6.1 用树状图或表格求概率 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦概率计算核心，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到跨学科综合的递进，培养几何直观与数据意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|几何概率、简单列举法|单选1-5（地砖概率、骰子游戏）、填空9-11（房屋面积、粽子口味），强化概念理解| |情境应用|复杂情境概率、游戏公平性|单选6-8（座位分配、转盘坐标）、填空12-13（名著人物、实数比较），提升推理能力| |综合拓展|概率与统计结合|解答题14-18（电路实验、天气概率、阅读调查），渗透模型意识与应用意识|

6.1 用树状图或表格求概率 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 2．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 3．从长度分别为1，3，4，6，7的五条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 5．如图，电路图上有，，三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 6．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（     ） A． B． C． D． 7．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A． B． C． D． 8．某博物馆计划举办一场关于唐代石刻艺术的特别展览，策展人决定采用随机抽选的方式，从“昭陵六骏”这六件石刻中随机抽取两件作为本次展览的核心展品，则恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，则他停留在卧室或客厅的概率是_________．    10．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 11．“粽香筒竹嫩，炙脆子鹅鲜”．端午佳节来临之际，小明妈欲做“豆沙粽、红枣粽、腊肉粽”三种口味的粽子，小明妈妈问小明和姐姐最喜欢什么口味的粽子，小明和姐姐选中同一口味粽子的概率是___________． 12．如图是古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物图片，它们的反面完全相同，小明和小亮同时从中任意各抽取1张图片，则两张图片上的人物恰好属于同一部名著的概率是___________． 13．在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是_____． 三、解答题 14．在做“灯泡亮了”的物理实验时，设计的电路如图所示．实验器材包括电源、一个小灯泡、三个开关、、和导线若干．若从三个开关中随机选择一个闭合后，再从剩余的开关中随机选择一个闭合，用画树状图（或列表）的方法求小灯泡发光的概率． 15．某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： (1)随机选择一天，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 16．甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 17．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 18．综合与实践 【项目背景】 某校为了解学生的阅读喜好，成立了由学生组成的调查组．调查组的同学设计了如下的一个调查问卷： 调查问卷你最喜欢阅读的书籍类型是（只选一项）（   ） A．文学类    B．科技类    C．艺术类    D．其他类 【数据收集与整理】 调查组随机抽取了部分问卷，将问卷上的数据整理，并绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据所给信息，请完成下列所有任务． 任务1：被抽取的问卷数量是______，扇形统计图中m的值是______． 任务2：请将条形统计图补充完整． 【数据分析与应用】 任务3：若全校有1200名学生，请你估计全校最喜欢阅读A．“文学类”书籍的学生人数． 任务4：学校打算从“A．文学类”“B．科技类”“C．艺术类”书籍中，选择两类书籍进行集中采购，丰富校图书馆的藏书，求恰好选中“A．文学类”和“B．科技类”这两类书籍的概率． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A D A C A 1．【答案】C 【知识点】几何概率 【分析】设每块小方砖的边长为1，先求出整个地砖的面积、黑色方砖的面积，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设每块小方砖的边长为1， 由图可知，整个地砖的面积为，黑色方砖的面积为， 所以最终停在黑色方砖上的概率为． 2．【答案】C 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、列举法求概率 【分析】本题考查用列举法求概率，以及三角形三边关系．先列举出从五条线段中任意选取三条，所有的可能，再用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断可以构成三角形的，最后根据概率计算方法即可得到答案． 【详解】解：从五条线段中任意选取三条，所有可能有： ， ， ， ， ， ， 其中构成三角形的有共3种， ∴能构成三角形的概率是， 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率 【分析】将黄球编号以保证结果等可能，用列举法求概率． 【详解】解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂． 摸出2个球的所有等可能结果为：（红，黄₁）、（红，黄₂）、（黄₁，黄₂），共3种． ∵符合“1个红球和1个黄球”的结果有2种． ∴概率． 5．【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有种， ∴能让灯泡发光的概率为， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该排座位共有五个座位， 已经售出，剩余座位为， 所有情况列表如下， C 共有6种等可能结果，其中符合题意的有，2种， 所以小亮和爸爸相邻而坐的概率是． 7．【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、列表法或树状图法求概率 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 （2，3） （0，3） （，3） 2 （2，2） （0，2） （，2） （2，） （0，） （，） （2，） （0，） （，） 由表可知，共有12种等可能结果，落在直角坐标系y轴正半轴上的情况有2种， 所以点落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提． 8．【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】利用画树状图法求解即可； 【详解】 解：根据题意，记白蹄乌为A，特勤骠为B，什伐赤为C，拳毛騧为D，青骓为E，飒露紫为F，画树状图如下： 共有30种等可能的结果，恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的可能性有2种， 故恰好抽中“青骓”和“什伐赤”这两件石刻的概率是． 9．【答案】 【知识点】几何概率 【分析】用卧室和客厅面积的和除以房屋总面积即可求得概率． 【详解】解：卧室和客厅面积的和为：， 房屋总面积为：， ∴停留在卧室或客厅的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得房屋的总面积，难度不大． 10．【答案】公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，游戏的公平性，正确理解题意是关键．通过列表列举所有可能结果，计算双方获胜概率，并比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， ， 因此游戏公平． 故答案为：公平． 11．【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列举法求事件的概率，根据题意列出树状图求解即可，正确理解题意列出树状图是解题的关键 【详解】解：设“豆沙粽、红枣粽、腊肉粽”三种口味的粽子分别表示为A，B，C， 列树状图： 共有9种等可能的结果，其中小明和姐姐选中同一口味粽子的有3种， ∴P(小明和姐姐选中同一口味粽子), 故答案为 12．【答案】/ 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的方法，了解古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物是解题的关键．利用列表法或画树状图法求出两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率即可作出选择． 【详解】解：将刘备记为，孙悟空记为，张飞记为，猪八戒记为，关羽记为，画树状图如下： 一共有20种等可能的情况，其中两张图片的人物恰好属于同一部名著有8种可能的情况， （两张图片的人物恰好属于同一部名著）． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了概率问题，熟知用列举法是解题的关键．从四个数中随机选取m和n（有序对），总共有12种可能情况，其中满足的有6种情况，则概率即可求． 【详解】解：从实数，，0，1中随机选取一个作为m，再从剩余三个中随机选取一个作为n，总共有种可能的有序对．列出所有有序对并判断的情况： 当时，n可取-1、0、1，均不满足； 当时，n可取、0、1，其中满足； 当时，n可取、-1、1，其中、满足； 当时，n可取、-1、0，其中、、均满足． 满足的有序对共有6个，因此概率为． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小灯泡发光的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡发光的结果数有4种（必须闭合，和中有一个闭合）， ∴小灯泡发光的概率为． 15．【答案】(1) (2) 【知识点】列举法求概率 【分析】此题考查了列举法求概率的知识．熟练掌握列举法求概率是解答本题的关键． （1）随机选择一天，共有7种结果，天气预报是雨的有1天，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7种，即4月7日晴、4月8日晴、4月9日雨、4月10日阴、4月11日晴、4月12日晴、4月13日阴，并且这些结果出现的可能性相等．恰好天气预报是雨（记为事件）的结果有1种，即4月9日雨，所以． （2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），并且这些结果出现的可能性相等．连续两天恰好天气预报都是晴（记为事件）的结果有2种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月11日晴，4月12日晴），所以． 16．【答案】(1) (2) 这个游戏规则对双方不公平， 理由：由（1）树状图得， 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为奇数的情况有4种，两数之和为偶数的情况有5种， ，， ， 这个游戏规则对双方不公平． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为6的情况有3种， ， 答：两数和为6的概率为； （2）略 17．【答案】(1)7，0，小明 (2) (3) 不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）略． 18．【答案】任务1：200；40； 任务2：将条形统计图补充完整如下： 任务3：360人； 任务4： 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 任务1：根据其他类的人数和所占的百分比即可求出被抽取的问卷数量，用科技类的人数除以总人数即可求出扇形统计图中的值； 任务2：用总人数减去文学类、科技类和其他类的人数求出艺术类的人数即可将条形统计图补充完整； 任务3：用1200乘样本中喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数所占的百分比即可； 任务4：画树状图可得共有6种等可能的结果，其中恰好选中“．文学类”和“．科技类”有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：任务1：被抽取的问卷数量为， ， ； 故答案为：200，40； 任务2：艺术类的人数为（人， 任务（人， 答：估计全校最喜欢阅读．“文学类”书籍的学生人数为360人； 任务4：画树状图如下： 由图可得，共有6种等可能的结果，其中恰好选中“．文学类”和“．科技类”这两类书籍的有2种等可能的结果， 恰好选中“．文学类”和“．科技类”这两类书籍的． 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