专项巩固训练卷(八) 二次函数的图象与性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

专项巩固训练卷（八） 二次函数的图象与性质 ·题型一二次函数的图象与系数的关系 1.(毕节中考)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上，与x轴的 一个交点为(-1,0)，对称轴为直线x=1.下列结论错误的是 1题图 A.abc >0 B.62>4ac C.4a+2b+c>0 D.2a+b=0 2.(青岛中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是 直线x=-1,则过点M(c,2a-b)和点N(b2-4ac,a-b+c)的直 线一定不经过 () :0x 2题图 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下面四个结论： ①abc>0;②a-b+c>0;③2a+3b>0;④c-4b>0. 其中，正确的结论是 3题图 A.①② B.①②③ C.①②④ D.①3④ 。题型二二次函数与其他函数图象的综合 4.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象 大致为 5.(东营中考)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 6.在平面直角坐标系中，将抛物线y=-(x+1)2+2先向左平移1 个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线表达式 是 题型三二次函数图象的平移、旋转、轴对称变化 7.在平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(n-2m)x+m-n与抛物 线y=x2+(4m-6)x+2m-3关于y轴对称，则符合条件的m,n 的值分别为 ( A.129 7,7 B号号 C.0,3 D.3,0 九年级数学 北师版 上册 第33页 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 8.将二次函数y=-(x+1)2-3的图象绕顶点旋转180°后，得到的 抛物线对应的函数表达式为 A.y=(x+1)2+3 B.y=-(x-1)2-3 C.y=-(x+1)2+3 D.y=(x+1)2-3 题型四利用二次函数的图象与性质比较大小 9.已知点A(a-m,y1),B(a-n,y2),C(a+b,y3)都在二次函数y= x2-2ax+1的图象上，若0<m<b<n,则y1,y2,y3的大小关系是 () A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y 10.（日照中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx(a≠ 3a+b>0. 0),满足 已知点(-3，m),(2,n),(4,t)在该抛物线 la+b<0, 上，则m,n,t的大小关系为 ( A.t<n<m B.m<t<n C.n<t<m D.n<m<t 11.(天水中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M= 4a+2b,N=a-b,则M,N的大小关系为MN.(填“>” “<”或“=”)》 11题图 见此图标民即刻扫码分层训练助力学习进阶「 ·题型五利用二次函数的图象求解方程、不等式（组） 12.如图，一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a ≠0)的图象相交于A(-1,4),B(6,2)两点，则关于x的不等式 kx+n≥ax2+bx+c的解集为 12题图 A.-1≤x≤6 B.-1≤x<6 C.-1<x≤6 D.x≤-1或x≥6 13.(随州中考)如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴 交于点(6,0)，对称轴为直线x=2.下列结论：①abc<0;②a- 6+c>0:③方程c2+低+a=0的两个根为名=之，4=-名： ④抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x,<2<x2且x1+ x2>4,则y1<y2·其中正确的有 02 6 13题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.已知二次函数y=x2-6x-9(k≠0)的图象与x轴有两个不同的 交点，则k的取值范围为 15.(泰安中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的y与x的部分对应值如下表： x -5 -4 -2 0 2 y 6 0 -6 -4 6 下列结论：①a>0;②当x=-2时，函数值最小为-6；③若点 (-8,y1),(8,y2)在二次函数图象上，则y1<y2;④方程ax2+ bx+c=-5有两个不相等的实数根.