第二十六章 二次函数 数学活动 哪个积最大 （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“和定积最大”为核心，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点直接应用（如两数和一定求最大积、简单矩形面积）|含填空、证明题，强化“两数相等时积最大”核心概念，适配全员基础达标| |能力提升|跨图形综合应用（如矩形与等腰三角形面积相等、含中间档窗框设计）|设置含参数问题，培养推理意识，衔接旧知二次函数配方| |拓展探究|实际情境与逆向探究（如广告牌设计费、面积一定时周长最小、动态几何问题）|结合生活场景与运动变化，发展创新意识，适配学优生思维拓展|

数学活动 哪个积最大 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①探究两个正数之和一定时，它们的乘积何时最大。 ②若两数之和为定值S，设一个数为x，则另一数为S-x，积y=x(S-x)。 ③当x=S/2（即两数相等）时，乘积最大，最大值为S²/4。 2. 与本节课相关的旧知识：二次函数最值、配方、列代数式。 3. 预习时遇到的疑问：为什么两数和一定时，两数相等时积最大？这和周长一定时正方形面积最大有何联系？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①设未知数时表示另一数出错。 ②求最值时不检验x的实际范围（正数）。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 两数和为10，设一数x，另一数为____。 2. 积y=x(10-x)的最大值在x=__时。 3. 和为10的两数，积最大为____。 4. 周长20的矩形最大面积是____。 5. y=-x²+10x配方为____。 6. 两数和为定值时，两数____时积最大。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 两个正数的和为8，则它们乘积的最大值是（　）A.8　B.16　C.20　D.64 2. 用总长为20m的铁丝网围成矩形，求最大面积。 3. 两个正数之和为12，设其中一个为x，写出它们积y关于x的关系式，并求最大值。 4. 把长为100cm的铁丝分成两段，分别围成两个正方形，怎样分才能使两个正方形面积之和最小？ 5. 两个正数之和为S，求证：当两数相等时乘积最大。 6. 用长为40m的篱笆一面靠墙围矩形，求最大面积。 7. 两个相邻偶数的积最大时（设和为定值），这两个数是多少？ 8. 求y=x(8-x)的最大值。 9. 把一根长为20cm的铁丝弯成一个矩形，求矩形面积的最大值。 10. 两个正数之和为20，它们乘积的最大值是多少？ 11. 用长为30m的篱笆围成中间有一道隔墙的矩形花圃，求最大面积。 12. 探究：两个正数的和为16，它们的积最大是多少？ ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 把长为36cm的铁丝剪成相等的两段，一段弯成矩形，另一段弯成有一条边长为5cm的等腰三角形。如果矩形面积等于等腰三角形面积，求矩形的边长。 解： 2. 用长为12m的铝合金制作一个“日”字形窗框（含中间一横档），求窗户的最大面积。 解： 3. 某小区有一块长为a m、宽为b m(a>b)的矩形空地。现在要在其中修建一个矩形花园，使花园四周留出宽度相同的走道。设走道宽为x m，求花园面积S关于x的关系式，并求S的最大值。 解： 4. 探究：两个正数的和为定值S。(1)设一个数为x，写出积y关于x的关系式；(2)用配方法证明：当x=S/2时y最大；(3)最大值是多少？ 解： 5. 用长为24m的篱笆围成一个矩形养鸡场，中间用一道篱笆隔成两个小矩形。求鸡场的最大面积。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，设计费为每平方米1000元。设矩形一边长为x m，面积为S m²。(1)求S与x的关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。 解： 2. 阅读：由“和定积最大”可知，周长一定的矩形中正方形面积最大。请你进一步探究：面积一定的矩形中，周长何时最小？举例说明。 解： 3. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm。点P从A沿AB以1cm/s移动，点Q从B沿BC以2cm/s移动。(1)几秒后△PBQ的面积最大？(2)最大面积是多少？ 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 在一个半径为R的圆中截出一个面积最大的矩形，求这个矩形的面积。 解： 2. 用长为60m的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形场地，求最大面积。 解： 3. 某农户要建一个矩形养鸡场，养鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用篱笆围成，篱笆总长35m。求养鸡场的最大面积。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 数学活动 哪个积最大 参考答案 一、自习前置速忆 和定积最大：两数相等时积最大，最大值S²/4。 二、基础随堂自检 1.10-x　2.5　3.25　4.25　5.y=-(x-5)²+25　6.相等 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.B　2.25m²　3.y=x(12-x)，最大36　4.各50cm时和最小　5.证明　6.150m²　7.相等　8.16　9.25cm²　10.100　11.75m²　12.64 ★★ 能力提升 1.矩形边长3cm和6cm　2.6m²　3.S=(a-2x)(b-2x)　4.(1)y=x(S-x)；(2)配方；(3)S²/4　5.48m² ★★★ 拓展探究 1.(1)S=x(6-x)；(2)边长3m正方形，9000元　2.面积一定时正方形周长最小　3.(1)3s；(2)9cm² 五、学以致用 1.2R²　2.450m²　3.约153m² 学科网（北京）股份有限公司 $