作完成剩下的工程，还需要几天？ 20．某种冰箱每台的进价为 1800 元，商场按标价的九折销售，每台仍可获利 10%。 （1）这种冰箱每台的标价是多少元？ （2）如果商场按标价的八折销售，每台冰箱是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 21．某服装厂有 54 名工人，每人每天可以做上衣 8 件或裤子 10 条，一件上衣配一条裤子为一套。应分别安排多少名工人做上衣和裤子，才能使每天生产的上衣和裤子刚好配套？每天共可生产多少套？ 22．老师把一些练习本分给班里的学生，如果每人分 3 本，那么还剩 20 本；如果每人分 4 本，那么还缺 25 本。这个班有多少名学生？这批练习本共有多少本？ 23．某市居民用电实行阶梯电价：每户每月用电不超过 180 千瓦时的部分，每千瓦时 0.6 元；超过 180 千瓦时的部分，每千瓦时 0.8 元。小明家某月的电费为 140 元，他家这个月用电多少千瓦时？ 24．某健身馆有两种收费方式。方式一：每次收费 30 元；方式二：先交会员费 300 元，之后每次收费 15 元。 （1）设某人一年内健身 x 次，分别用含 x 的式子表示两种方式的费用； （2）健身多少次时，两种方式的费用相同？ （3）若某人计划一年内健身 25 次，选择哪种方式更省钱？ 25．如图，长方形 ABCD 由 5 个完全相同的小长方形拼成，已知长方形 ABCD 的周长为 88 厘米，求每个小长方形的面积。 （第25题图） ■ C组　拓展探究 26．一个三位数，百位数字比十位数字大 1，个位数字比十位数字的 3 倍少 2。若将这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，所得的新三位数与原三位数的和为 1171，求原三位数。 27．某商场推出两种购物优惠方案。方案甲：所购商品一律打八五折；方案乙：先交 100 元办会员卡，之后所购商品一律打七五折。 （1）顾客购买标价总额为多少元的商品时，两种方案的实际花费相同？ （2）如果某顾客计划购买标价总额为 1500 元的商品，选择哪种方案更合算？ 四、参考答案及解析 一、选择题 1．【答案】C 【解析】设乙班分得 x 本，则甲班分得 2x 本，x+2x=360，解得 x=120。 2．【答案】A 【解析】标价为 (1+40%)x 元，打八折后售价为 0.8×(1+40%)x 元，所以 0.8×(1+40%)x=224。 3．【答案】B 【解析】追上时甲跑的路程=乙跑的路程+5，即 7x=6.5x+5。 4．【答案】D 【解析】设合作需要 x 天，(+)x=1，即 x=1，解得 x=6。 5．【答案】B 【解析】螺栓数量为 12x 个，螺母数量为 18(28−x) 个。1 个螺栓配 2 个螺母，所以螺母数量=2×螺栓数量，即 2×12x=18(28−x)。 6．【答案】C 【解析】顺流速度为 (x+3) 千米/时，逆流速度为 (x−3) 千米/时，往返路程相等，所以 2(x+3)=3(x−3)。解得 x=15。 7．【答案】D 【解析】设胜了 x 场，则平了 (12−x) 场，3x+(12−x)=28，解得 x=8。 8．【答案】A 【解析】设盈利那件的进价为 a 元，则 (1+20%)a=120，a=100； 设亏损那件的进价为 b 元，则 (1−20%)b=120，b=150。 总进价 250 元，总售价 240 元，所以赔 10 元。 二、填空题 9．【答案】47 【解析】设十位数字为 x，则个位数字为 x+3，x+(x+3)=11，解得 x=4，个位数字为 7。 10．【答案】200 【解析】设进价为 x 元，300×0.8=(1+20%)x，即 1.2x=240，解得 x=200。 11．【答案】50 【解析】设调出 x 吨，90+x=2(120−x)，即 90+x=240−2x，解得 x=50。 12．【答案】300 【解析】设火车长为 x 米。灯光照射 10 秒，说明火车 10 秒行驶的路程等于车长，速度为 米/秒； 完全通过隧道行驶的路程为 (300+x) 米，所以 =，解得 x=300。 13．【答案】36 【解析】设宽为 x 厘米，则长为 (2x+1) 厘米，2(x+2x+1)=26，解得 x=4，长为 9 厘米，面积为 36 平方厘米。 14．【答案】8，15，22 【解析】设中间的数为 x，则上、下两数分别为 x−7，x+7，(x−7)+x+(x+7)=45，解得 x=15。 三、解答题 15．【答案】科技书 350 本，文艺书 850 本 【解析】设科技书有 x 本，则文艺书有 (2x+150) 本。 根据题意，得 x+(2x+150)=1200，即 3x=1050，解得 x=350。 2x+150=850。答：科技书有 350 本，文艺书有 850 本。 16．【答案】（1）2 小时；（2） 小时（即 1 小时 40 分） 【解析】（1）设经过 x 小时两人相遇。12x+6x=36，解得 x=2。 答：经过 2 小时两人相遇。 （2）设甲出发 y 小时后两人相遇，此时乙共走了 (y+1) 小时。 12y+6(y+1)=36，即 18y=30，解得 y=。 答：甲出发 小时（即 1 小时 40 分）后两人相遇。 17．【答案】（1）5 分钟；（2）能 【解析】（1）设爸爸出发 x 分钟后追上小明。小明先走了 60×10=600（米）。 根据题意，得 180x=60x+600，即 120x=600，解得 x=5。 答：爸爸出发 5 分钟后追上小明。 （2）追上时，离家的距离为 180×5=900（米）。因为 900<1200，所以爸爸能在小明到校前追上他。 18．【答案】（1）4 分钟；（2）1 分钟 【解析】（1）同向而行，甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈。 设经过 x 分钟甲第一次追上乙，250x−150x=400，解得 x=4。 （2）背向而行，两人第一次相遇时，两人跑的路程之和为一圈。 设经过 y 分钟两人第一次相遇，250y+150y=400，解得 y=1。 19．【答案】还需要 9 天 【解析】设还需要 x 天完成。甲队的工作效率为 ，乙队的工作效率为 。 根据题意，得 +(+)x=1， 两边都乘 60，得 15+(3+2)x=60，即 5x=45，解得 x=9。 答：还需要 9 天完成。 20．【答案】（1）2200 元；（2）亏损 40 元 【解析】（1）设每台冰箱的标价为 x 元。 根据题意，得 0.9x−1800=1800×10%，即 0.9x=1980，解得 x=2200。 答：每台冰箱的标价为 2200 元。 （2）按八折销售，售价为 2200×0.8=1760（元），1760−1800=−40（元）。 答：每台冰箱亏损 40 元。 21．【答案】做上衣 30 人，做裤子 24 人，每天共生产 240 套 【解析】设安排 x 名工人做上衣，则 (54−x) 名工人做裤子。 根据“上衣件数=裤子条数”，得 8x=10(54−x)，即 18x=540，解得 x=30，54−x=24。 每天生产上衣 8×30=240（件），即 240 套。 22．【答案】45 名学生，155 本练习本 【解析】设这个班有 x 名学生。根据练习本总数不变，得 3x+20=4x−25，解得 x=45。 练习本总数为 3×45+20=155（本）。 答：这个班有 45 名学生，这批练习本共有 155 本。 23．【答案】220 千瓦时 【解析】若用电 180 千瓦时，电费为 180×0.6=108（元）<140 元，所以小明家用电超过 180 千瓦时。 设这个月用电 x 千瓦时，根据题意，得 108+0.8(x−180)=140， 即 0.8(x−180)=32，x−180=40，解得 x=220。 答：他家这个月用电 220 千瓦时。 24．【答案】（1）30x 元，(300+15x) 元；（2）20 次；（3）方式二 【解析】（1）方式一费用为 30x 元，方式二费用为 (300+15x) 元； （2）由 30x=300+15x，得 15x=300，x=20。答：健身 20 次时两种方式费用相同； （3）当 x=25 时，方式一费用为 30×25=750（元），方式二费用为 300+15×25=675（元）。 因为 675<750，所以选择方式二更省钱。 25．【答案】96 平方厘米 【解析】设小长方形的宽为 x 厘米。由图可知，上排 3 个小长方形宽的和等于下排 2 个小长方形长的和， 所以小长方形的长为 x 厘米。长方形 ABCD 的长 AB=3x，宽 AD=x+x=x。 根据题意，得 2(3x+x)=88，即 11x=88，解得 x=8，x=12。 每个小长方形的面积为 12×8=96（平方厘米）。 26．【答案】437 【解析】设十位数字为 x，则百位数字为 x+1，个位数字为 3x−2。 原三位数为 100(x+1)+10x+(3x−2)=113x+98， 新三位数为 100(3x−2)+10x+(x+1)=311x−199。 根据题意，得 (113x+98)+(311x−199)=1171，即 424x=1272，解得 x=3。 所以百位数字为 4，十位数字为 3，个位数字为 7，原三位数为 437。 检验：437+734=1171，符合题意。 27．【答案】（1）1000 元；（2）方案乙 【解析】（1）设购买标价总额为 x 元的商品时两种方案花费相同。 根据题意，得 0.85x=100+0.75x，即 0.1x=100，解得 x=1000。 （2）当 x=1500 时，方案甲花费 0.85×1500=1275（元），方案乙花费 100+0.75×1500=1225（元）。 因为 1225<1275，所以选择方案乙更合算。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $