精品解析：黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期适应性测试数学试题

哈师大附中2026级高一上学期适应性测试 数学试题 一、单选题：本题共8道小题，每个小题5分，共40分. 每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下面各组大小关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，， 且，即，可得， 所以，故B错误； 对于C：因为，， 所以，故C正确； 对于D：因为，，所以，故D错误. 2. 已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由数轴可知：，， 对于A：，故A正确； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 3. 下列各组中的、表示同一集合的是（ ） ①； ②； ③； ④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 4. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 5. 已知多项式因式分解后得到一个因式为，则的值为（     ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，设， 所以且，所以，. 6. 如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正方形的性质可知，，则都是半圆的切线， 切半圆于，由切线长定理： ， 设，则， 在中，，则 ，故，解得， 故， ． 7. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 8. 现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型法求解即可. 【详解】由题意可得抽出的可能有：，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，共20种可能； 要使两个数字和为正数的有：，，，，，， ，，，，，，共12种可能； 所以所求概率为. 二、多项选择题：本题共3道小题，每小题6分，共18分. 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将分式通分，结合已知条件可判断A选项；利用可判断B选项；由可求得的值，再将所求分式通分计算可判断C选项；利用立方差公式可判断D选项. 【详解】因为正实数，满足，，则， 对于A选项，，A错； 对于B选项，， 因为，则，故，B对； 对于C选项，因为，所以， 故，C对； 对于D选项，，D错. 10. 如图，用计算机模拟随机投掷一枚啤酒瓶盖的实验结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ） A. 当投掷次数是时，“凸面向上”的次数为 B. 当投掷第次时，“凸面向上”的概率是 C. 随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D. 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，由图可知，当投掷次数是时，“凸面向上”的频率为， 则“凸面向上”的次数为次，A对； 对于B选项，概率是客观存在的固定值，不能说“第次时的概率为”， 而应该正确表述为“第次时的频率为”，B错； 对于C选项， 随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是，C对； 对于D选项，随机试验具有随机性，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率不一定是，D错. 11. 已知 和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数n，使得，则称函数和是“和谐函数”．则下列函数和是“和谐函数”的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义计算是否有解即可. 【详解】对于A，，令，即， 则，所以存在实数，使得， 所以函数和是“和谐函数”，A正确； 对于B，，令，即， 则，所以不存在实数，使得， 所以函数和不是“和谐函数”，B错误； 对于C，，令，即， 则，所以存在实数，使得， 所以函数和是“和谐函数”，C正确； 对于D，，令，即， 则，所以存在实数，使得， 所以函数和是“和谐函数”，D正确. 三、填空题：本题共3道小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】因为一元二次方程的两根为、， 所以有， 因此. 13. 已知集合，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】解二次方程求得，由，可得或或或，分别求解后取并集即可得答案. 【详解】因为， 又因为，所以或或或， 当时，则有，解得； 当时，则有或， 解得或，所以； 当时，则有或， 解得或，所以； 当时， 所以，解得； 综上，实数的取值范围为：. 14. 我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意给定的新定义，直接代入求解即可. 【详解】由题意可知：，，代入“三斜求积”公式， 得，解得：. 四、解答题：本题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 将下列各式因式分解. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可以用十字相乘法； （2）先分组为 ，再使用立方差与平方差公式化简，最后用提公因式法进行因式分解； （3）先把变形为，拆开化为，再使用提公因式法与公式法即可因式分解. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． （1）计算线段的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数的定义可知，，在中，通过余弦函数的定义与勾股定理求得，最后再求得线段的长； （2）运用等面积法可知，即，从而计算出，最后在中求的值. 【小问1详解】 ∵在中，，． 设，则，， ．，解得， ，， ∵D是的中点，； 【小问2详解】 ∵D是的中点，∴， ，即， ∴，． ∴在中，． 17. 某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上围挡．学校准备了45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米． （1）求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）； （2）能否建造米的活动场地？请说明理由； （3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用） 【答案】（1） （2）不能，理由：把代入，得． 周长为． ∴不能建造米的活动场地 （3）10或6.4 【解析】 【小问1详解】 ∵矩形体育场占地面积为64平方米，∴. 【小问2详解】 不能，略 【小问3详解】 由题意可得活动场地造价为. 整理得，解得，. 经检验，，均为原分式方程的解，且符合题意. 当时，总周长为； 当时，总周长为. 综上可得，的值为10或6.4. 18. 已知抛物线，直线交抛物线于，两点，设，． （1），是否为定值，如果是定值则求出该值； （2）设直线与轴交于点，求抛物线上的任意一点到点的最小距离. 【答案】（1）是，， （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程得到一元二次方程，用韦达定理求出，再利用抛物线方程转化得到； （2）把距离平方转化为关于的二次函数，换元后配方求最小值，开方得到最小距离. 【小问1详解】 ，是定值，联立，则，化简得， 由 ，，， ，，； 【小问2详解】 直线与轴交于点，， 抛物线上的任意一点 则 令，则， 抛物线上的任意一点到点的最小距离为. 19. 已知二次函数. （1）若满足：，一次函数. ①求证：两函数的图象交于不同两点； ②求线段在轴上的射影的长的取值范围. （2）当时，方程的两个根满足：. ①求证： 是方程的根； ②若是方程的另外两个实根，且，试比较这四个根的大小． 【答案】（1）①联立得，则 ，， ，所以 ，故两函数的图象交于不同两点； ② （2）①当时，方程即，两根为，故，代入得，故是方程的根； ② 【解析】 【分析】（1）①联立两函数解析式得到一元二次方程，结合条件推导得，证明方程判别式大于 0，即可说明两函数图象交于不同两点；②利用韦达定理表示出两交点横坐标的差（即x轴上的射影长），通过换元将表达式转化为关于的函数，结合不等式求出参数范围，进而得到射影长的取值范围； （2）①根据方程根的定义，由，直接代入复合函数，验证等式成立即可；②对因式分解，拆分为两个二次方程，通过代入已知根判断第二个二次函数的函数值符号，结合开口方向确定根的分布，最终比较出四个根的大小. 【小问1详解】 ①略 ②设，则， ， 由一次函数，得，又故，且， 【小问2详解】 ①略 ② 时，， ， 令 ，则， 因此， 方程等价于，即 的两根为（已知 ）， 的两根为， 设（开口向上），代入 ，得， 由，得，代入得， 结合韦达定理，即，代入得，由，得； 同理可得， 结合开口向上的二次函数性质：对应区间，故，对应或，结合，得， 综上，四个根的大小关系为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2026级高一上学期适应性测试 数学试题 一、单选题：本题共8道小题，每个小题5分，共40分. 每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下面各组大小关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的、表示同一集合的是（ ） ①； ②； ③； ④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知多项式因式分解后得到一个因式为，则的值为（     ） A. B. 5 C. D. 6 6. 如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3道小题，每小题6分，共18分. 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用计算机模拟随机投掷一枚啤酒瓶盖的实验结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ） A. 当投掷次数是时，“凸面向上”的次数为 B. 当投掷第次时，“凸面向上”的概率是 C. 随着实验次数的增加，“凸面向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D. 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是 11. 已知 和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数n，使得，则称函数和是“和谐函数”．则下列函数和是“和谐函数”的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 三、填空题：本题共3道小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 13. 已知集合，若，则实数的取值范围为______． 14. 我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为______． 四、解答题：本题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 将下列各式因式分解. （1）； （2）； （3）. 16. 如图，在中，，D是的中点，过点B作直线的垂线，垂足为点E． （1）计算线段的长； （2）求的值． 17. 某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上围挡．学校准备了45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米． （1）求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）； （2）能否建造米的活动场地？请说明理由； （3）若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用） 18. 已知抛物线，直线交抛物线于，两点，设，． （1），是否为定值，如果是定值则求出该值； （2）设直线与轴交于点，求抛物线上的任意一点到点的最小距离. 19. 已知二次函数. （1）若满足：，一次函数. ①求证：两函数的图象交于不同两点； ②求线段在轴上的射影的长的取值范围. （2）当时，方程的两个根满足：. ①求证： 是方程的根； ②若是方程的另外两个实根，且，试比较这四个根的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $