2.9 函数的图像 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数图像的作图方法、变换规律及应用，以“方法梳理-技能训练-实际建模”构建系统性训练体系，强化数形结合与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识梳理|描点法步骤+3类变换|提炼描点法操作流程及平移、翻折、伸缩变换规则|从基础作图方法到图像变换原理，构建“方法-变换-应用”逻辑链| |作函数图像|10题|结合极值、值域、单调区间的作图技巧|通过具体函数巩固描点法与变换应用，强化几何直观| |图像识别|25题|利用函数性质（单调性、奇偶性等）分析图像特征|训练从图像反推函数性质的推理能力，提升数学思维| |图像变换|19题|平移、伸缩、翻折变换规则的逆向与综合应用|深化变换规律的迁移应用，培养空间观念| |实际问题|16题|实际情境数学建模与图像分析|通过运动、注水等问题，发展模型意识与应用能力|

2.9 函数的图像 基础知识梳理 1.利用描点法作函数图象的步骤 2.图象变换 平移变换 的图象  的图象 的图象  的图象 的图象  的图象 的图象  的图象 翻折变换 的图象  的图象 的图象  的图象 伸缩变换 的图象  的图象 的图象  的图象 题型一 作函数的图像 1．求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)； (3)． 2．画出下列函数的图象. (1)； (2)； (3). 3．画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 4．画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)； (2) 5．已知函数． (1)画出的草图； (2)由图象指出的单调区间； 6．作函数的图象． 7．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 8．作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 9．作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 10．已知函数，求其值域、对称中心、单调区间，画出简图． 题型二 函数图像的识别 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 5．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 6．函数图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 7．设，函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 8．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A． B． C． D． 10．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 12．下列图象与函数图象最符合的为（    ） A． B． C． D． 13．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 14．以下是函数的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 16．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 17．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 18．函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 19．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 20．已知函数，，则图象如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 21．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 22．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    23．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 24．(多选)已知实数满足，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 25．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图是哪一个？ 题型三 函数图像的变换 1．已知，把函数的图象向上平移2个单位，得到的图象；把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象. 若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合.则可以是（    ） A． B． C． D． 3．下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．函数的图象可由函数的图象经过下列的哪种平移得到（    ） A．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 C．按向量平移 D．按向量平移 5．若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 6．下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 8．将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 9．把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 10．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 11．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 12．已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 13．为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 14．若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 15．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移1个单位长度 16．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 17．为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 18．抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，恰好过坐标原点，则的值为________. 19．设函数，函数的图象与的图象关于直线对称，函数的图象由的图象向右平移1个单位得到，则解析式为________________． 题型四 根据实际问题研究函数图像 1．某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 2．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 3．某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（   ） A．   B．   C． D．   4．海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 6．寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（    ） A．   B．   C．   D．     7．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   9．小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   10．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（　　） A．   B．   C．   D．   11．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   12．如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（    ）    A．   B．   C．   D．   13．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校.下列各选项中，符合这一过程的是（　  ） A． B． C． D． 14．某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（    ） A． B． C． D． 15．直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 16．某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与飞行时间（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”（单位：米/分钟）为无人机在这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.9 函数的图像 基础知识梳理 1.利用描点法作函数图象的步骤 2.图象变换 平移变换 的图象  的图象 的图象  的图象 的图象  的图象 的图象  的图象 翻折变换 的图象  的图象 的图象  的图象 伸缩变换 的图象  的图象 的图象  的图象 题型一 作函数的图像 1．求下列函数的极值，并画出大致图象． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)极小值为，极大值为； (3)极小值为，无极大值； 【详解】（1）由题可知函数定义域为，．令，解得． 当变化时，的变化情况如下表： 2 + 0 - 0 + ↗ 10 ↘ ↗ 由上表看出，当时，取得极大值，为；当时，取得极小值，为． 作出函数的大致图象，如图所示． （2）由题可知函数定义域为，．令，解得． 当变化时，的变化情况如下表： 1 - 0 + 0 - ↘ ↗ ↘ 由上表看出，当时，取得极小值，为，当时，取得极大值，为． 当时，，当时，， 由此作出函数的大致图象如图所示． （3）函数的定义域为，，令，得．当变化时，，的变化情况如下表： - - 0 + ↘ ↘ ↗ 由上表看出，当时，取得极小值，为，无极大值． 作出函数的大致图象如图所示． 2．画出下列函数的图象. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据函数的单调性及端点值作图即可. 【详解】（1）； 当时，单调递增；当时，单调递减； ，，，画出函数的图象如图： （2）； 当时，单调递减；当时，；当时，单调递增； ，，函数的图象如图： （3）定义域为，化简得. 在定义域内单调递增，函数的图象如图： 3．画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）通过分离常数把分式函数化成反比例平移型，借助图象平移或对称中心确定函数图象，由渐近线得到值域； （2）分段分别求出各段函数取值范围再取并集，结合函数图像观察纵坐标整体变化得到值域； （3）先画出内层二次函数图像，把轴下方部分沿轴向上翻折，观察翻折后图像纵坐标得到函数值域； （4）先画出函数在轴及右侧部分图像，利用偶函数关于轴对称补全左侧图像，观察图像纵坐标得到值域； （5）去掉绝对值将函数改写为分段函数，画出分段函数图像，依据图像纵坐标范围读出函数的值域. 【详解】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 4．画出下列函数的图象并根据图象求单调区间： (1)； (2) 【答案】(1)； 递增区间为，递减区间为 (2)； 递增区间为，递减区间为． 【详解】（1）的图象如下图． 由图象可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的图象如下图． 由图象可得函数的递增区间为，递减区间为． 5．已知函数． (1)画出的草图； (2)由图象指出的单调区间； 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）将函数解析式变形，利用函数图象的平移作图； （2）根据图象判断单调区间； 【详解】（1）由得． 的图象可由的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到如图． （2）在和上为增函数． 6．作函数的图象． 【答案】 【详解】函数，该函数在区间上的图象，可由的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到； 在区间上的图象，可由的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到，如图： 7．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 8．作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 【答案】 【分析】先画出，再将轴下方的部分翻折到轴上方即可得到函数的图象. 【详解】的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如图所示. 9．作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图象，及图象的翻折即可作出图象； （2）结合对数函数的图象，及图象的平移，翻折即可作出图象． 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如下图所示：    （2），其图象可由的图象向左平移1个单位长度，再保留轴上方部分不变，将轴下方部分翻折到轴上方得到，如下图所示：    10．已知函数，求其值域、对称中心、单调区间，画出简图． 【答案】值域为. 对称中心为. 上单调递减. 【详解】因为，且，所以函数单调递减. 并且时，时，，所以值域为. 令分母为，无解，说明竖直渐近线不存在．由结论得两条水平渐近线，． 由对称中心点得对称中心． 取，，确定图像位置. 题型二 函数图像的识别 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决. 【详解】函数定义域为， ， 函数为奇函数，图象关于原点对称， 排除选项B、D； 对于选项A,C，，故C错误，A正确. 2．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故是奇函数， 所以函数的图象关于原点中心对称，当时，，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减； A选项中图像关于原点中心对称且在先增后减，符合要求，A正确； B选项中图像关于原点中心对称， 但是在先单调递减后单调递增，不符合要求，B错误； C选项中图像在先单调递增再单调递减，但是关于轴对称，不符合要求，C错误； D选项中图像关于原点中心对称，但是在单调递增，不符合要求，D错误； 3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，， 定义域为，为偶函数，不符合题意； 对于选项B，， 定义域为，为偶函数，不符合题意； 对于选项C，， 定义域为，函数是奇函数， 当时，，则，不符合题意； 对于选项D，，定义域为，函数是奇函数，符合条件. 4．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】依题意，在上是增函数，则在函数的图象上，各点处的切线的斜率随着的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足，B，C，D均不满足． 5．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 【答案】C 【详解】A.一次函数图象是一条完整的直线，A错误， B.二次函数图象是一条抛物线，B错误， 此图象由若干段斜率不一样的线段组成，不同时间段有不同的对应法则， 由分段函数定义可知，C正确. 6．函数图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，可得出合适的选项. 【详解】，该函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，排除C，D， 当时，，，，此时，排除B， 因此，函数图象的大致形状是A选项中的函数图象. 7．设，函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对m分类讨论，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可. 【详解】， 当时 ，图象如A选项； 当时，时， 因为在单调递增，得在单调递增； 时，令，得为对勾函数， 所以在单调递增，单调递减， 所以根据复合函数单调性得在单调递减，单调递增，图象C符合； 当时，时， 因为在单调递减，故在单调递减； 时为对勾函数， 所以在单调递减，单调递增，图象D符合； 由CD可知当时，在不会单调递减，B不符合. 8．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 9．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D． 停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C． 所以能反映血液中药物含量随时间变化的图象是B． 10．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的奇偶性，结合特殊区间的函数值正负，得到答案 【详解】的定义域为R， ， 故为奇函数，排除BC选项， 当时，，则， 又，，故，故， A选项满足要求，D选项错误. 11．如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过函数图象的单调性判断导数的符号，得到答案 【详解】因为所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减， 所以相应的导数值应为正负正负，故A选项满足要求. 12．下列图象与函数图象最符合的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论函数的性质选取对应的图象即可. 【详解】,所以为偶函数，故排除A. 讨论在时的图象性质. , 令. 根据的符号可知，在单调增，在单调减. 故排除B、C.故答案选D. 13．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及对数函数的值域求解即可. 【详解】的定义域为. 因为，所以函数关于原点对称，排除选项AC. 当时，，，因此，故排除D，选B. 14．以下是函数的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，故BD错误； 当时，，所以，故C错误，A正确. 15．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象的特征，逐一判断各个选项，利用排除法即可解答. 【详解】由函数的部分图象可知： 函数在处无意义；当时，；当时，；等. 对于选项A：因为分母， 所以函数定义域为，在处有意义，与函数在处无意义矛盾，故选项A不符合要求. 对于选项B：因为，与矛盾， 故选项B不符合要求. 对于选项C：因为恒成立，与时，矛盾， 故选项C不符合要求. 对于选项D： 要使函数有意义，须使，得，满足要求； 当时，有，则，满足要求； 当时，有，则，满足要求； ，满足要求. 16．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求函数的零点排除部分选项，再根据时的函数极限值确定最终选项； 【详解】令，即，因为恒成立，所以或， 即函数的图象与轴有两个交点，分别为和， A选项：图象在时恒小于0，无正零点，排除；A错误 C选项：图象在处有一个零点，与题意不符，排除；C错误 对于B、D选项，当时，且，所以，B、D均符合。 考虑时，，故D选项符合题意。 故选：D. 17．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象和函数奇偶性、单调性逐项分析判断. 【详解】选项A，，当时，，求导可得，即时单调递减， 且时，与图像中先减后增、时趋向正无穷矛盾，故错误. 选项B，结合题干图像可知函数关于原点对称，即是奇函数， ，满足，是偶函数，故错误. 选项C，，是奇函数，符合对称性； 定义域：，符合图像特点； 当时，分子，， 指数增长速度远快于分母二次式增长速度， 故，单调递增，符合图像趋势，故正确. 选项D，在处无定义，结合题干图像可知不符合，故错误. 18．函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 故是奇函数，图象关于原点对称，故A,B错误； 当时，恒成立，的符号由决定， 当时，，故，图象在轴下方； 当时，，故图象在轴上方； 当时，，故，故C错误； D选项图象符合以上特征，故D正确． 19．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得，则定义域为关于原点对称， 又，则为偶函数，排除C，D选项； 又，排除B， 选项A符合以上要求. 20．已知函数，，则图象如图的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项AB，利用奇偶函数的定义得解；选项C，利用奇偶函数的定义得到是奇函数，利用导数法得到在上单调递增，从而得解；根据排除法可判断ABC不符题意. 【详解】选项A：设，定义域为， ， 且，则是非奇非偶函数， 与图像关于原点对称不符，选项A错误. 选项B：设， 奇偶性：， 且，则是非奇非偶函数， 与图像关于原点对称不符，选项B错误. 选项C：设， ， 则是奇函数，符合对称性. ， 在上恒成立，函数在上单调递增， 与图像先增后减不符，选项C错误. 因此排除ABC，只有D符合题意. 21．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析函数的奇偶性以及特定区间上函数值的正负来排除错误选项. 