1.3 矩形的性质与判定 课后作业2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以矩形性质与判定为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|矩形性质与判定的基本概念|单选1-5直接考查性质区别与判定定理，填空11基础判定，培养抽象能力| |能力提升|性质与勾股定理、折叠结合|单选6-8涉及计算，填空13-14动态问题，发展推理意识| |综合应用|跨知识点综合与实际应用|解答17测量问题、18折叠综合，提升空间观念与应用意识|

1.3 矩形的性质与判定 课后作业2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对角相等 B．对边相等 C．邻角互补 D．对角线相等 2．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠矩形，使点B落在边上的点F处，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 4．已知矩形的对角线与一边的夹角是，则两条对角线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D．或 5．如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 6．如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=1，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边上的高，则DE的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 9．点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为20 C．若的面积等于的面积，则的面积等于的面积 D．若，则 10．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，则它是______形．若∠AOB=60°，则AB：AC=_______． 12．课外活动课上，小明用矩形玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形沿对折，折出折痕，并展开；第二步，将纸片折叠，使点落在上点，若，则折痕的长等于______． 13．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 14．如图，矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，点从点出发以每秒的速度向点运动，连接，，若是以为腰长的等腰三角形，则点的运动时间为______秒． 15．如图，在中，，，，P是边上的一点，作垂直，垂直，垂足分别为E、F，则的最小值是_________． 三、解答题 16．根据下图所标注的数据，判断四边形的形状，并说明理由． 17．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识测量城运河某河段的宽度，如图所示，为水面，他们在河岸一侧的一个栏杆上放飞一只无人机，无人机在河上方距水面米的点处测得正对岸处的俯角为，测得栏杆顶端处的俯角为，经测量栏杆高度为米（图中在同一平面内），求运河的宽度即的长度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 18．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 19．【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在梯形中，，为的中点，若用，，分别表示，，的面积，求证：．”经过小组合作交流，找到了解决方法：“遇平行线＋中点，延长构造全等”． （1）请按照如下的思维框图，完成问题情境中的证明． 【探究应用】（2）如图2，，，且，，是的中点，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在平行四边形中，于点，，求与的数量关系． 20．如图，某学校有一块形状为矩形的空地，米，米，现要在矩形空地中修建两个长为米，宽为米的矩形花坛（阴影部分）． (1)矩形空地的周长为______米；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，学校计划在其他地方铺上地砖，若铺地砖的造价为元/平方米，则铺完地砖需要花费多少元？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A C A A A A 1．【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解 【详解】解：A、B选项：平行四边形与矩形的对角，对边均相等，不符合题意； C选项：平行四边形对边平行，邻角互补，矩形也具有该性质，不符合题意； D选项： 一般平行四边形对角线仅互相平分， 矩形对角线相等，符合题意． 2．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】先由矩形的性质得到，再由折叠的性质得到，求出，则；设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，正确利用勾股定理建立方程是解题的关键． 3．【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 4．【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】首先根据矩形的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图：    根据题意可得： ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 则， ∴两条对角线的夹角的度数是或． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】由于点E为中点，故，在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 四边形为矩形， ， 为中点，， ， 在中，，， ． 6．【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 根据矩形的性质可知，，，三角形为等边三角形，进而可求，含的直角三角形中，，再通过矩形面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据勾股定理即可求得AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE的长，由三角形面积相等即可求得CD的长，进而由勾股定理可以求得DE的长． 【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AC=，BC=1， ∴AB=， ∵CD是斜边上的高， ∴三角形ABC面积 ∴CD= ∵CE是斜边AB上的中线， ∴CE=， Rt△CDE中，∠CDE=90°， ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质，正确求出AD和CE的值是解题的关键． 8．【答案】A 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 9．【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、用SSS证明三角形全等（SSS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】由全等三角形的性质得，无法证明对应边相等，得出无法证明，可判断A不正确；求出对角线的长，然后根据三角形三边的关系求出的最小值为20，可判断B正确；根据可判断C正确；由相似三角形的性质得出，，即可证明、、三点共线，利用等积法得出,可证明D正确． 【详解】解：如图， A∵，∴． ∵无法证明对应边， ∴无法证明，故该选项不正确； B．连接，∵，∴．∵，，∴的最小值为20，故正确； C．∵，的面积等于的面积，∴的面积等于的面积，故正确； D．如图， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴、、三点共线，， ∴，即， 解得：，故正确 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，相似三角形的性质，难度一般． 10．【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 11．【答案】 矩 1：2 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是矩形、等边三角形的判定和性质 【分析】先证（SAS），可得，∠BAO=∠DCO， 可证是平行四边形，再证AC=BD，可证是等边三角形，求出，利用30角所对直角边等腰斜边一半可得即可． 【详解】解：在△AOB和△COD中 ∵ ， ∴（SAS）， ∴，∠BAO=∠DCO ∴, ∴是平行四边形， ∵， ∴即AC=BD， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：矩；． 【点睛】本题考查矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，掌握矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质是解题关键． 12．【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形与折叠问题以及含有角的直角三角形的性质，根据折叠的性质，得到，，，即可作答． 【详解】四边形为矩形， 由折叠的性质可得：，，， 在中， 故答案为：． 13．【答案】8 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 14．【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是边的中点， ∴ 如图1，当时， 在中， 所以． 如图2，当时，过点E作于点F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 如图3，当时， 在中，同理可得 ∴， 所以． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为或或秒． 故答案为：或或． 15．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】如图，连接，先证明四边形是矩形，由矩形性质得到，当时，线段最小，即最小，在中，由勾股定理求出，再由等面积法列式求线段长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ， ∴四边形是矩形， ， 是定点、是线段上的一个动点， 当时，线段最小，即最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值是． 16．【答案】 四边形为矩形，理由如下： 根据图形可得， 四边形为平行四边形， 根据图形可得， 四边形为矩形． 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，根据两对边相等，可得四边形为平行四边形，根据，可得四边形为矩形，熟知矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：略． 17．【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 如图所示，延长垂直于点所在的水平直线，垂足为点，则四边形是矩形，则，在中由得到（米），在中由得到（米），则（米），由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长垂直于点所在的水平直线，垂足为点， ∵， ∴四边形是矩形，则， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，（米），， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）； 答：河宽的长度为97米． 18．【答案】(1) (2)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等、矩形与折叠问题 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 19．【答案】 （1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图，延长交的延长线于，证明，，，可得，可得； （2）如图，延长交于，证明，可得，，求解，可得； （3）如图，延长交于，连接，证明，可得，设，证明，，可得，设，可得，，再进一步求解可得结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图，延长交于， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，延长交于，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∴，设， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．【答案】(1) (2)元 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、根据矩形的性质求面积、二次根式的应用 【分析】（1）根据矩形的周长公式即可求出矩形空地的周长； （2）首先根据矩形的面积公式求出需要铺地砖的面积，再根据费用铺地砖的面积地砖的造价求出需要的费用． 【详解】（1）解：矩形空地的周长为： ； （2）解：根据题意得： （平方米）， 铺完地砖需要花费（元）， 答：铺完地砖需要花费元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $