5.1 认识二次函数 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“5.1认识二次函数”同步练，以“概念理解-情境应用-综合探究”分层设计，通过基础题巩固定义，中档题强化建模，综合题培养几何与函数结合的推理能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、识别、系数|单选1-4题直接考查概念，填空8题系统梳理定义要素，夯实抽象能力| |中档层|列二次函数关系式、简单应用|单选5-6题结合金属硬度、正方形面积情境，解答12题通过直角三角形面积建模，体现模型意识| |综合层|几何与函数综合、动点问题|单选7题关联正方形周长与圆面积，解答14-15题结合相似三角形、坐标系探究，发展推理意识与空间观念|

5.1 认识二次函数 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（　　） A．圆的周长与圆的半径之间的关系 B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系 C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系 D．正方体的表面积与棱长的关系 3．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 4．二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 5．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 6．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 7．线段．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点B，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 二、填空题 8．像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的． 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______． 9．已知是关于的函数，且当时，随的增大而减小，则这个函数的解析式可以是______． 10．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 11．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是______． 三、解答题 12．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 13．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 14．如图，在中，，、的长为方程的两根，且．    (1)求的值． (2)动点从点出发，以每秒5个单位的速度，沿的路线向点B运动；动点从点出发，以每秒3个单位的速度，沿的路线向点运动，若点、同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为秒． ①在整个运动过程中，设的面积为，试求与之间的函数关系式； ②是否存在这样的，使得的面积为3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． (1)线段与有什么数量关系？ ． ①当点M坐标时，点P的坐标是 ； ②当点M坐标时，点P的坐标是 ． (2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ． (3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D B C D C C 1．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：， 由二次函数的定义可知，四个函数中，只有是二次函数， 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可． 【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：，故他们之间的关系是正比例函数关系； B．三角形的高h一定时，故他们之间的关系是正比例函数关系； C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系； D．正方体的表面积S与棱长a的关系：，S和a是二次函数关系，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 4．【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可． 【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ， 故选∶C． 5．【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、正比例函数的定义、列二次函数关系式 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 6．【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义、列二次函数关系式、二次函数的识别 【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t, 故y=4t，S=（5-t）2 故选择：C 【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 8．【答案】 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 【知识点】二次函数的识别 【解析】略 9．【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题考查了二次函数的图像和性质．根据函数的增减性写出答案即可． 【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴这个函数的解析式可以是， 故答案为： 10．【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 11．【答案】/4.5/ 【知识点】坐标与图形、列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q． 在和中， ， ， 设，则，设， ， ， 时，y有最大值4，此时 ． , y有最小值0，此时点B与点P重合， 综上所述，点B的运动路径的长为． 故答案为：． 12．【答案】(1)(或)． (2) 【知识点】列二次函数关系式 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 13．【答案】 解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】略 14．【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、列二次函数关系式、因式分解法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）首先用因式分解的方法解出方程的两个根，根据题意得出，的长，再利用勾股定理求出的长； （2）①过点作，先证明出，利用相似三角形性质表示出、的长，根据即可表示出与之间的函数关系式；②根据题意得到方程，利用公式法求出方程根，根据实际取舍即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 、的长为方程的两根，且， ，， ； （2）①如图，过点作，   ， ， ， ， ，， ， 解得：， ； ②使得的面积为3，则， 整理得：， 解得：，， ， 不符合题意舍去， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，相似三角形的判定与性质，勾股定理，列函数关系式，选取合适的方法求解方程是解答本题的关键． 15．【答案】(1)；①② (2) 解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3， (3)x，y满足的关系式为：，我得出的结论与先前我的猜想一样 【知识点】列二次函数关系式、二次函数的识别、线段垂直平分线的性质、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案； ①根据题意画出对应的图形即可得到答案； ②根据题意画出对应的图形即可得到答案； （2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案； （3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到进而推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：； ①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是； 故答案为：； ②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是， ∴， ∴， 即点P的坐标是， 故答案为：； （2）略 （3）解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下： ∵点P的坐标是，轴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴得出的结论与猜想一致． 学科网（北京）股份有限公司 $