5.2 二次函数的图象 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册5.2二次函数的图象同步练，分层设计梯度清晰，覆盖从概念理解到综合应用的知识路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数概念、顶点式、对称轴、平移|单选1-6题直接考查单一知识点，填空11-13题强化基础运算| |能力提升|图象与系数关系、新定义问题、平移应用|单选7-9题综合图象分析，解答16-18题结合待定系数法与几何平移| |综合应用|多知识点综合判断、函数与几何综合|单选10题多结论辨析，解答19-20题结合坐标轴交点与平移后几何关系|

5.2 二次函数的图象 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．二次函数的图象过点，则a的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．把二次函数化为顶点式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 5．对二次函数的图象下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为 C．当时随增大而增大 D．最小值是4 6．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（    ） … … … … A．， B． C． D．， 10．如图，二次函数图象的对称轴是直线，直线经过二次函数图象的顶点，下列结论：①；②；③若点，在二次函数的图象上，则；④是方程的一个根，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．若，则的最大值为______． 12．下列二次函数①的图象，开口大小从大到小排列是 ________．（填对应的序号） 13．顶点坐标为的拋物线还经过原点，则该抛物线的解析式为______． 14．若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为__________． 15．定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“线性曲线”．例如：二次函数和的图象都是“线性曲线”．若“线性曲线”与坐标轴只有两个公共点，则k的值____________． 三、解答题 16．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 17．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像； （2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？ 18．能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 19．如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)将抛物线向右平移，平移后所得的抛物线与轴交于点，，交轴于点，顶点为．若，求抛物线的表达式． 20．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D C A C C D C 1．【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查的是二次函数的性质，将点代入二次函数解析式，直接求解a的值． 【详解】解：∵ 点在函数上， ∴ ， 即 ， ∴ ． 因此，a的值为1． 故选：D 2．【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】根据式子的特点，利用完全平方公式变形即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了化二次函数一般式为顶点式，正确应用完全平方公式是解题关键． 3．【答案】A 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，再结合的取值范围可得当时，取得最大值，再分别计算出当时和当时的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：A． 4．【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 5．【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项。顶点坐标为，对称轴为，开口方向由a的正负决定。当时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧y随x增大而增大． 【详解】解：函数为， 故顶点坐标为，选项A的顶点坐标错误， 对称轴为，选项B中“”错误． ，开口向上，当时，y随x增大而增大，选项C正确． 开口向上时最小值为，选项D中“最小值是4”错误． 故选：C． 6．【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 7．【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 9．【答案】D 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和的值，从而可以得到和 时对应的函数值都是，再将，代入函数解析式，整理可以得到方程从而可以得到该方程的解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】由表格可知，和时对应的函数值都是， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴当 和时，， 又当时，，即， ∵当时，，即整理，得， 则方程的解是，， 故选：． 10．【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数的对称性求函数值、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线开口向上可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与轴的交点可得，进而判断①，根据抛物线的对称性可得当与时的函数值相等，进而可知时，函数值小于0，进而判断②，根据抛物线的对称性可得与时的函数值相等，进而根据在对称轴右侧时，随的增大而增大，即判断③，根据直线经过二次函数图象的顶点，可得，进而可得，即可判断④ 【详解】解：根据抛物线开口向上可得，对称轴为， ， 抛物线与轴的交点可得， 故①正确； 对称轴是直线， 当与时的函数值相等， 即 又 故②正确； 对称轴是直线， 与时的函数值相等， 由 即 对称轴右侧时，随的增大而增大， 又 故③不正确； 直线经过二次函数图象的顶点， 即时，两函数值相等 即 当时，方程，即 是方程的一个根 故④正确 故正确的有①②④，共3个 故选C 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 11．【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，由，得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当 时，的最大值为， 故答案为：． 12．【答案】②③① 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，的绝对值越小，开口越大．利用二次函数的绝对值决定抛物线的开口大小可得出答案． 【详解】解：， 抛物线开口按从大到小的顺序排列是②③①， 故答案为：②③①． 13．【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的计算是关键． 由顶点坐标设出抛物线的顶点式，再代入原点坐标求出参数值，即可得解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将原点代入得：，即， 解得， 故解析式为，展开得 ， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中,对称轴为直线，顶点坐标为．由抛物线解析式可求得其顶点坐标，由顶点坐标所在的象限可得到关于m的不等式组，可求得m的取值范围． 【详解】解： ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵顶点坐标在第一象限， ∴ ，解得， 故答案为：． 15．【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意可得抛物线经过点，再分两种情况：当抛物线过原点时，当点为顶点时，分别求解即可得解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴当抛物线过原点时，抛物线与坐标轴只有两个公共点，此时， 解得：； 当点为顶点时，抛物线与坐标轴只有两个公共点，则， 解得：， 把代入得：， 解得：， 综上所述，k的值为或， 故答案为：或． 16．【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 17．【答案】 （1）如图： （2）相同点：开口方向都向上；顶点都是点；对称轴都是轴； 不同点：开口大小不同． 【知识点】y=ax²的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查二次函数的图像画法及二次函数图像的性质． （1）描点，连线，即可作答． （2）图像顶点为坐标原点；对称轴为轴；，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小．据此即可作答． 【详解】略． 18．【答案】能；，沿y轴方向向下平移个单位 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式；抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有，将代入即可求解；掌握平移规律和解法是解题的关键． 【详解】解：能；理由如下： 设抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有 ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 即m沿y轴方向向下平移个单位； 故平移后新的抛物线对应的函数表达式为，沿y轴方向向下平移个单位． 19．【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出原抛物线顶点D的坐标，再求出，得到，设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线，则，，抛物线的解析式为，即可求出；进一步求出，再由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入到抛物线解析式中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵原抛物线解析式为， ∴，原抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； 设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线， ∴，，抛物线的解析式为， ∴； 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 综上所述，或， ∴抛物线的表达式为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数图象平移的特点是解题的关键． 20．【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $