3.4 相似三角形的性质 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“相似三角形的性质”同步练，通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，以数学眼光构建从性质理解到实际建模的知识路径，培养推理意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|相似三角形性质（周长比、中线比等）、基本判定|单选题1-5、填空题11-12直接应用概念，强化抽象能力| |进阶层|相似与平移/重心综合、实际测量（小孔成像、镜面反射）|单选题6-8、填空题13-14结合物理情境，发展几何直观| |综合层|动态问题（动点）、跨学科建模（凸透镜成像）、复杂图形|解答题18-20融合折叠与相似，提升模型观念与创新意识|

3.4 相似三角形的性质 练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 2．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 5．，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（    ） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 7．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明的眼睛距地面的高度米，该古城墙的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．米 D．米 8．魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 9．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 10．如图1，正方形中，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作交于点，设点的运动路程为，，与对应关系的图象如图2，那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（    ） A． B．图2中 C．图2中 D．当点运动到中点时， 二、填空题 11．已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则________度． 12．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 13．如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 14．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是______． 15．如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为__________． 三、解答题 16．如图，已知，点为一点，在上找一点，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 17．如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 18．【模型建立】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值； 【模型应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）． 19．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 20．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B B C C A B A 1．【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质及相似三角形的周长的比等于相似比的运用． 先求出等边三角形的周长，再根据三角形相似比得到周长比，从而求出周长． 【详解】解：∵等边三角形，， ∴． ∵点在边上，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，由题意得，则，于是可得，即，由此即可求出，进而可得小孔O到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 由题意得：， ， ， ， ， ， 即：， ， 即小孔O到的距离为， 故选：． 3．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．由得到，进而根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 4．【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】解：∵，相似比为， ∴边上的中线与边上的中线的比为， ∵边上的中线长为， ∴边上的中线长为. 5．【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是和的角平分线，且， ∴，，故①②正确； ④错误； ，故③错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平移的性质求解、重心的有关性质 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 7．【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意得到，由光的反射定律可知，则可证明，得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴，即， ∴米， 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 9．【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据题意得∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°，设AB＝x，利用特殊角的三角函数值可求得，，再根据三角形①的面积是3可得，最后再利用特殊角的三角函数值可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°， 设AB＝x， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∵三角形①的面积是3， ∴， 整理得：， ∵在中，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的相关知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 10．【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了动点问题的函数图象下，从图中获取信息是解题的关键． 根据点的运动位置，判断出的运动路程及运动时间的关系，结合函数图象逐个判断即可． 【详解】当点运动在上时，四边形为矩形， ∴， 当点运动在上时，的长呈先变短再变长的变化，故不一定等于，故A不一定正确，符合题意； 当点运动到点处时，， ，故B正确，不符合题意； 当点运动到点处时，点运动路程为8，、、三点重合， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 当点运动到中点时，如图， ，此时， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：A． 11．【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用三角形内角和求出的度数，再利用相似三角形的性质可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，顶点、、分别与、、对应， ∴， 故答案为： 12．【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 13．【答案】或 【知识点】相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出的长，用含t的式子表示出的长，根据题意只存在和这两种情况，据此利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， 解得， 当时，则，即， 解得， ∵， ∴， ∴和都符合题意， 故答案为：或． 14．【答案】2 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质，将物理中的成像规律转化为数学中的几何比例关系解答即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 15．【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了作图--复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据作一个角等于已知角的方法，构造∠ADE=∠C即可． 【详解】作．即点就是所求作的点． 【点睛】本题考查作图相似变换，解题关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 17．【答案】(1) 证明：， ， ， 又， ， 又， ； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ． 18．【答案】（1）2；（2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解决本题的关键． （1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念得到，再根据相似三角形的性质，得出与的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据与的关系，与的关系即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 由正方形的性质和折叠的性质可得，， ∴, 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴，即． 19．【答案】(1) (2)64，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． (3)或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式是解题的关键； （1）分别用t表示出和，则按求解即可； （2） 结合（1）的结论，在中，，边上的高，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； (3)分和两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）四边形是矩形，，， ，，， 点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动， ，，， ∵当时，是等腰直角三角形， ∴即， ∴当时，△AQP是等腰直角三角形； （2）∵在中，，边上的高，， 在中，，边上的高， ， ， 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． （3）根据题意，可分为两种情况， 在矩形ABCD中： ①当时， ， ， 解得， ②当时， ， ， 解得， 所以，当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似． 20．【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 学科网（北京）股份有限公司 $