其中正确结论的序号 是 16.如图所示的为二次函数y=-x2-2x+3的图象，试观察图象回 答下列问题： 16题图 (1)方程-x2-2x+3=0的解为x1= 一，2= (2)当y>0时，x的取值范围为 (3)当-3<x<3时，y的取值范围为 ·题型六二次函数图象与动点问题 17.如图，△ABC是等边三角形，AB=2,AD1BC,垂足为D,点P从 点B出发，沿B→D→A的路径运动，运动到点A停止，过点P作 PE∥AC交边AB于点E,过点P作PF∥AB交边AC于点F,设点 P运动的路程为x,四边形AEPF的面积为y,则能正确反映y与 x之间函数关系的图象是 3 2 11+3x O11+5x B 17题图 3 2 2 011+5x 011+W3x D ·题型七二次函数的图象与性质探究题 18.数形结合是解决数学问题的重要方法.小明同学学习二次函数 后，对函数y=-（Ix-1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线 步骤后，得到如图所示的函数图象， 九年级数学北师版上册第34页 43 --1--2 --L--4- 5-4-32小2.3.4.5x -÷1卡2 -4--3 18题图 请根据函数图象，回答下列问题： 【观察探究】 方程-（1x1-1)2=-1的解为 【问题解决】 若方程-（|x|-1)2=a有四个实数根，分别为x1,x2,x3,x4； (1)a的取值范围是 (2)计算x1+x2+x3+x4= 【拓展延伸】 (3)将函数y=-(|x|-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数 y1=-（1x-21-1)2+3的图象？画出平移后的图象并写出 平移过程； (4)观察平移后的图象，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取 值范围：全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 当x=3时y=2×乃+是=4， 1 5.311 点C的坐标为含，县》 根据题意，得∠PEC=∠ADO. 当以P,C,E为顶点的三角形与△AD0相似时，分两种 情况： ①如答图②，当△CEP△AD0时，则∠PCE=LOAD, 即PC∥AO, 23题答图② 点P的纵坐标与点C的纵坐标相同， ·点P的纵坐标是 41 令+分+4= 1 4 舒得与=子（合去）=是 “点P的坐标为(-名》： ②如答图③，当△PEC∽△AD0时，则∠CPE=∠OAD. 过点C作x轴的垂线与过点P作y轴的垂线交于点N 0 23题答图③ :00=1 A0=2,△PEC△ADO, %-8分 .CN∥PE,∴.∠CPE=∠PCN. .'∠CNP=∠PCE=90°，∴.△CNP∽△PCE, 2器%分，即cv=2Pw 设点P的坐标为m,-了m+了m+4 点c(》点+日m+4 Cw-号-(-2+号m+4,Pw=m-号 号-（2+m+4=2m- 解得m=(含去)，m=号 9 当m=时，2+m+4 4 点P的坐标为号，》 ·24· 综上所述，当以P,C,E为顶点的三角形与△AD0相似时， 点P的坐标为(-多，)支(？，一) (3)点F的坐标为(7,5)或(-5，-1). [解析]如答图④，在y轴的正半轴上作BT=BA,连接AT, .A01 5∠A70=2∠AB0,BT=AB=590=号 ty T B G D 0 23题答图④ 当∠BFD=7∠AB0,即LBFD=∠AD时， 分两种情况：∠BFD=∠ATO或∠BF,D=∠ATO. 过点B作BG⊥AC于点G,过，点F,作F,H1⊥x轴于点H1, 过点F2作F2H2⊥x轴于点H2 A0=3.00=AD-35 2 ∠BDG=LADO,LBGD=∠AOD=90°， △n6a00%-0s品29 BD-BO-0D :∠BF,D=∠BF2D=∠ATO,∠F2GB=∠F,GB=∠TOA =90°， a5a6△R6Ba701e-e-8g Gf1=GF2=35. AG=A0+G=35,9-25, 2 ∴.AF1=AG+GF,=55,AF2=GF2-AG=√5. 设点R的生标是(+》， 1 RH=之+3,0H,=A=n+3 3 在Rt△AH1F1中，A+F,=AF, a+3y+(分+2}=55， 解得n1=-13(舍去)，n2=7,.FH1=5,F(7,5). 同理可得F2(-5,-1) 餘上所迷，当LBFD=分∠AB0时，点P的坐标是(7,5) 或(-5，-1). 专项巩固训练卷（八）》 二次函数的图象与性质 1.C 2.C[解析]：函数图象开口向上，与y轴交于正半轴，与 x轴没有交点，∴.a>0,c>0,b2-4ac<0.对称轴为直线 x=2=-1,6=2a>02a-6=0点M(e,2a-6) 在x轴正半轴上.当x=-1时，a-b+c>0,则N(b2-4ac, a-b+c)在第二象限，∴.过点M(c,2a-b)和点 N(b2-4ac,a-b+c)的直线一定不经过第三象限.故选C. 3.C[解析]抛物线开口向上，a>0.抛物线的对称轴 在y轴的右侧x=-2a>0,6<0.抛物线与y轴的 交点在x轴下方，.c<0,abc>0,①正确；x=-1 时>00-b+6>0,②正确：=一名=分 ∴.2a+3b=0,∴.③错误；.x=2时，y>0,.4a+2b+c>0, 把2a=-3b代入，得-6b+2b+c>0,∴.c-4b>0,∴.④正 确.故选C. 4.B5.C6.y=-(x+2)2 7.D[解析]：抛物线y=x2+（n-2m)x+m-n与抛物 线y=x2+(4m-6)x+2m-3关于y轴对称， {g.6 ’故选D. ln=0. 8.D[解析]将函数图象绕其顶点旋转180°后，开口大小和 顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向.抛物线 y=-(x+1)2-3的顶点坐标为(-1，-3)，.将二次函数 y=-（x+1)2-3的图象绕顶点旋转180°后，得到的抛物 线对应的函数表达式为y=（x+1)2-3.故选D. 9.B[解析]抛物线开口向上，对称轴为直线x=a. A(a-m,y),B(a-n,2),C(a+b,y3),.点A,B,C与 对称轴的距离分别为la-(a-m)l=lml,la-(a-n)l= Inl,I(a+b)-al =161..0<m<b<n,..Iml <lbl <Inl, y1<y3<y2故选B. 10.C[解析].3a+b>0,.2a+a+b>0..a+b<0, 2a>0,∴.a>0,.抛物线开口向上.-3a<b<-a, <-品<号点(-3，m).(2,.4)在演抛物 线上，.m,n,t的大小关系为n<t<m.故选C. 11<[解析]当x=-1时，y=a-b+c>0,当x=2时， y=4a+2b+c<0,则M-N=4a+2b-(a-b)=4a+2b+ c-(a-b+c)<0,即M<N. 12.A[解析]一次函数y1=x+n(k≠0)与二次函数y2= ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,4),B(6,2)两 ,点，结合图象可得关于x的不等式kx+n≥ax+bx+c的 解集是-1≤x≤6. 13.B[解析]抛物线开口向下，a<0.抛物线交y轴于 正半轴，c>0.->0,b>0,abc<0,故①正确 抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时，y>0,.x=-1 时，y>0,.a-b+c>0,故②正确；由cx2+bx+a=0可得 方程的解名+名=一名气名=“类物线)=a心+ 与x轴交于点(6,0)，对称轴为直线x=2,∴.抛物线与x轴 另一个交点为(-2,0)，，方程ax2+bx+c=0的两个根为 -26-合=4,8=-12-=2=-号若方 1 参考答案及解析 程x2+低+a=0的两个根为名=2离=-石，则-名 1 c 抛物线开口向下，对称轴为直线x=2,若x1<2<x2且 x1+x2>4,则点P(x1,y1)到对称轴的距离小于Q(2,y2) 到对称轴的距离，y1>y2,故④错误.故选B. 14.k>-1且k≠0[解析]令y=0,则x2-6x-9=0.:二 次函数y=kx2-6x-9(k≠0)的图象与x轴有两个不同的 交点，一元二次方程2-6x-9=0有两个不相等的 根，4=（-6)2-4k×(-9)>0,且k≠0，解得k>-1 且k≠0.故答案为k>-1且k≠0. 15.①③④[解析]将点(-4,0)，(0，-4)，(2,6)代入y= 16a-46+c=0,ra=1, ax2+bx+c,得c=-4,解得b=3,.抛物线 l4a+2b+c=6,【c=-4, 的表达式为y=x2+3x-4,a=1>0,因此①正确；对称轴 为直线=一多，即当x=一弓时，函教的值最小，因此② 不正确；把点(-8，y1),(8,y2)代入表达式，得y1=64- 24-4=36,y2=64+24-4=84,y1<y2,因此③正确；方程 ax2+bx+c=-5,也就是x2+3x-4=-5,即x2+3x+1 =0.由b2-4ac=9-4=5>0,得x2+3x+1=0有两个不 相等的实数根，因此④正确.故答案为①③④. 16.(1)1-3 (2)-3<x<1 (3)-12<y≤4 17.B[解析]：AD⊥BC,△ABC是等边三角形，AB=2, .BC=AB=2,∠B=∠C=∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD =30°，BD=1,AD=5. ①当0≤x≤1时，点P在线段BD上.PE∥AC,PF∥AB, .∠BEP=∠BAC=60°，∠BPE=∠C=60°，∠B= ∠BEP=∠BPE,∴.△BPE是等边三角形.，·BP=x, Sam-.同理，△PFC是等边三角形.PC=C- P2-x,SaPrG=(2-).四边形AEPF的面积 为yy-9x2--2-P-4-2-4+ 4 4 4 4)得(-2+)号+5此画数调 象是开口向下的二次函数图象 ②当1<x≤1+√5时，点P在线段AD上.PE∥AC, .∴.∠APE=∠DAC=30°，∴.∠BAD=∠APE,∴.AE=EP. 点P运动的路程为x,.AP=1+√5-x如答图， 作EN LAD于点N,·∠ANE=90,AN=1+B-x 2 AE.AE-2EN.EN 1+百--BL+g5-,5x=74P,N=× 2 6 ·25· 全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 （1+5-）.B1+5-,同理可得Sw=7×(1+ 6 5-)B+5-边，y-(1+5-此段 6 函数图象是开口向上的二次函数图象，故选B 17题答图 18.解：【观察探究】x1=-2,x2=0,x3=2 【问题解决】 (1)-1<a<0(2)0 【拓展延伸】 (3)将函数y=-(1x1-1)2的图象向右平移2个单位长 度，向上平移3个单位长度可得到函数y1=-（|x-2|- 1)2+3的图象，画出平移后的图象如答图。 43外 小34巾 --卡2外---t- -4 -2-1-1-1- 18题答图 (4)0≤x≤4 专项巩固训练卷（九） 二次函数实际应用的常见类型 1.解：(1)设y关于x的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 将x=50,y=100和x=40,y=200分别代入，得 r50k+b=100, 解得k=-10, 140k+b=200, b=600, ∴.y关于x的函数关系式为y=-10x+600. (2)W=(x-30)(-10x+600)=-10x2+900x-18000. 900 :-10<0当x=2×(10=45时， 在30≤x<60的范围内，W取到最大值，最大值是2250， ∴.销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大的日 销售利润是2250元. 2.解：(1)由题意，得y=(x-40)[500-10(x-50)]= -10x2+1400x-40000, 故y与x之间的函数关系式为y=-10x2+1400x- 40000. (2)y=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000, -10<0. .当x=70时，y有最大值，最大值为9000 答：当销售单价定为70元/件时获得的月销售利润最大， 最大月销售利润是9000元， (3)由题意，得8000=-10x2+1400x-40000, 解得x1=60,x2=80. 答：销售单价应定为60元/件或80元/件. ·26· 3.解：(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长 为(50+1+1-2x)米 根据题意，得x(50+1+1-2x)=320, 整理，得x2-26x+160=0,解得x1=10,x2=16. 当x=10时，50+1+1-2x=50+1+1-2×10=32>30, 不符合题意，舍去； 当x=16时，50+1+1-2x=50+1+1-2×16=20<30, 符合题意. 答：这个长方形的宽为16米，长为20米 (2)设场地的面积为S平方米，则S=x(50+1+1-2x)= -2x2+52x=-2(x-13)2+338. -2<0,.当x=13时，S有最大值，为338， 此时50+1+1-2x=50+1+1-2×13=26<30,符合 题意 答：长方形场地的最大面积是338平方米. 4.解：(1)设这个花圃较短边的长度为xm, 由题意，得x(13-x)=30, 整理，得x2-13x+30=0, 解得x1=3,x2=10>5(不合题意，舍去)， 当x=3时，较长边的长度为13-3=10(m),符合题意， 故这个花圃较短边的长度为3m. (2)由题意知，矩形花圃的周长为29+AB+AC=29+5+ 10=44(m), AD+AP=2×4=2(m), 设篱笆CF的长为xm,则AF=(10+x)m, .AD=22-AF=22-10-x=(12-x)m. 设花圃的面积为Sm2,则S=AF·AD=(10+x)(12-x)= -x2+2x+120=-(x-1)2+121, .∴.当x=1时，S取最大值，最大值为121， 即当篱笆CF的长为1m时，围成的花圃面积最大，最大面 积为121m2. 5.解：(1)由题易知C(0,5),A(-5,0), 设抛物线的函数表达式为y=ax2+5, 将4(-5,0)代入，得25a+5=0,解得a=号， :抛物线的函数表达式为y=-了2+5。 (2).·普通货车的高度大约为2.5m,货车顶部与警示灯带 底部的距离应不少于50cm, ∴.悬挂点的纵坐标y≥2.5+0.2+0.5=3.2，即悬挂点的 纵坐标的最小值是3.2， 当y=3.2时，+5=3.2，解得x=±3， ∴.灯带的最大安装长度是3-（-3)=6(m). 6.解：(1)设球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x 的函数表达式为y=x+b(k≠0,0≤x≤8)，把(0,3.36)， (8,0)代人，得-336。解得 k=-0.42, l8k+b=0, b=3.36, ∴.y=-0.42x+3.36(0≤x≤8).