【详解】由函数解析式可知，分母，解得，即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 观察选项，C选项图象关于原点对称，故C错误； 当时，，则，所以，又 ，所以，即当时，函数图象位于轴上方， 观察选项，A选项在 上图象位于 轴下方，故A错误； 当时，，则，所以，又，所以，即当时，函数图象位于轴下方， 观察选项，D选项在 上图象位于 轴上方，故D错误； 综上所述，只有B选项符合题意，故B正确. 22．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 23．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 24．(多选)已知实数满足，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，结合幂函数的性质即可判断. 【详解】令，， ，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在和上各存在一个零点，即或， ，当时，在上单调递减，故A正确； 当时，幂函数的图象是下凸的，即增长速度越来越快，故C正确. 25．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图是哪一个？ 【答案】③ 【详解】根据，知道图像的第一段应为正比例函数模型，到达目的地后游玩了一段时间即第二段应为常值函数，原路返回匀速行驶了即第三段应为一次函数模型且呈下降趋势，再折回匀速前进，即第四段又为上升趋势. 注意理解两坐标轴，的含义，这里是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知③符合． 题型三 函数图像的变换 1．已知，把函数的图象向上平移2个单位，得到的图象；把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象. 若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】函数的图象向上平移2个单位，得到的图象. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变）， 得到函数的图象. 若，则，所以， 又，解得. 2．将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合.则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数的伸缩变换和平移变换推导得出，再逐一验证选项是否满足该恒等式即可. 【详解】将图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，可得； 根据函数平移“左加右减”的规则，将向右平移个单位长度，所得函数为， 由题意该函数与重合，因此有恒等式： 选项A：，则，不满足恒等式，A错误； 选项B：，则，不满足恒等式，B错误； 选项C：，则，不满足恒等式，C错误； 选项D：，则，满足恒等式，D正确. 3．下列选项中，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，，的图象可由的图象向上平移个单位而得，A不是； 对于B，，的图象可由的图象向左平移个单位而得，B不是； 对于C，，的图象可由的图象向左平移个单位而得，C不是； 对于D，的图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的而得（纵坐标不变），D是. 4．函数的图象可由函数的图象经过下列的哪种平移得到（    ） A．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 C．按向量平移 D．按向量平移 【答案】C 【详解】因为， 所以将的图象向右平移1个单位可得， 再将所得函数图象向下平移3个单位，可得的图象. 所以将的图象按向量平移，可得的图象. 5．若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移1个单位后得到函数， 由题可知图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得（因为，舍去），或，或（因为，舍去），或， 所以. 6．下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A. 因为，所以的图象可以由的图象向上平移个单位得到，A不适合题意； B.因为，所以的图象可以由的图象向左平移2个单位得到，B不适合题意； C.因为，所以先关于轴对称得到，再向右平移1个单位得到的图象，C适合题意； D.因为，所以的图象可以由的一下向左平移个单位得到，D不适合题意. 7．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 8．将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得， 将向右平移1个单位长度，所得图象恰好与的图象重合，可得， 选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 9．把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 10．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【详解】把函数的图象的所有的点保持不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，向左平移1个单位长度得到函数的图象. 11．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】A 【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像. 12．已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象， 由题可知函数图象恰好与函数的图象重合， 所以，即， 又且，所以. 13．为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 14．若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，直线平移后的直线方程，根据两直线重合，求得. 【详解】直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后， 得到的直线方程为，即. ∴，∴. 故选：B. 15．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移1个单位长度 【答案】C 【分析】变形函数解析式，结合函数图象平移规则即可求解. 【详解】由， 可知：只需把函数的图象上所有的点向下平移1个单位长度， 故选：C 16．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与关于轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解. 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图象上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图象上， 则，又的图象向左平移一个单位得到，所以， 故选：B. 17．为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论. 【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为. 故选：A. 18．抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，恰好过坐标原点，则的值为________. 【答案】或 【详解】抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，可得， 把代入可得：，即， 解得或. 19．设函数，函数的图象与的图象关于直线对称，函数的图象由的图象向右平移1个单位得到，则解析式为________________． 【答案】 【详解】与的图象关于直线对称的图象所对应的函数为， 再将其图象右移1个单位得到的图象． 题型四 根据实际问题研究函数图像 1．某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 2．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 3．某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（   ） A．   B．   C． D．   【答案】A 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先跑后走，所以关于的函数图象上升速度是先快后慢，故A正确，C错误. 故选：A． 4．海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目的描述分段分析位移s随时间t的变化趋势即可. 【详解】小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会， 所以小海同学离起点的位移s先增大，后不变，可排除B， 之后小海同学不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a），听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进， 所以之后s随t的增大先减小，再增大，故排除AC． 故选：D． 5．如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解． 【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间， 高度的变化较大，即较大， 到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大． 故选：D． 6．寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】B 【分析】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案. 【详解】由于兔子睡了一下，所以所有选项中有一段不发生变化的折线为兔子的“路程一时间” 的图像 一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项C D， 最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合. 故选：B. 7．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据开始时即时价格与平均价格的关系以及买卖过程中即时价格与平均价格的变化情况进行分析. 【详解】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C； 买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B； 买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D； 故选：A. 8．向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案. 【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件， 故选：C. 9．小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项. 【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 故选：D. 10．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据体温变化过程结合图像可得答案. 【详解】选项A反映，体温逐渐降低，不符合题意 ；选项B不能反映下午体温又开始上升的过程；选项D不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程. 故选：C 11．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度随时间变化的下降速度. 【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗， 燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快， 燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢， 结合所得的函数图象，A选项较为合适. 故选：A. 12．如图，点在边长为1的正方形上运动，设点为的中点，当点沿运动时，点经过的路程设为，面积设为，则函数的图象只可能是下图中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时：； 当点在上时： ； 当点在上时：， 所以， 由函数解析式可知，有三段线段，又当点在上时是减函数，故符合题意的为A. 故选：A 13．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校.下列各选项中，符合这一过程的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断这位同学与学校的距离的变化趋势，即可判断出答案. 【详解】因为开始时是匀速行驶，所以这位同学离学校的距离匀速减少， 途中停留一段时间，故此段时间内这位同学与学校的距离不变， 然后加快速度赶到了学校，所以这位同学与学校的距离减少的幅度越来越快， 故符合这一过程的是B中图象. 故选：B. 14．某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意分析即可求解. 【详解】该同学从居住地出发，一开始距离学校距离为1km，排除C、D， 先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合适. 故选：A. 15．直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的面积求得的表达式，进而确定正确答案. 【详解】直线的方程为， 当，. 当时，. 所以， 对应的图象为C选项. 故选：C 16．某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与飞行时间（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”（单位：米/分钟）为无人机在这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像分析，即可得到答案 【详解】由题图知,当时, 无人机做匀加速运动,,“速度差函数”; 当时, 无人机做匀减速运动,速度从160开始下降,一直降到80,“速度差函数”; 当时, 无人机做匀减速运动, 从80开始下降, ,“速度差函数”; 当时无人机做匀加速运动,“速度差函数”. 所以函数在和两个区间上都是常数. 故选：C 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $