26.4 实际问题与二次函数（第1课时）—— 几何图形最值 （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础几何面积到综合实际应用，强化二次函数最值模型构建与应用。初中数学新授课同步练，核心知识点为实际问题与二次函数（第1课时）。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一几何图形面积最值（矩形、三角形等）|对应基础考点，强化顶点公式与范围检验，培养运算能力| |能力提升|动态问题与复合图形（动点、矩形加半圆）|引入运动变化，构建复杂函数模型，发展模型意识| |拓展探究|复杂实际情境（道路修建、造价优化）|结合生活实际，解决多限制条件问题，提升应用意识与创新意识|

26.4 实际问题与二次函数（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①几何图形面积最值问题：用含x的代数式表示边长，建立面积S关于x的二次函数。 ②利用顶点坐标求最值：x=-b/2a时S取得最值。 ③必须检验x的取值范围，顶点在范围内时顶点即最值点。 2. 与本节课相关的旧知识：矩形/三角形面积公式、二次函数最值、配方法。 3. 预习时遇到的疑问：为什么求面积最大值时要先确定自变量x的取值范围？顶点一定可取吗？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①求最值时忽略自变量取值范围，顶点不在范围内仍用顶点值。 ②表示边长时漏掉几何限制（如边长为正）。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 矩形长x，宽(10-x)，面积S=____。 2. 周长20的矩形，长x时面积S=____。 3. S=-x²+10x的最大值在x=__时取得。 4. 一边靠墙，篱笆长30，垂直墙的边长x，平行墙边长____。 5. 面积S=x(20-2x)的最大值是____。 6. 二次函数最值问题中，自变量需满足____。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 用长为6m的铝合金型材做一个如图所示的矩形窗框（含中间一横档），窗框的高x(m)，宽y(m)，面积S最大时，高和宽分别为（　）A.1m,1.5m　B.1.5m,1m　C.2m,1m　D.1m,2m 2. 用长为24m的篱笆围成一个矩形养鸡场（一边靠墙），求养鸡场的最大面积。 3. 如图，在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。设矩形一边AB=x m，若两直角边分别为30m和40m，求矩形面积S的最大值。 4. 用长为20m的铁丝围成一个矩形，求矩形面积的最大值。 5. 一个矩形的周长为16cm，它的一边长为x cm，面积为y cm²。(1)写出y与x的函数关系式；(2)当x取何值时面积最大？最大面积是多少？ 6. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃。设花圃宽AB为x m，面积S为S m²。(1)求S与x的关系式；(2)如果要围成面积为45m²的花圃，AB的长是多少？(3)能围成面积比45m²更大的花圃吗？ 7. 在一个半径为20m的圆形喷水池的周围围一个矩形花坛，使矩形四个顶点都在水池边缘上。设矩形一边长为x m，求花坛面积S与x的关系式，并求S的最大值。 8. 某隧道的截面是矩形加半圆，周长为18m。设半圆半径为x m，求截面面积S与x的关系式及S的最大值。 9. 用长为12m的铝合金制作一个“日”字形矩形窗框（即中间有一横档），求窗户面积的最大值。 10. 一块三角形废料如图，∠A=30°，∠C=90°，AB=12。用这块废料剪出一个矩形CDEF，使点D、E、F分别在AC、AB、BC上。设DE=x，求矩形面积S的最大值。 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8。点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E、F，得四边形DECF。设DE=x，DF=y。(1)用含x的代数式表示y；(2)设四边形DECF面积为S，求S的最大值。 12. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m。现要在拱桥面上铺一条矩形彩带，使彩带一边在桥面上，求彩带的最大面积。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 在一边长为4m的正方形铁皮上，截去一个直角三角形，求剩余部分面积的最大值。 解： 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm。点P从A沿AB向B以1cm/s移动，点Q从B沿BC向C以2cm/s移动。(1)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S cm²，写出S与t的函数关系式；(2)t为何值时S最小？ 3. 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形。制造窗框的材料总长为15m（图中所有黑线的长度和）。当x等于多少时，窗户通过的光线最多（即窗户面积最大）？此时窗户面积是多少？ 4. 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB=3，点C在抛物线y=x²-2x上。设点A的坐标为(a,0)，求矩形ABCD面积S的最大值。 解： 5. 用48m长的竹篱笆围一个矩形场地，场地一边利用房屋墙壁（墙足够长）。(1)怎样围才能使场地面积最大？(2)最大面积是多少？ ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 某学校要在一块长8m、宽6m的矩形草坪中央建一个矩形花坛，使花坛四周草坪宽度相同，且花坛面积是草坪总面积的一半。设草坪宽为x m。(1)求x；(2)能否使花坛面积达到草坪总面积的3/4？ 解： 2. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm。动点P从A沿AB向B以2cm/s移动，动点Q从B沿BC向C以4cm/s移动。(1)设运动时间为t s，求四边形APQC的面积S与t的关系式；(2)t为何值时S最小？ 解： 3. 阅读材料：配方法是求二次函数最值的基本方法。请用配方法解决：用长为20m的护栏靠墙围成矩形花园（中间有一道分隔栏），求花园的最大面积。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 如图，在一块长为30m、宽为20m的矩形场地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分种花草。(1)设道路宽为x m，写出花草面积S与x的关系式；(2)道路宽多少时花草面积最大？最大面积是多少？ 解： 2. 某工厂要建一个矩形无盖水池，其底面为正方形，池壁造价为每平方米100元，池底造价为每平方米200元。总造价为6000元。设底面边长为x m，求水池高度h与x的关系式，并求水池容积的最大值。 解： 3. 在一个直角三角形铁皮上裁出一个矩形，要求矩形的一个角与直角三角形的直角重合。已知两直角边分别为30cm和40cm，求裁出矩形的最大面积。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 26.4 实际问题与二次函数（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 建二次函数面积模型→配方/顶点公式求最值→检验范围。 二、基础随堂自检 1.x(10-x)　2.x(10-x)　3.5　4.30-2x　5.50　6.实际意义（正数） 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.A　2.48m²　3.300m²　4.25m²　5.(1)y=x(8-x)；(2)x=4，16cm²　6.(1)S=x(24-3x)；(2)5m；(3)能，最大48m²　7.S=x√1600-x²，最大200m²　8.S=18x-π/2x²-2x²，最大约24.8　9.6m²　10.12　11.(1)y=8-2x；(2)16　12.约106.7m² ★★ 能力提升 1.16-6√3　2.(1)S=72-t²；(2)t=3　3.x=1.75，约7.6　4.9　5.(1)垂直墙12m；(2)288m² ★★★ 拓展探究 1.(1)x≈1.17；(2)不能　2.(1)S=4t²-48t+288；(2)t=6　3.200/9m² 五、学以致用 1.(1)S=(30-x)(20-x)；(2)x=0时最大600　2.h=3-x，最大容积4m³　3.300cm² 学科网（北京）股份有限公司 $