1.3 矩形的性质与判定 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以矩形性质与判定为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一概念到实际应用的知识进阶，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|矩形性质与判定、直角三角形斜边中线|直接应用概念，如对比菱形与矩形性质| |能力提升|折叠/动点问题、坐标系应用|结合图形变换，如矩形折叠求角度| |综合应用|跨知识综合、实际情境|联系古代定理与校园问题，如贾宪定理应用|

1.3 矩形的性质与判定 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．每条对角线平分一组对角 2．已知矩形的对角线与一边的夹角是，则两条对角线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D．或 3．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 5．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 7．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 8．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 9．如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________． 12．在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为___________． 13．在如图1的矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则的长是_______． 14．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 15．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图），则矩形的周长为______． 三、解答题 16．如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． (1)试探索与之间的数量关系； (2)点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 17．图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 18．如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作的角，可以采用下面的方法（如图所示）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时得到线段，把纸片展平． 由此得到，和都是，请你写出证明过程． 19．课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 20．如图，某学校有一块形状为矩形的空地，米，米，现要在矩形空地中修建两个长为米，宽为米的矩形花坛（阴影部分）． (1)矩形空地的周长为______米；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，学校计划在其他地方铺上地砖，若铺地砖的造价为元/平方米，则铺完地砖需要花费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A A B C C C B 1．【答案】D 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】只需对比两类图形的性质，逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，平行四边形的性质为二者共有， ∵平行四边形具有对角线互相平分、对边平行且相等的性质， ∴选项A，C都是菱形和矩形共有的性质，不符合题意； ∵对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质， ∴选项B不符合题意； ∵菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角， ∴该性质是菱形具有而矩形不一定具有的性质，故选项D符合题意． 2．【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】首先根据矩形的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图：    根据题意可得： ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 则， ∴两条对角线的夹角的度数是或． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 4．【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求面积 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 5．【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题、求角的余弦值 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先根据勾股定理求，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求的长． 【详解】解：由勾股定理得， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴． 7．【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形、矩形的判定定理理解、等腰梯形的判定定理 【详解】解：如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状． 可知将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是菱形． 8．【答案】C 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据题意，四边形是平行四边形，利用矩形的判定定理，即可求解． 【详解】四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是菱形，故B不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是矩形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，故D不符合题意； 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下，    ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 10．【答案】B 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、中点坐标 【分析】连接 交 于点 ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点 的坐标，再计算出点 的坐标． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 11．【答案】③ 【知识点】证明四边形是矩形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】①∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②， 不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意； ③∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意； ④， 不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 12．【答案】或6 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、折叠性质，解题关键是熟练掌握勾股定理和分类讨论． 分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：矩形中，，，， ， 由折叠性质可得，，， ，， 分两种情况：①当时，如图， 则，所以点B、、D三点共线， ∴ ∴， 设，， 中，， 即， 解得， ． ②当时 ， 则， ∴四边形是正方形， ∴． 综上，线段的长为3或6． 13．【答案】5 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据动点P的运动路径，分析的面积y随路程x的变化情况，结合函数图象读取数据计算即可． 【详解】解：由题意可知，当点P在上运动时，的面积y随x的增大而增大， 当时，面积开始保持不变，则此时点P运动到点C，即， 当时，面积开始减小，说明此时点P运动到点D，即， ． 14．【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、全等三角形的性质 【分析】当点G，H分别是的中点时，可以拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形，从而，则；延长交于K，则四边形是矩形，，再由三角形面积求出高，从而得，即可求得结果． 【详解】解：如图，当点G，H分别是的中点时，可以拼成一个无缝隙、无重叠的矩形， ∴，， ∴，； ∴； 延长交于K， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长为． 16．【答案】(1) 解：，理由： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； (2) 解：当O为中点时，四边形是矩形． 证明：∵O为中点， ∴． 又由（1）知，， ∴四边形是平行四边形. ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、证明四边形是矩形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义和平行线的性质得，进而得出，同理得，则答案可得； 对于（2），先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点作于点，则，．先求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，． 在中，， ， ． 答：路灯顶部到地面的距离约为． 18．【答案】证明：如图，连接，由折叠与矩形的性质，得，垂直平分， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴均为． 【知识点】等边三角形的判定和性质、矩形与折叠问题 【分析】首先，连接，由折叠与矩形的性质，得，垂直平分， ，再证得为等边三角形，得，再由折叠的性质，得，最后，由，可证得结论． 【详解】略 19．【答案】 （1）证明：如图1，延长到E使得，连接，，          图1 D为中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ； （2） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证； （2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接、，          图2 ，点E是的中点，， ， 点F是中点， ，， ． 20．【答案】(1) (2)元 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、根据矩形的性质求面积、二次根式的应用 【分析】（1）根据矩形的周长公式即可求出矩形空地的周长； （2）首先根据矩形的面积公式求出需要铺地砖的面积，再根据费用铺地砖的面积地砖的造价求出需要的费用． 【详解】（1）解：矩形空地的周长为： ； （2）解：根据题意得： （平方米）， 铺完地砖需要花费（元）， 答：铺完地砖需要花费元． 学科网（北京）股份有限公司 $