6.1 用树状图或表格求概率 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“用树状图或表格求概率”同步练，分层设计梯度清晰，从基础概念到综合应用，覆盖几何概率、游戏公平性等核心知识点，适配新授课巩固需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（几何概率、简单列举法）|选择填空为主，如第1题方砖几何概率、第3题抛硬币概率，夯实概念理解| |中档|两步概率、游戏公平性|结合生活情境，如第7题高铁座位相邻概率、第10题掷筹码游戏公平性，发展应用意识| |提升|综合应用（概率与方差、收益结合）|解答题递进，如第15题两种摸球方案收益比较、第18题迷宫概率与不等式结合，培养推理能力|

6.1 用树状图或表格求概率 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 2．袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 3．任意抛掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 5．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成三个扇形（黄色和蓝色分别占转盘的，剩余部分是绿色）．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 8．如图，斗兽棋是我国一种古老的棋类游戏，双方各有八只棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉和牛牛手中存有的棋子分别为虎、猫和狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（   ） A． B． C． D．0 二、填空题 9．一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，则他停留在卧室或客厅的概率是_________．    10．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 11．自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，校长和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位，则校长和学生乙坐在正对面的概率为__________． 12．中国古代四大名著《西游记》《三国演义》《红楼梦》《水浒传》是四部古典章回体小说，是中国古代汉语文学的瑰宝，小华要从这四部著作中随机抽取两本借给朋友，则抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的概率是_________． 13．在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是________． 三、解答题 14．一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)从袋子中随机摸出一个球，求摸到白球的概率； (2)先从袋子中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸到红球的概率． 15．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 16．为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题： 项目 一 二 三 四 五 得分 95 m 88 92 90 丙班五个单项得分表 (1)上述m的值为___； (2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军； (3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概率． 17．甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 18．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A C C C A 1．【答案】C 【知识点】几何概率 【详解】解：由图可知，小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为． 2．【答案】A 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平． 看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：A、质数有：2、3、5、7共4个，合数有：4、6、8、9共4个，双方的机会是均等的，所以说这个游戏规则对双方都公平； B、2的倍数有：2、4、6、8共4个，3的倍数有：3、6、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平； C、小于5的数有：2、3、4共3个，大于5的数有：6、7、8、9共4个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小刚不公平； D、小于6的数有：2、3、4、5共4个，大于6的数有：7、8、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平． 故选：A． 3．【答案】B 【知识点】列举法求概率 【分析】列举出所有情况，看至少有一次正面朝上占总情况的多少即可． 【详解】全部情况为：“正反、反正、反反、正正”种情况，至少有一次正面朝上包含“正反、反正、正正”三种情况，故其可能性为． 故选：B 【点睛】此题考查概率，即所求情况数与总情况数之比．解题关键是当情况较少时，可用列举法求概率． 4．【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】将黄球编号以保证结果等可能，用列举法求概率． 【详解】解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂． 摸出2个球的所有等可能结果为：（红，黄₁）、（红，黄₂）、（黄₁，黄₂），共3种． ∵符合“1个红球和1个黄球”的结果有2种． ∴概率． 5．【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的结果数有1种， ∴转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为， 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下：    共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数量，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种， 甲、乙两人座位相邻的概率为． 8．【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．根据题意列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意列表如下：     莉莉 牛牛 虎 猫 狮 狮、虎 狮、猫 豹 虎、豹 豹、猫 由表格可知，总共有4种情况数，其中莉莉获胜的情况数为1种， 莉莉获胜的概率为， 故选：A． 9．【答案】 【知识点】几何概率 【分析】用卧室和客厅面积的和除以房屋总面积即可求得概率． 【详解】解：卧室和客厅面积的和为：， 房屋总面积为：， ∴停留在卧室或客厅的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得房屋的总面积，难度不大． 10．【答案】公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，游戏的公平性，正确理解题意是关键．通过列表列举所有可能结果，计算双方获胜概率，并比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， ， 因此游戏公平． 故答案为：公平． 11．【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种， ∴校长和学生乙坐在正对面的概率． 故答案为： 12．【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求等可能事件的概率，掌握相应方法是解题的关键．用画树状图或列表法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好是《三国演义》和《水浒传》的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【详解】解：记《西游记》《三国演义》《红楼梦》《水浒传》分别为、、、，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的结果有种， 抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的概率是． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】本题主要考查了列举法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 列举出所有可能出现的情况，再用所求情况数除以总的情况数即可得解． 【详解】解：从张卡片中随机抽出两张卡片共有种可能的结果，即： ，，，，，， 所得卡片上的两数之和是的情况共有种，即：，， 所得卡片上的两数之和是的概率是， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查用列表法或画树状图法求概率，根据概率公式求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解题的关键． （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）先画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得摸到白球的概率为； （2）解：画出树状图，如图所示： ∴两次摸出球的情况总共有30种，其中两次摸出的球都是红球有12种情况， ∴两次摸出的球都是红球的概率为． 15．【答案】(1) (2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率的其他应用 【分析】（1）通过列表的形式表示出所有等可能的结果，再用概率公式求解即可． （2）分别计算方案一和方案二的平均收益，再进行比较后选择即可． 【详解】（1）解：对于方案一，列表如下． 由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2． 故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为． （2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． 对于方案二，列表如下． 由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9． 所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． ∵， ∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利． 【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键． 16．【答案】(1)90 (2)乙班方差较小，乙班获得冠军 (3) 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、运用方差做决策、列举法求概率 【分析】本题考查了方差、平均数、概率的计算： （1）根据①单项比赛计分规则进行计算即可； （2）求出乙班和丙班的方差，方差小的获得冠军； （3）采用列举法即可解答． 【详解】（1）解：裁判打分：， 去掉最高分95和最低分85，剩余分数为， 平均分， 故丙班第二个单项得分， 故答案为：90； （2）解：乙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 ； 丙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 结论：乙班方差更小，因此乙班获得冠军； （3）解：两班独立选择三种图书，共有9种等可能结果： ， 其中选择相同的有三种，概率． 17．【答案】(1) (2) 这个游戏规则对双方不公平， 理由：由（1）树状图得， 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为奇数的情况有4种，两数之和为偶数的情况有5种， ，， ， 这个游戏规则对双方不公平． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为6的情况有3种， ， 答：两数和为6的概率为； （2）略 18．【答案】(1) 树状图如下： 由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为． (2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数； (3)2次． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据题意，绘制树状图，分析可知小军行动路线共有12种可能情况，可进入中心的有4种可能情况，进而计算进入迷宫中心的概率． （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． （3）可设小军次进入迷宫中心，根据题意设不等式，解不等式即可． 【详解】（1）略． （2）不公平，理由如下： 方法一：由树状图可知，， ，． 所以不公平． 方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平． 方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率． ，， 所以不公平． 要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数． （3）设小军次进入迷宫中心，则， 解之得． 所以小军至少2次进入迷宫中心． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $