第2章一元二次方程重难点精练卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心，以“基础概念-运算技能-综合应用”为分层路径，通过梯度化题型设计实现知识巩固与能力提升，培养数学抽象、运算能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义、解法等单一知识点|单选1-5、填空11-13夯实概念理解与基本运算| |能力提升|根与系数关系、实际应用等综合考点|单选6-10、填空14-15、解答18-19强化应用与推理| |拓展应用|跨学科情境、新定义问题等创新应用|解答21结合虚数概念培养创新意识与数学表达|

第2章一元二次方程重难点精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法求解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 5．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 6．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖长方体的盒子．已知盒子的容积是（不考虑铁皮的厚度），则原铁皮的边长为（    ） A． B． C． D． 7．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．我国伟大的杂交水稻之父袁隆平老先生，一生奉献于水稻科研中，从根本上解决了十四亿中国人民的粮食问题，并使得中国杂交水稻技术处于世界领先水平．某村种植的水稻2019年平均每公顷产，2021年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一元二次方程的解是_____． 12．设、是方程的两个实数根，则的值为________． 13．若是方程的根，则代数式的值为______． 14．某水果店经销一种水果，进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出千克；当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克．若要使每天的利润为元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价______元． 15．若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 16．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地．如图所示，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为_________． 三、解答题 17．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 19．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 20．已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 21．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：______，______，______， (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次方程重难点精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C C B C B A B 1．A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，依次判断各选项即可． 【详解】选项A中，原方程整理得 ，满足一元二次方程的全部条件，故A符合要求； 选项B中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C中，原方程含有两个未知数，故C不符合要求； 选项D中，原方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D不符合要求． 故选：A． 2．D 【分析】将原方程整理为一般形式，根据两根之和为m，两根之积为n，得，，计算出的值进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n， ∴，， ∴，． 3．C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的变形．按照配方法的步骤，将方程左边配成完全平方式，即可对比得到正确选项. 【详解】原方程为 ，一次项系数为 ，一次项系数一半的平方是： ， 方程两边同时加，得 ， 配方得完全平方式， 即 ． 4．C 【分析】根据m是方程的一个根得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 5．C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 6．B 【分析】利用长方体容积公式建立方程即可求解，原正方形铁皮四角各剪去小正方形后，盒子底面的边长为原边长减去2倍小正方形边长，盒子的高等于小正方形边长，代入容积公式列方程求解即可． 【详解】解：设原铁皮的边长为， ∵ 四角各剪去一个边长为的小正方形， ∴ 无盖盒子的底面长和宽均为，盒子的高为， 根据题意得： 解得，（舍去）， 答：原铁皮的边长为． 7．C 【分析】根据单循环每两队只赛一场的规则，推导总场次的数量关系即可得到方程. 【详解】解：设应邀参加比赛的足球队有个， ∵每个队需要与除自身外的个队各赛一场，且每场比赛由两个队参加，计算总场次时会重复计算一次， ∴总比赛场次为， 已知计划安排10场比赛，因此列方程得：， 两边同乘2整理得. 8．B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 9．A 【详解】解：根据题意，可列方程． 10．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．列出方程即可． 【详解】解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据停车位总占地面积为平方米，列出关于的一元二次方程， 根据题意得：． 11． ， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 12． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知：，， ． 13． 【分析】根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． 14．8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每千克这种水果应降价元，由题意：使每天的利润为元，列出一元二次方程， 【详解】解：设每千克这种水果应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽快减少库存， ， ∴每千克这种水果应降价8元． 故答案为：8 15．2或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“差3方程”的概念是解题关键． 设方程的两根分别为，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，再结合“差3方程”以及完全平方公式可得关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵方程是“差3方程”， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 此时，符合题意； 当时，原方程为， 此时，符合题意； 综上所述，m的值为2或． 故答案为：2或 16．或 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ， 化为一般形式为：． 故选：或． 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； （2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 19．(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 20．(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 21．(1)，， (2)， (3)， 【分析】（1）根据虚数的计算规则进行计算即可； （2）根据虚数的计算规则，把方程两边同时开平方即可求出方程的解； （3）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ； ； ； （2）解：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （3）解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $