第十六章 整式的乘法 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦初中数学第十六章整式的乘法单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合图形验证、文化传承等情境，考查幂的运算、乘法公式等核心知识，适配单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|幂的运算、平方差公式辨析|结合"神秘数"概念（第10题）考查数学抽象| |填空题|6/18|完全平方公式、杨辉三角应用|杨辉三角与日期推算（第16题）体现文化传承| |解答题|8/72|整式混合运算、面积法验证公式|图形面积推导等式（第24题）发展几何直观与推理意识|

第十六章 整式的乘法（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2、计算的结果为（   ） A． B． C．1.5 D． 3、已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4、下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 5、若，，则结果是（    ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 6、如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 7、若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（   ） A．3 B．5 C．8 D．15 8、 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 9、若是方程的解，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 10、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、计算：的结果是______． 12、如果是一个完全平方式，则__________． 13、设，，则M与N的大小关系是______. 14、，，则的值为______. 15、规定：，按照这个规定请你计算：当时，的值为__________． 16、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题12分，18-19，每题7分, 20-21，每题8分, 22-23，每题9分, 24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 计算： （1） （2） （3） 18、已知：． (1)求的值 (2)已知：，求x的值 19、先化简，再求值：，其中，． 20、小赵同学计算一道整式除法：，由于他把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值：_____，_____． (2)这道除法计算的正确结果是__________； (3)若，，计算（2）中代数式的值． 21、如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 22、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 23、从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； 24、如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意； 2、计算的结果为（   ） A． B． C．1.5 D． 【答案】D 【详解】解： ， 3、已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， ∴， 4、下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不能按平方差公式计算，故不符合题意； B、，可按平方差公式计算，故符合题意； C、，不能按平方差公式计算，故不符合题意； D、，不能按平方差公式计算，故不符合题意； 5、若，，则结果是（    ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴原式． 6、如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：， 图乙中阴影部分的面积为：， 所以． 7、若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（   ） A．3 B．5 C．8 D．15 【答案】D 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含x的一次项， ∴， ∴， ∴实数m的值为15． 8、 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是24，即， ． 9、若是方程的解，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】C 【详解】解：是二元一次方程的解， ， ， ． 10、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为整数)的规律， ， A、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； B、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”， 不符合题意； C、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； D、令，解得：，是整数， ∴“神秘数”，符合题意； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、计算：的结果是______． 【答案】 【详解】解：==． 故答案为：． 12、如果是一个完全平方式，则__________． 【答案】-1或3 【详解】解：∵=， ∴2(m-1)x=±2×x×2， 解得m=-1或m=3． 故答案为：-1或3 13、设，，则M与N的大小关系是______. 【答案】 【详解】解：∵，， ， ∴． 故答案为： 14、，，则的值为______. 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ = =， 故答案为： 15、规定：，按照这个规定请你计算：当时，的值为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，列式得， ∵， ∴，即， 把代入得， ， 故答案为：． 16、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是_______． 【答案】星期四 【详解】解： ， 其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 故答案为：星期四 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题12分，18-19，每题7分, 20-21，每题8分, 22-23，每题9分, 24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）0 （2） （3） 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18、已知：． (1)求的值 (2)已知：，求x的值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 19、先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【详解】解： 当，时， 原式 20、小赵同学计算一道整式除法：，由于他把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值：_____，_____． (2)这道除法计算的正确结果是__________； (3)若，，计算（2）中代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由题意，， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）由题意，得 ， 故答案为：； （3） ∴原式． 21、如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； （2）当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 22、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见详解；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 23、从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【答案】(1)B (2)①3；②； 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； 24、如图，将长为，宽为的长方形对折后再对折，展开得到如图所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图所示的图形． (1)通过两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可得到关于，的等量关系为________ (2)根据中的等量关系，解决下列问题： 若，，则的值为________； 将边长分别为，的正方形，正方形按图3摆放，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】(1)； (2) ； ． 【详解】（1）解：由图可知：阴影正方形的边长为， 阴影的面积为：， 阴影的面积也可以看作是大正方形的面积减去长为、宽为的长方形的面积， 阴影的面积也可以表示为：， 可得到关于，的等量关系为， 故答案为：； （2）解：由可知， 当，时， ， 故答案为：； 解：如下图所示， 四边形和四边形为正方形，且边长分别为和， ，， ， ， 由可知， 或(舍去)， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $