5.1 认识二次函数 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数概念建构与应用，通过基础认知-情境应用-综合探究三层设计，实现从概念理解到模型建构的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、系数识别、表达式形式|直接考查概念要素（如单选1-3、填空8-9），强化符号意识| |中档层|函数关系判断、实际问题建模、参数计算|结合动点（单选4）、增长率（单选5）等情境，培养模型观念| |提升层|几何综合、动态问题、函数推导|通过旋转全等（解答14）、作图探究（解答15），发展空间观念与创新意识|

5.1 认识二次函数 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 5．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 6．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 7．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 二、填空题 8．像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的． 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______． 9．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式______________________________；②顶点式______________________________；③双根式______________________________． 10．定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 11．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是______． 三、解答题 12．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 13．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 14．猜想证明（1）平面内，的直角顶点A放置在直线l上，，分别过B，C作直线l的垂线,垂足为D，E． ①如图1，旋转，当B、C两点在直线l的同侧时，请直接写出 ； ②如图2，旋转，当B、C两点在直线l的异侧时(点D在A，E两点之间)；猜想，，三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论； 问题解决（2）如图3，直线于点O，P为直线l上点O右侧的一动点，点Q在直线m上，连接，且，设的长度为x，的面积为，求y与x的关系式． 15．作图并完成解答： (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：①连接AM，作线段AM的垂直平分线，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的垂线，记，的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来． (2)对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是，求y与x的函数关系式． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D B C D C C 1．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 4．【答案】C 【知识点】列一次函数解析式并求值、列二次函数关系式 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5．【答案】D 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 6．【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 7．【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 8．【答案】 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 【知识点】二次函数的识别 【解析】略 9．【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据二次函数的三种形式：一般式，形如；顶点式，形如；双根式，形如，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的一般式是形如的形式； 二次函数的顶点式是形如； 若、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，则二次函数解析式可以设为形如的形式，这叫做双根式， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的三种形式，解题的关键在于能够熟练掌握三种形式的定义． 10．【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 11．【答案】/4.5/ 【知识点】坐标与图形、列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q． 在和中， ， ， 设，则，设， ， ， 时，y有最大值4，此时 ． , y有最小值0，此时点B与点P重合， 综上所述，点B的运动路径的长为． 故答案为：． 12．【答案】(1)(或)． (2) 【知识点】列二次函数关系式 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 13．【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 14．【答案】（1）①，②，详见解析；（2） 【知识点】列二次函数关系式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算等知识，掌握一线三直角的全等模型是解题的关键． （1）①一线三直角的全等模型，利用可证明，即得解； ②同理可证明，从而得到，，则由可得，即得解； （2）分别过M、N两点作直线l的垂线，垂足分别为A、B，证明可得，再证明得到，从而得到 ，从而得解． 【详解】解：（1）①∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ②∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）分别过M、N两点作直线l的垂线，垂足分别为A、B， ， ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 15．【答案】(1)见解析； (2)PA=PM，． 【知识点】作垂线(尺规作图)、列二次函数关系式、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据题意，多取几个M点画出图形即可； （2）连接AP，过点A作AN⊥PM，根据线段垂直平分线的性质得出AP=PM=y，再由勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：如图所示： （2）； ∵P在AM的垂直平分线上 ∴， ∵P点坐标为，轴 ∴， 由勾股定理知：或 ∴或 ∴关系式：． 【点睛】此题考出来复杂作图，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $