2.2 一元二次方程的解法 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以一元二次方程解法为核心，通过基础巩固、方法综合到实际应用的分层设计，构建“概念理解-运算技能-模型应用”的知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接开平方法、公式法、配方法的单一应用|单选题1-6题直接考查解法步骤，填空题11-12题强化公式记忆，体现运算能力| |提升层|解法综合应用、参数讨论|单选题7-8题结合分式方程与根的判别式，填空题13-14题渗透配方法求最值与换元思想，发展推理意识| |综合层|实际情境与跨知识应用|解答题19-20题通过物流车问题、梯子滑落问题，构建方程模型解决实际问题，培养模型观念与空间观念|

2.2 一元二次方程的解法 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程时，Δ＝（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 10．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 二、填空题 11．把方程化成的形式，则m的值是________． 12．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，，____________． 13．当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 14．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 15．已知关于的一元二次方程，其中为的三条边的长度，如果方程有两个相等的实数根，则的度数为___________． 三、解答题 16．解方程 (1) (2) 17．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根； (2)若此方程的两根均整数，求整数k的值， 19．为落实乡村快递配送，某物流园准备购入A、B两种型号的无人配送车，承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相同，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件，由于充电及道路拥堵问题，无人配送车的每天工作时间为8小时． (1)求A、B两种型号无人配送车每小时分别运送快递的件数； (2)若该物流园计划购入这两种无人配送车共20辆，保证每天至少6000件快递的转运量，求至少购入A型无人配送车多少辆？ 20．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A A C B A C C 1．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，通过移项、系数化为1后开平方即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴Δ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 4．【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．【答案】A 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为，，无实数根，故不能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有3个． 7．【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 8．【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先利用判别式的意义得到且，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，则可求得满足条件的整数的个数． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且，解得且， 去分母得，解得， ∵分式方程有正数解， ∴且，解得且， ∴的范围为且，， ∴符合条件的整数的值是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得的取值范围是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法求一元二次方程的解，令，对于关于的一元二次方程的解为，，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，， 令， ∴对于关于的一元二次方程的解为，， 即或， 即，， ∴关于的一元二次方程的解是，． 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【详解】解：， 方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确； 由等式的性质可得， 所以， ∴，故小红出错． 故选C． 11．【答案】3 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 12．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 13．【答案】 5 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 14．【答案】，/， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 15．【答案】/度 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理逆定理判定定理的运用，理解一元二次方程有两个相等的实数根的含义是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，结合勾股定理逆定理得到，由此得到是直角三角形，是斜边，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程化为一般式得，， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵为的三条边的长度， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形，是斜边， ∴， 故答案为： ． 16．【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 17．【答案】 ；；；；；；；；； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，再开平方即可求解． 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 18．【答案】(1) 证明：∵              ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根． (2)k的值为或 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先计算判别式的值得到 ，然后根据非负数的性质得到△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用因式分解法求得的解为，，然后根据整数的整除性可确定整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：原方程的两根为， 即，          ∵方程的根为整数，k为整数， ∴k的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程， ：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根． 19．【答案】(1)A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件 (2) 至少购入A型无人配送车10辆 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】（1）根据“时间工作总量工作效率”列式，根据两种型号车的时间关系列等式求解即可； （2）根据“工作总量总工作效率总工作时间”列不等式． 【详解】（1）解：设A型号无人配送车每小时运送快递的件数为件，则B型号无人配送车每小时运送快递的件数为件， 由题意得， 解得， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的解， ∴， ∴A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件． （2）解：设A型无人配送车有辆，则B型号无人配送车有辆， 则， 解得， ∴至少购入A型无人配送车10辆． 20．【答案】(1)；0.8；（舍去）；0.8 (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $