黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试卷

1 哈师大附中 2024 级高一入学考试 数学试题 考试时间：120 分钟 试卷满分：150分 一． 单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．估计 40 1− 的值应在 ( ) A．3 和 4 之间 B．4 和 5 之间 C．5 和 6 之间 D．6 和 7 之间 2．如图，若数轴上点 P 表示的数为无理数，则该无理数可能是 ( ) A．2.7 B． 2 C． 3 D． 5 3．把黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有 1 颗棋子，第②个图案有 4 颗棋子， 第③个图案有 7 颗棋子，第④个图案有 10 颗棋子，，按此规律排列下去，第 n个图案有 25 颗 棋子，则 n的值为 ( ) A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，棱长为 5的正方体无论从哪一个面看， 都有两个直通的边长为 1的正方形孔，则这 个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ） A. 258 B. 234 C. 222 D. 210 5．若 a，b ， c 是三角形的三边长，则代数式 2 2 22a ac c b− + − 的值 ( ) A．小于 0 B．大于 0 C．等于 0 D．以上三种情况均有可能 6．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、 羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出 5 钱，则还差 45 钱；若每人出 7 钱，则仍然差 3 钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为 x 人，根据题意，可列方 程为 ( ) A．5 45 7 3x x− = + B．5 45 7 3x x+ = − C．5 45 7 3x x− = − D．5 45 7 3x x+ = + 7．已知整数 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， ，满足下列条件： 1 2a = ， 2 1| 1|a a= − + ， 3 2| 1 |a a= − + ， 4 3| 1 |a a= − + ， 以此类推，则 2023a 的值为 ( ) A． 1− B．0 C． 3− D．2 8．几位同学（人数至少为3) 围在一起做“传数”游戏，我们把某同学传给后面的同学的数称为该 同学的“传数”．游戏规则是：同学 1 心里先想好一个整数 a，将这个数乘以 2 再加 1 后传给同学 2，同学 2 把同学 1 告诉他的数除以 2 再减 0.5 后传给同学 3，同学 3 把同学 2 传给他的数乘以 2 再 加 1 后传给同学 4，同学 4 把同学 3 告诉他的数除以 2 再减 0.5 后传给同学 5，同学 5 把同学 4 传 给他的数乘以 2 再加 1 后传给同学 6，，照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面 的同学，直到传数给同学 1 为止．现有下列说法： ①若只有 3 个同学做“传数”游戏，同学 1 心里想好的数是 3，则同学 3 的“传数”是 7； ②若只有 4 个同学做“传数”游戏，这四个同学的“传数”之和不可能为 42； ③若有 n位同学做“传数”游戏，同学 1 心里先想好的整数恰好也为 n，这 n位同学的“传数”之 和为 2 3 2 2 n n + 或 2 3 1 2 2 n n+ + ．其中正确说法的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二．多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知关于 x的方程 | | 1x ax= + （其中 a为实数），则下列说法正确的是 ( ) A．当 0a = 时，方程的解是 1x = B．无论 a取什么实数，方程都有实数解 C．当 1a  − 时，方程只有一个解，且该解为正数 D．若方程恰有一个正数解和一个负数解，则整数 a的值为 0 10．如图，在正方形 ABCD中， 4AB = ，点 E 在对角线 AC 上，且不与 A，C 重合，过点 E 作EF AB⊥ 于点 F ， EG BC⊥ 于点G ，连接 ED， FG ，下列结论正确的是 ( ) A． 4 2AC = B．若 2AE = ，则 2DE = C．DE FG= D． FG 的最小值为 2 2 2 11．已知关于 x的一元二次方程 2( 3)( 2) 0x x p− − − = ，下列结论中正确的结论是 ( ) A．方程总有两个不等的实数根 B．若两个根为 1x ， 2x ，且 1 2x x ，则 1 3x  ， 2 3x  C．若两个根为 1x ， 2x ，则 1 2 1 2( 2)( 2) ( 3)( 3)x x x x− − = − − D．若 25 1 ( 2 p x p + + = 为常数），则代数式 ( 3)( 2)x x− − 的值为一个完全平方数 三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。 12．若反比例函数 5 k y x − = 的图象位于第一、三象限，则 k 的取值范围是 ． 13．如图，A、B 、C 是某景区的三个门，小南可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离 开，则他选择不同的门进出的概率为 ． 14．若关于 x 的一元一次不等式组 2 1 3( 2) 1 2 x x x a − −   −   的解集为 5x ，且关于 y 的分式方程 1 2 2 y a y y + = − − − 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a的和为 ． 四．解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13 分）解方程： （1） 2 4 12 0x x+ − = （2） 23( 5) 2( 5)x x− = − 16．（15 分）已知 3 2( )( 3 4)x mx n x x+ + − + 的展开式中不含 3x 和 2x 项． （1）求m 与 n的值． （2）在（1）的条件下，求 2 2( )( )m n m mn n+ − + 的值． 17．（15 分）某活动中心准备带会员去龙潭大峡谷一日游，1 张儿童票和 2 张成人票共需 190 元，2 张儿童票和 3 张成人票共需 300 元． 解答下列问题： （1）求每张儿童票和每张成人票各多少元？ （2）这个活动中心想带 50 人去游玩，费用不超过 3000 元，并且出于安全考虑，儿童人数不能超 过 22 人，请你帮助活动中心确立出游方案． 18．（17 分）阅读下面的材料： 解方程 4 27 12 0x x− + = 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 2x y= ， 则 4 2x y= ，原方程可化为： 2 7 12 0y y− + = ，解得 1 3y = ， 2 4y = ，当 3y = 时， 2 3x = ， 3x =  ， 当 4y = 时， 2 4x = ， 2x =  ．原方程有四个根是： 1 3x = ， 2 3x = − ， 3 2x = ， 4 2x = − ，以上 方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程： 2 2 2( ) 5( ) 4 0x x x x+ − + + = ； （2）已知实数 a，b 满足 2 2 2 2 2( ) 3( ) 10 0a b a b+ − + − = ，试求 2 2a b+ 的值． 19．（17 分）已知函数 1( ) 2 3 1( ) 2 m x x m y x m x m  − +  =  − + +  ，其中m 为常数，该函数的图象记为G ． （1）当 2m = − 时，若点 (3, )D n 在图象G 上，求 n的值； （2）当 2m = 时，求函数的最大值； （3）当 1 1m x m− + 时，求函数最大值与最小值的差； （4）已知点 3 ( , 2) 5 A m − ， 1 ( , 2) 2 B m− − ，当图象G 与线段 AB 只有一个公共点时，直接写出m 的取值 范围．