2.2一元二次方程的解法新课预习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“一元二次方程的解法”新课预习同步练，以基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|解法（公式法、配方法）、根的判别式|选择1-4题直接考查解法，填空11-12题巩固判别式应用| |能力提升|根与系数关系、几何综合|解答17-19题结合三角形、矩形背景，培养推理意识| |综合应用|实际建模、规律探究|解答22-23题通过传染问题、杨辉三角，体现模型意识与创新意识|

· 2.2 一元二次方程的解法�新课预习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根为0 3．用配方法解方在，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 5．已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，边上的中线长为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 8．如图，在矩形中，，点的坐标为，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 9．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 10．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为________． 12．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 13．已知关于x的方程，如果从1、2、3、4、5、6六个数中任取一个数作为方程的常数项m，那么所得方程有实数根的概率是_________． 14．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16．解一元二次方程：． 17．已知关于的一元二次方程的两个根互为倒数，求的值． 18．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 19．年，中国载人航天的征程令人期待．神舟二十号、神舟二十一号、天舟九号蓄势待发，昊龙货运航天飞机、轻舟货运飞船也将携手朱雀三号、力箭二号闪亮登场．这些新成员的加入，让中国空间站——天宫的发展充满无限的遐想．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．求每个“天宫”模型的进价是多少元． 20．已知关于的一元二次方程中，． (1)解：∵，． ∴， ∴______，此时______． (2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，请求出方程的根． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点．      (1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB，若的面积为3，求点A的坐标． 22．【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 23．阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A A D C B A B 11． 12．3 13． 14．14 15．7 16． 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】解： ， 整理，得， ∵， ∴， ∴， 解得：. 17． 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，由一元二次方程根和系数的关系可得，解得解得，，再把的值代入方程化简，根据根的判别式进行判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得，， 当时，原方程化为， ∵，此时方程没有实数根； 当时，原方程化为， ∵，此时方程有两个不相等的实数根； 的值为． 18．(1)； (2)取，此时，．（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求出m的值范围是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根列出判别式，再解不等式即可得到答案； （2）按照（1）中的范围取m的值，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：依题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴． 即． ∴． （2）取． 此时方程为 解得，． 19．元 【分析】设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元，由题意可得， ，解方程即可． 【详解】解：设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元， 由题意可得， ， 整理，得， 解得， 而价格不能为负数， 故舍去， 故， 经检验，是原方程的根， 答：每个“天宫”模型的进价是20元． 20．(1)； (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式以及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负和判别式与根的关系是解题的关键．先根据二次根式的被开方数非负求出c、b的值，再结合判别式求出a，进而求解方程的根． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质：被开方数必须是非负数，所以对于和，需要满足： ， ∴， ∴， 将代入得 ； （2）解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 将，代入判别式，得 ， 解得， 此时方程为， 即， 解得． 21．(1) (2) 【分析】（1）将代入反比例函数，即可求解； （2）根据，可得，即，再利用待定系数法可得一次函数解析式为，联立，即可作答． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过点， ∴，即， ∴反比例函数解析式为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴，即， 把，代入， 得：， 解得， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数以及解一元二次方程的知识，根据面积求出，是解答本题的关键． 22．(1)8 (2) (3)盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【详解】（1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 23．(1)C (2)的最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，分式化简求值等知识． （1）根据判别式的定义和用法即可得出答案． （2）根据题干的解题方式求解即可． （3）根据题干的解题方式求解出的最大值，再根据分式的化简和性质即可求出答案． 【详解】（1）解：用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，需根据，或来判断，则体现的数学思想是分类讨论， 故选C． （2）解：由，得 将其代入，得， 设，则， 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． （3）解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是正数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为9． ