广东省深圳市宝安区2026-2027学年第一学期教学质量检测高三数学试题

宝安区2026-2027第一学期高三教学质量监测末 数学试题答案及评分参考 2026.9 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的、 题号 1 2 3 5 6 7 P 答案 C C B D B A D 7.【详解】设等差数列{a}的公差为d.由S=18,得a4+a2+4=4+4+d+4+2d=缸1+=18①， 由T=10得4-8+2a+1=4-8+2(4+d)+1=10.3a+2d=17②， 34+3d=18 联立①②， 3a+2d=17,解得g=5,d=1, 所以a,=4+(n-1)d=5+(n-1)x1=n+4. 「n-4,n为奇数 则b= 2n+9.n为偶数’ 所以T0=(6+b+…+bg)+(b2+b4++b0)=(3-1+1+…+15)+13+17+…+49) =-3+15x10+13+49×10=370. 2 2 8.对于A,当X=2时，可能出现2个黄球，1个红球的情况，不正确， 对于B,当“X=1时，可能出现2红，1黄或2白，1黑， 故px=)=c5C+CC=3 5,不正确 对于C,当“X≤0时，可能出现2红，1黑；2黄，1黑；1红，1黄，1黑；1红，1 白，1黑：1黄，1白，1黑 故P(x≤O)=C3+C3+C·C+C·C2+C2.C_14<,不正确 C 3 9 对于D,每摸出1个球得分期望为亏故E()=7,正确。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 数学答案第1页（共7页） 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABD 11.【详解】在RtASOA中，SA=12,OA=4,∠OSA=∠OSB=B, 所以cosB=S0-Vi22-4_2V2 S4 12 3 对于A,椭圆的长轴为BD的长，在△SBD中， SB=12,SD=6,coS∠BSD=cos2B=2cos2B-1=2× 2v2)2 3 所以根据余弦定理得BD'=SD'+SB2-2 SDx SB×c0s2B=36+144-2x6×12×7=68 9 所以BD=√68=2V17,A正确： 对于B,如图 设SO与BD的交点为E,由线面角定义可知∠OEB=, 由上可知BD=2W17,AD=6,AB=8, 在AABD中，C0S ABD=AB+DB-AD_ 8+2w7j-6237 2xABx BD 2×8×2W17 17 在RtAOBE中，coS∠OEB=coSa=sin∠ABD 317 2W34 17 17 2W34 由题设可知e= cosa 17 3V17 17 ,B选项正确： cos B 2W2 对时c,庙上可知2a-27a,又e-3-￡-6·所以6=3 17a√17 数学答案第2页（共7页） 在RtAOEB中， F=cOs∠ABD,所以BE= OB OB 4417 BE c0S∠ABD3W173, 17 又a+c=3+V17,所以E不为椭圆焦点，故C选项错误； 对于D,如图：椭圆的标准方程为士十 -=1 178 B 法一：设C(V17cos6,2√2sin8),则四边形面积S=8√34sinm0cos日=4W34sinm28 当6=元时，S=4V34 选项D正确 x'y xy 法三不妨设心在第跟，婴成为C、TP2x83wsB了 而S=4y≤4W34选项D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 126 13.1120 14.251-2 6 14.【详解】因为A={0,1},所以A=1,0,0}，A=0,0,1,1},A4=1,1,0,0,0,0},A={0,0,0,0,1,1,11}, A=111,10,0,0,0,0,0,0},显然，4,4,4中分别有2,4,8项，其中项数的号项为1,4，A, 4中分别有3,6,12项，其中项数的写项为1设4中总共有4项，其中有6，项1 +1 n-1 2?,n=2k-1,k∈N 22,n=2k-1,keN 则4= n-2 ,bn= n-2 3x22,n=2k,kEN' 2?,n=2k,k∈N 所以，4,4,4，，4m中1的总个数为11-20+1x-2）20-2. 1-21-2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)【详解】(1)取BC,CC1,CD的中点分别为H,I,J,连接EH,丑，J,JG, 数学答案第3页（共7页） 连接GH,EJ,FI,而G丑，EJ,FI都经过正方体中心，两两相交，所以多边形EFGJIH为平面六边形，且边长 相等，故EFGH为平面正六边形 …2分 取EH,GJ的中点，记为M,N,取BD的中点为O,连接BO,MW …3分 :BM/1ON,BM=ON,∴四边形BNO为平行四边形，故BO1/N, …4分 ,MNc面EFG,BO丈面EFG,∴.BO/1面EFG,故线段B,D,的中点为O满足题意6分 (2)延长DA,GP相交于K,过A作AL⊥GK,交G于L,连接EL …7分 ,EA⊥面AADD,AL⊥GK,.∠ELA为平面EFG与平面AADD夹角 ……9分 设正方体长为2，则A=LAL2m∠LA=5 …11分 AL 1 故c0S∠ELA=- '平面BFG与平面4ADD夹角的余弦值 …13分 3 (附注：若以建立空间直角坐标系完成，酌情给分) 16(15分)【详解】(1)由题意可知r=54×5+57x21+60X46+63×25+66×3=60,2分 100 则X~N(60,16),所P(56<X<68)=P(60-4<X<60+4×2) Pu-g<X≤+o)+Pu-2a<x≤u+2o)≈x0.6827+2x09545=0.8186 2 …6分 (2)(i)设事件A表示随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 数学答案第4页（共7页） 事件B,表示随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件B,表示随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，…7分 则PB)-PB,)PAB)=0016,PAB,)=0012,9分 所以P(4)=P(B)PAB)+P(B,)PAB,)=3x0.016+2x0012=0.015；1分 4 4 (ii)因为P(AB)= P(AB) P(R)’ 所以P(AB)=P(4B)P(B)=0.016×3=0.012,…13分 4 所以P(B|A)= P(B4)_0.012 P(A)0.015 =0.8. …15分 17（15分)【时】0白题cos4=-写2s-1= 7 2 9…2分 解相：w号5身a3m子5 2 23’…3分 在A15D中，BD=AB+AD-24BADa号25,5分 2:c0sB=22 AB=AD+BD,∠ADB= …7分 3 (2)由题：c0sB=22、。 3 cos石，0<B<放H应在CA的延长线上，且∠ABC=∠ACB 6 ·Cos∠ABC=2W5 3sn∠ABC=5，∠B=x-∠ACE，9分 ∠48H-名-∠ABC.smAH=sim(-∠AB0-}2Y55}-25-6 …11分 6 6 Γ2323 6 4w=4EmMm-数Mcw+爱-}52}52 …13分 在△ABH中， AB AH 物B24H4Bsm∠1Bf-3x22-5-33-1265分 sin∠AHIB V3+2W2 5 附注：（若此题考生使用建平面直角坐标系正确完成，可以给分） 18(17分) 【详解】(1)由题：抛物线E焦点为(0,1)，故b=1,因为椭圆C的离心率为5 9 以a=2 故椭圆的方程为+y广=1 ………3分 4 (a0可知a=2b=1p=2.y=-即为y=月 设ACcy.B(2,y).由于P在抛物线上，所以m=于 …4分 数学答案第5页（共7页） 由2=4两边关于x求导数得，y=乏所以切线的斜率k=分其方程为y=受x- 。…5分 y="x-m2 联立方程{ (4+y2=1 x2 变形得(m2+1)x2-m3x+(倍-4)=0①…6分 m2 显然x,x2为方程①的两根，则x1+2=m2+y1+y2=一2m+ m3 所以D点坐标为 m3 m2 20m2+-4m2+0 …8分 因此，直线OD的方程为y=一 m七， …9分 1 y=一 -x 联立方程 2m 得Q的横坐标x=m, 所以直线y=-与PQ垂直.…10分 1 y=- a2 (3)当Q=2b时，直线y=-,即y=-三，介于x轴与抛物线准线之间的平行线.…11分 延长PQ交抛物线的准线y=-1于H点， 则H点的坐标为(m,-1)；F点的坐标为(0,1)，…12分 则直线HF的斜率为kr=一是又直线的斜率为k=受所以1HF,…13分 由抛物线的定义，△PFH为等腰三角形，且得直线平分LFPH. 而PF=PH=号+1，PQ=PH-受+分所以，…15分 由角平分线性质可知暖-器-得-号所以，1<<2.…17分 S△PGQ S△pGQ 19.(17分) 【详解】(1)f(x)的定义域为(0，+o),f(x)=(nx)2-alnx+1. …2分 所以f'(e)=2-a,f(e)=e-(a+2)e+(a+3)e=2e, 因此曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y-2e=(2-a)(x-e),…3分 取a=1得y=x+e. …4分 3)fo-g …5分 4 (i)0<a≤2时，f'(x)≥0，f(x)在(0，+∞)单调递增， …6分 a4-4 G)a>2时，令④)=0，则e=e x∈(0，)U(x2,+n),f(x)>0x∈(1，x2),f"(x)<0. 则x∈(0，x),x∈(x2,+n),f(x)单调递增.xe(x1,x2),f(x)单调递减. …8分 数学答案第6页（共7页） 综上所得， 当0<a≤2时，f(x)在(0，+o)上单调递增； 。-a2-4+N624 a-a2-4a+a2-4 当a>2时，f)在(0，e)和(e,+0上单调递增，在(e了，e2)上单调递减…9分 (3)由(2)知a>2,因为hx,ln5是方程t2-t+1=0的两根，所以lnx+lnx=a,ln,·hx3=1 可得lnx1>0,lnx2>0 …10分 /儿.f八.4，-en等价于(m）-(a+2n5-广+a+2h5<45-e血5 e e 其中(nx)-(nx)=(nx-lnx)nx+lnx2)=a(nx-hx2).…l2分 因此待证式等价于n与-h名，<2，-e)血，两侧同时加2n1,得n,+n飞<25，血， e e 即证n飞+<2，等价于m5-25+1<0,…14分 Inx,elnx 由hn=1且5<得5>e,记)=m)2-2+1(x>9,则hm=2血x-2_2e血x-) e x e er 记p(y=elnx-x,则p)=。-1<0,所以)单调递减，…16分 1北 故以)<e=0,则i(=29C日<0x>,所以h()单调递减，所以h<⊙=0，证毕.…17分 er 数学答案第7页（共7页）深圳市宝安区2026-2027学年第一学期高三教学质量监测 数学 2026.9 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.样本数据3,3,5,7,8,9，则该组数据的第40百分位数为 A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知向量，不共线，(xe+2)∥(4已+xe),则x的值为 A.2 B.0 C.±2 D.4 3.笑合A-{ima,ma,B-{名，1，V,号}，且AnB为非空集合，则a 可以取 A号 B受 c D.- 6 4.曲线y=n(er+x)在x=0处的切线方程是 A.y=x+1 B.y=2x C.x=1 D.y=x y ,若椭圆C:+2三1Q≥√3)，与抛物线y=4x有相同焦点，则该椭 与y2=4x在第一象限的交点坐标为 A.(6,2√6) B.(1,2) C.(3,2√3) 2 2w√6 D ，3 6.已知函数f(x)=a·e'-x的最小值为2，则a的值为 A.1 B.e c. D.2 e 7.已知数列a}是等差数列，6，三1”为衡效，记 记Sm,Tn分别为{an}, {b}的前n项和.若S3=18,T2=10,则To= A.370 B.0 C.450 D.1024 8.一个袋子中装有大小形状相同的2个红色球、2个黄色球、2个白色球，1个 黑球，从中一次性摸出3个球，记：摸出一个红色球记0分，摸出一个黄色球 数学试卷第1页（共4页） 记1分，摸出一个白色球记2分，摸出黑色球记一3分，三个球总得分为X, 则 A.当“X=2”时，一定没有摸到黄球 BPK-)-号 CPX≤o)≥ D.EX-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 9.设Z=1+2i,则 A.Z=1-21 B.Z+1>Z+ C.Z2=-3+4i D. Z+1是纯虚数 Z-3i 10,已知园C,:2+-3=1,椭圆C:千+y=1,直线：y=x十m则 A.若l与C1相交于P,P,对于k∈R,m∈R,PP不可能是定值 B.若1与C1,C2都相切，则这样的直线l有四条 C.若1与椭圆C2相切且与圆C,有两个交点P,P,则△C1PP面积的最大值为 0.5 D.若l与圆C1相切且与椭圆C2有两个交点，则m<4一√5或m>4+√5 I1.古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与 平面所成角α的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为 2B,则曲线的离心率为e=cosg.如图，圆锥S0的底面半径为4，母线长为 cosB 12,△SAB是圆锥的一个轴截面，D为SA中点，过B,D两点且与轴截面垂 直的平面与圆锥的截面曲线是一个椭圆，则 A.椭圆下的长轴为2√17 B.椭圆r的离心率为3y7 17 C.SO与BD的交点是椭圆T的一个焦点 D.内接于椭圆的矩形面积最大值为4√34 数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.椭圆5.x2+6y2=1的离心率为 13.已知(x+2”的展开式共有9项，则展开式中的常数项为 14.在一次数学活动中，一位同学设计了有序实数组A=(a1,a2,a3,…,an)，a:∈ {0,1},i=1,2,3,,,f(A)表示把A中每个1替换为两个连续元素 0,0,每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如 A={0,1},则f(A)={1,0,0}.定义Ak+1=f(A),k∈N*.若A1= {0,1},则A1,A2,Ag,,A1o中1的总个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 15.(13分)正方体ABCD-ABCD1,E,F,G分别为AB,AA1,AD1的中点. (1)在线段BD1存在一点O,使BO∥面EFG,试确定点O的位置： (2)求平面EFG与平面A1ADD1夹角的余弦值. 16.(15分)某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作 为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下 表： 质量差（单位：mg) 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差X~N(u,σ2)，其中σ2= 16,用元作为u的近似值，求P(56<X<68)的值： (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的子来自第 1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线 是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. (I)求抽取的零件为废品的概率； (Ⅱ)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 数学试卷第3页（共4页） 参考数据：若随机变量X~N(u,σ2)，则P(u-o<X≤u十G)≈0.6827， P(u-2o<X≤u+2o)≈0.9545，P(u-3o<X≤u+3o)≈0.9973. 17.(15分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，点D在边 BC上，AD是角A的内角平分线，6=3，AD-1,casA=号 (1)求cosB: (②)E在AD的延长线上，连接EC,∠DCE=否，在直线AC上是否存在- 点H,使BH∥EC.若存在，求AH的长，若不存在，说明理由. 18.(17分)已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(m,n)(m≠0)是E上的动点，过 P点作E的切线，直线1与椭圆C:二+兰=1a>b>0)交于A,B两个不 同的点，记AB的中点为D.设直线OD(O为原点)与直线y=- 2b交于Q. a 1)若椭园C经过抛物线E的焦点，且箱园的离心率为号，求椭园C的方 程 (②)在（①）的条件下，证明：直线y=-2与直线PQ垂直： a2 (3)若l与FQ交于G,且a=2b,证明：1< SAFPG2. SAPGQ 19.(17分)设函数f(x)=x(lnx)2-（a+2)xlnx+（a+3)x,a>0. (1)a=1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)有两个极值点x1,x2且x1<x2,证明： f(i)f(2)4(x2-e)Inc ℃2 e 数学试卷第4页（共4页）