第2章 一元二次方程 易错精练卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程易错点，融合新能源电池迭代、文旅经济等现实情境，强化概念辨析与应用能力，适配新授课巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|定义、根与系数关系、配方|第8题以电池能量密度升级考增长率，体现科技前沿情境| |填空题|6题|根的判别式、几何应用|第15题结合手办销售利润，培养模型观念| |解答题|5题|解方程、创新解法、实际应用|21题以文旅果园规划设问，融合面积计算与利润分析，发展应用意识|

第2章一元二次方程易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（新教材） 一、单选题 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 2．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 3．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 4．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 5．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 7．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 8．某新能源公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到，则x的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 11．若，该方程的解为______． 12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 13．若是方程的一个实数根，则代数式的值为__． 14．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，在轴上找一点使得是直角三角形，则点的坐标为________． 15．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 16．阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 19．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 20．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 21．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次方程易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A B A C C A B 1．C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 2．C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 3．B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 4．A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 5．B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 6．A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 7．C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 8．C 【分析】本题考查根据实际问题列方程求解，解题思路是先依次推出两次升级后的能量密度，列出方程后求解正的x值即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为， 第二次升级后的能量密度为， ∵最终能量密度达到， ∴可列方程为， ∵，两边同除以得， 又∵为倍数，， ∴． 9．A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 10．B 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 11． ， 【详解】解： 或 ∴，． 12．/ 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 13． 【分析】先根据是方程的根得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个实数根， ，则， 将代入得原式． 14．或或或 【分析】先设点，再根据勾股定理表示出，，，然后分三种情况讨论得出方程，并求出解即可． 【详解】解：设点，根据题意，得 ，，． 当时，是直角三角形， 即， 解得或， ∴点或； 当时，是直角三角形， 即， 解得， ∴点； 当时，是直角三角形， 即， 解得， ∴点， 所以点C的坐标是点或或或． 15．8 【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可． 【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个， 根据题意，可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 当时，定价为元/个， 当时，定价为元/个， 因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个． 16． 【分析】根据题意可得正方形休闲广场的边长为，根据两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等建立方程可求出步道的宽；设区域丙的边长为，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，那么长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多的长度乘以区域丙的边长即为长方形区域甲的面积比长方形区域乙多的面积，据此建立方程求出区域丙的边长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴步道的宽为； 设区域丙的边长为， 由题意得，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多， ∵长方形区域甲的面积比长方形区域乙大， ∴， ∴， ∴塑胶跑道的总面积为． 17．(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 18．(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 19．(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 20．(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 21．(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $