广东省深圳市罗湖区多校联考2026-2027学年第一学期学业质量检测高三数学试题

2026-2027学年第一学期学业质量检测 高三数学参考答案 2026.9 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D B A D B 第8题解答： 原方程等价于a=x3-3x2, 令g(x)=x3-3x2, 则方程有三个不同实根等价于水平直线y=a与函数y=g(x)的图象有三个不同的交点. 因为g(x)=x3-3x2=(x-1)3-3(x-1)-2,可看出g(x)关于点1，-2)对称， 设g(x)=a的三个实数解分别为，x,3,且+53=2x 由对称性可知，x+x3=2,于是x3=1, 所以a=x-3x3=-2. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 0 10 11 答案 ABC ABD ABD 第11题解答： 选项A:4B=V5,AF=1,所以m∠4B=Ag-5,直线EF与直线BC所成角等 AF 于直线EF与直线A,D所成角∠A,FE,故选项A正确： 选项B:以点D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴，二轴建立空间直角坐标系， 则E(2,1,0),F1,0,2),B(2,2,0),设P(x,2,=),故EP=(x-21,-=),BF=(1,-2,2), 由EP.BF=0得x+2==0,取P(0,2,0),此时便有EP⊥BF,故选项B正确： 选项C:三棱锥P-BEF的体积最大时，点F到平面PBE的距离 应该最大，且△PBE的面积也最大，因此当点P与点C重合时， 三棱锥P-BEF的体积最大，此时，三棱锥P-BEF的体积 ”台4×S兮2分x2号·放选暖C错误 选项D: A(2,0,0),AP=(x-2,2,=）, 所以 |AP2=(x-2)+4+2=5,所以(x-2)2+=2=1,所以满足 AP=√5的P的轨迹在侧面BCCB,内是为以点B为圆心，半径为1的四分之一圆弧，故其 2025年罗湖区普通高中高三年级调研考试数学试题第1页共8页 轨迹长度为行2π-子放选项D正确： 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 号 14.7 13.100 第14题解答： 设事件A:x+飞+x3为偶数；事件B:+x=3, 首先计算A的个数(A),编号1~8中有4个奇数、4个偶数。三个数之和为偶数的情况有： ①三个都是偶数，共有4×3×2=24种；②两个奇数一个偶数，共有CC×3!=6×4×6=144 种.因此n(A)=24+144=168, 再计算B的个数(B),要求x+x=5,且x≠x,所有编号均在1~8之间。 首先枚举所有满足x+x2=飞3≤8的无序对{：，x}, (i)x=1,则x2可取2,3,4,5,6,7： (i)x1=2,则x2可取3,4,5,6： (ii)x=3,则x可取4,5： 所以n(B)=12x2=24,当B发生时，x1+3+x3=2x3必为偶数，所以B≤A, 从而n(AB)=n(B)=24, 所以P(B1A)=n(AB)241 n(A)168-71 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某校高三年级为了解学生是否喜欢数学课与性别的关系，在高三年级中随机抽取了100名学 生进行调查.所有被调查学生需从“喜欢”和“不喜欢”中选择一项，调查数据如下表所示. 喜欢 不喜欢 合计 男生 20 30 50 女生 36 14 50 合计 56 44 100 (1)依据小概率值=0.05的独立性检验，分析学生是否喜欢数学课与性别是否有关： (2)从上述接受调查的男生中，按照是否喜欢数学课进行分层随机抽样抽取5人，再从这 5人中随机抽取2人，设抽取的2人中喜欢数学课的人数为随机变量X,求X的分布列及 数学期望E(X). 0.1 0.05 0.01 0.005 附：X2= n(ad-be)? (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' a 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】 (1) 2025年罗湖区普通高中高三年级调研考试数学试题第2页共8页 设零假设H：学生是否喜欢数学课与性别无关. …1分 X2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 100×(20×14-30×362_6400≈10.39，…2分 56×44×50×50 616 因为x2≈10.39>3.841，所以依据小概率值=0.05的独立性检验，有充分证据认为学生是 否喜欢数学课与性别有关.… …2分 (2)容易知道抽取的5人中，喜欢数学的男生有2人，不喜欢数学的男生有3人，…1分 从这5人中随机抽取2人，设X为其中喜欢数学的人数，则X服从超几何分布，…1分 所以P(X=k）=2C3k=0.1.2,…1分 9 于是有P(X=0)= C c-10 …3分 所以X的分布列为： X 0 2 3 3 P 10 5 10 …1分 3 X的数学期望为E(X)=0x2+1x2+2× 1 …1分 10 5 105 16.(15分) 在△ABC中，D为BC边上一点，∠ABC-牙AD-2,AB-6,ADB为纯角 (I)求sin∠BAD的值： (2)若△ACD的内切圆的半径为5 ,求△ABC的面积. 【解析】 (1)由AD AB 得，…1分 sin B sin∠ADB sin∠ADB=AB.sinB5 …】分 AD 2 因为∠ADB∈(，)· 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …1分 所以∠ADB= 2π 3 …1分 J是B0=-(货+1-m好56，点 …分 >43 (2) 因为∠ADB=2严，所以∠ADC=元-2元=元 3 …】分 33 2025年罗湖区普通高中高三年级调研考试数学试题第3页共8页 在△4BD中，由正弦定理得BD=4Bsi∠BAD-5-1, 1分 Sin∠ADB 设CD=x, 在△ACD中，∠ADC= 3,AD=2, 由余弦定理得AC2=AD+CD-2AD.CD.c0S∠ADC,…1分 放4C-4+r-22x-2r4, …分 △C0的商积s-号4nCD通A议-2r点- …分 22 仅因为8号4D+CD+A95-2++-2r …1分 所以52+x+V-2g+=5x ·1分 6 2 整理可得3x(x-2)=0, 因为x>0,所以x=2,即CD=2, …1分 于是BC=BD+CD=V3+1,… …1分 所以S=号4 .ac.n/Ac号6(+0g-5 …1分 22 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PB=PC=V3,底面ABCD为矩形， AB=1,AD=2,PA⊥PD. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD; (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值. 【解析】 (1)取AD与BC的中点E,F,连接PE,PF，EF, 因为PB=PC,于是PF⊥BC, …1分 又因为EF⊥BC,PF∩EF=F, 所以BC⊥平面PEF,…… …1分 所以AD⊥平面PEF,所以ADL PE, …1分 所以PA=PD,… …1分 又PA⊥PD,所以PA=PD=√2，PE=1, 而EF=1,PF=√2，所以PE2+EF?=PF2, 从而EF⊥PE,PE∩AD=E,… …1分 所以EF⊥平面PAD,而EFC平面ABCD, …1分 所以平面PAD⊥平面ABCD. …1分 (2)以点E为原点，EA,EF,EP分别为x轴，y轴，二轴建立空间直角坐标系， 则E(0,0,0),F(0,1,0),A1,0,0),B1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),…1分 2025年罗湖区普通高中高三年级调研考试数学试题第4页共8页 故PB=1,1-1),PC=(-1,1,-1),PD=(-1,0,-1)，…1分 设平面PBC与平面PCD的法向量分别为m=(a,b,c)和n=(x,y,), PB.m=0 -a+b-C-0’令c=1得到m=0,1),2分 a+b-c=0 则由 得到 PC.m=0 由PDn=0 -x-5=0 到 令2=1得到n=(-1,0,1), …2分 PC.n=0 -x+y-=0' 1 所以cos<m,n>= m.n V222 …1分 ‖ll 所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为 。。0■0■■。。■0■■0。。0g■00。。 个z.…1分 2 18.(17分) 己知函数f(x)=e-l+ke-x(keR). (1)讨论函数∫(x)的单调性： (2)若g(x)=(x-1)3. ①若k=-1时，求证曲线(x)=f(x)·g(x)是轴对称图形： ②若k=0时，试探究曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线的条数， 【解答】 (1)因为f'(x)=e-1-e-x, …1分 当k≤0时，f(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；…1分 1 当k>0时，令f'(x)=0,得x=1+lnk, 2 te(ol+2血)时f<0:xe0+号hk+m)时，>0： 故f(田在（←0,1+n)上单调递减，在1+nk,+0)上单调递增. …1分 综上，当k≤0时，f(x)在R上单调递增：当k>0时，f(x)在(-o,1+二ln)上单调递减， 在Q+nk,+0)上单调递增. …1分 (2)①当k=-l时，f(x)=ex-1-ex, 所以u(x)=f(w)g()=(e1-e)-(c-1)3, …分 (2-)=(e2--e-2+)-(2-x-1)3=(e-1-e-x)-(x-1)3=(),…2分 所以(x)的图象关于直线x=1对称， …1分 故曲线u(x)=f(x)g(x)是轴对称图形. ②当k=0时，f(w)=ex-1, 2025年罗湖区普通高中高三年级调研考试数学试题第5页共8页 设公切线与f(x)相切于t,e-),与g(x)相切于(s,(s-1)) 因为f'(x)=e-1,g'(r)=3(x-1)2, 故f(x)在点化，e-)处的切线方程为y-e-1=e(x-),…1分 即y=e-lx+1-t)e-1 g()在点(s,(-1))处的切线方程为y-(s-1)3=3(s-1)2(x-5）,…1分 即y=3(s-1)2x-(s-1)2(25+1), 所以e=30- …1分 11-t)e-1=-(s-1)(2s+1) 消去t得3(g-1)2n[3(s-1)2]=(-1)(2s+1),…1分 因为5=1时，e-1=0无解，故s≠1， 因此原方程可化为3ln[3(s-1)]=2s+1, 令m=s-1,方程变形为3ln(3m2)-2-3=0, 取()=3n3x)-2x-3(x≠0)，hr0)=6-2x …1分 当x∈(-o,0),h'(x)<0,h(x)单调递减： 当x∈(0,3)，h'(x)>0,h(x)单调递增： 当x∈(3，+o),h'(x)<0,h(x)单调递减；…1分 而h(3)=9ln3-9>0, 当x→-0时，h(x)→+0，x→0时，h(x)→-0， 当x→0t时，h(x)→-o,x→+0时，h(x)→-0，…1分 结合各区间端点处的极限值与单调性可知，(x)在(-o,0)上有且仅有1个零点；在(0,3)上， 有1个零点；在(3，+0)上，有1个零点，一共3个零点.… …1分 所以方程3(-1)2n[3(s-1)2]=(s-1)(2s+1)一共有3个根， 即f(x)与g(x)一共有3条公切线.…1分 19.(17分) 基本不等式可以推广到一般情形：对于n个正数4，a,,a,它们的算术平均不小于它们的 几何平均，即4+a++a1≥4aa,当且仅当4=a,==a时等号成立.若无 穷正项数列{a,}同时满足下列两个性质：①存在实数M>0,使得a,<M对任意n∈N恒 成立；②{a}为单调数列，则称数列{a}具有性质P. 32 (1)若an=n+ ，求数列a,}的最小项； 2025年罗湖区普通高中高三年级调研考试数学试题第6页共8页 1 (2)记6,3”一，记S,为数列私，}的前”项和，判断数列，}是否具有性质P,并说明 理由； (3)若c 求证：数列{cn}具有性质P. n 【解析】 (1)求数列{a}的最小项，由三元形式的基本不等式得 4=+”32 22≥ nn 32 =338=6, ·1分 V22n2 当且仅当-32，即n三4时等号成立，…1分 所以数列a,}的最小项为4，=4+3 =6: 1分 (2)因为3“-1≥3”-3m-1=23,所以6≤，1 2.3-’ …1分 于是S=6≤∑111 1分 3 所以取M= 子有S<M对任意n恒成立，满足性质0， …1分 又因为bn>0,所以St1-Sn=bt1>0,故{Sn}严格单调递增，满足性质②：…1分 综上，数列{S}具有性质P.… …】分 41） (3)由二项式定理，c=1+ +- …1分 0 显然有c1=2<3, 当k≥2时，有C1-001-2）"-k+< …1分 k!n k! 因为k1=1.23k≥2-1， 因此cs月1 2’ 1分 而乃1 三之2次) 1 -=1- …1分 1 1- 21下1， 2 21+1+1=3, 所以c<1+1+户1 …l分 所以取M=3，有cm<M恒成立，满足性质①： 1分 再证{c}单调递增， 2025年罗湖区普通高中高三年级调研考试数学试题第7页共8页 1+ *币- n+1 +1 =CH1…1分 所以{C}单调递增，满足性质②；… …1分 综上，数列{C}具有性质P.…1分 2025年罗湖区普通高中高三年级调研考试数学试题第8页共8页2026-2027学年第一学期学业质量检测 高三数学 2026.9 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码， 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑， 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和 涂改液 5.考试结束后，考生上交答题卡 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.样本数据2、3、4、4、7的平均数为() A.1.2 B,2.8 C.4 D.7 2.已知复数z=1+3i,则复数，2在复平面内对应的点位于（) 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知集合4=am华=，B=xeN刘2<2026，则An8=（） A.{L,5} B.{1,5,9,10} C.{0,1,5,9} D.{1,5,9} 4.已知平面向量a=(3,m),b=(2,3),且|a-bHa+b,则m=(） A.2 B子 c.-1 D.-2 5.2026年世界杯小组赛，某组有4支球队，每两队之间赛一场，则该组小组赛阶段共进行 比赛场数为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 6.已知sin(a-)=3cos(a+),tana=2,则tanB=(） A c.- 5 7、已加双自线C:号茶-1a>6>0的左右袋点分剥为5，及，过5的直线与C的 左支交于A,B两点，|AF BF:BE2=1:3:5,则C的离心率为（) A.√5 B.5 C.10 D.V10 2 2 8.己知方程x3-3x2-a=0有三个不同且成等差数列的实数解，则a=（) A.0 B.-2 C.-3 D.-4 高三数学试卷第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,直线1：y=c+1(k∈R),则下列说法正确的是() A.圆C的圆心坐标为(2,1)，半径为3 B.直线1恒过定点(0,1) C.当k=0时，直线1截圆C所得弦长为6 D.存在k,使得直线I与圆C相离 10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点，过点F 且垂直于AB的直线交C的准线于点E,已知AB|的最小值为4，则（) A.p=2 B.EA⊥EB C.当|AF=3BF|时，|EF=4 D.AE BE≥8 11.已知正方体ABCD-AB,CD1的棱长为2，点E为棱AB的中点，点F为棱AD的中点， 点P为侧面BCCB内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是() A.直线EF与直线BC所成角的正切值为√5 B.存在点P,使得EP⊥BF C.三棱锥P-BEF的体积的最大值为子 D.若4P=5,则P的轨迹长度为分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=2Wx,则f(x)在点x=2处的瞬时变化率为 13.己知数列{an}满足41=2，an+an+=2n(n∈N*),则ag9=」 14.一个袋中有大小、质地完全相同的8个球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8。现 从袋中不放回地随机依次取出3个球，记第i次取出的球的编号为x:(i=1,2,3)。已知 名十x2+名3为偶数，则x+x2=方3的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 某校高三年级为了解学生是否喜欢数学课与性别的关系，在高三年级中随机抽取了100 名学生进行调查.所有被调查学生需从“喜欢”和“不喜欢”中选择一项，调查数据如下表 所示。 高三数学试卷第2页共4页 喜欢 不喜欢 合计 男生 20 30 50 女生 36 14 50 合计 56 44 100 (1)依据小概率值a=0.05的独立性检验，分析学生是否喜欢数学课与性别是否有关： (2)从上述接受调查的男生中，按照是否喜欢数学课进行分层随机抽样抽取5人，再从这 5人中随机抽取2人，设抽取的2人中喜欢数学课的人数为随机变量X,求X的分布 列及数学期望E(X)· c 0.1 0.05 0.01 0.005 n(ad-be)2 附：x2=a+c+a0a+eb+④' Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 16.(15分) 在△4BC中，D为BC边上一点，∠ABC=至，AD=2,AB=6,∠ADB为钝角. (1)求sin∠BAD的值； (2)若△4CD内切圆的半径为5， 求△ABC的面积. 3 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PB=PC=√5，底面ABCD为矩形，AB=1,AD=2, PA⊥PD. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD; (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值. 高三数学试卷第3页共4页 18.(17分) 已知函数f(x)=e+e-r(k∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若g(x)=(x-1)3. ①当k=-1时，求证曲线u(x)=f(x)·g(x)是轴对称图形： ②当k=0时，试探究曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线的条数. 19.(17分) 基本不等式可以推广到一般情形：对于n个正数4，a2,,an,它们的算术平均不小于它 们的几何平均，即4+a++a1≥4a,…a,当且仅当a=a==a,时等号成立.若 n 无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质：①存在实数M>0,使得an<M对任意n∈N恒 成立；②{an}为单调数列，则称数列{an}具有性质P. (1)若an=n+ 京，求数列a,}的最小项； 32 1 (2)记6，=30一1, 记Sn为数列bn}的前n项和，判断数列{Sn}是否具有性质P,并说明 理由； 3)若c,+,求证：数列c,具有性质P. 高三数学试卷第4页共4页2026-2027学年第一学期学业质量检测 高三数学 答题卡 1在“条形可后贴处“横晶条形码，连意不要划出框外， 缺考标记 2答题偷考生务各用思色字法的信笔或签字笔填写学校、先址，姓名， 注飞进年四都分必厥使用B相笔填偏容案标号，正明方法是■。答案框内必须 口 对禁号南生： 4非进拜硅而分必烫使用男色字凌的钢笔或签学笔书每。按丽题号在相皮的答思 由金考英周2进粉笔 项 区域内作答。不酒使用涂改液、涂改市豫改。 筑像此信息点，其 5超出各登答图区城的容案无效，在试远巷、稿低上答题无效： 做考坐就止填蜂 长保特卡面清洁，不要折量、弄蓝答题来， 学校 班级 条形码粘贴处 请被对条形码上的准考证号和姓名〕 姓名 以下为选择愿答驱区，须使用2B植笔正确墙球。否则答米无效。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 幻四▣ 5□间 四 2 g▣D ▣▣ OP 司a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分，在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分。 ga四a回0a▣a可H四可回四 以下为非毫探還答题区，多领使用需色字连的解笔或签字笔书写。否剧答案无效， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14. 请注意每题答题空可。颜先合莲安。如出围色矩形边枢辰定区城的答案无效， 切角 情生意蜂题答慰空间。税先合理安排。超出团色矩形边拟限定区健的答奖无效。 请性意每思答送空间，预先合进安捷，加出男色矩形边队州定区装的答案无发。 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 16.(15分) 程或演算步骤。 15.(13分) 时注意每露答喝空间，损先合理安推。超出做色矩形边忍果定区域的答案无效。 清注意解题答趣空间。顾先合理安体，想出思色矩形边配限定区岐的答案无效。 高三数学答题卡第1页共2页 请注量每因否题空间，夜先合理安排，植省圆色柜利边机限定区域的养案无效： 请注数每圆答塑空低，雨先合理安，植出题色拒形边机限定区城的夺案无效。 请注意钙思容国空间。钢生合理安推，超出愿色拒愁边模限定区城的答案无效！ 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) B 题17图 请注意每塑苦题空间。顾先合理安棒，植曲里色地愁边根限定区域的答案无效。 请往意每思空，先合理安物，超出色形边根限定区减的管案无效， 请注意每答盟空间，便先合理安，超出色形边框限定区城的答无效。 高三数学答题卡第2页共2页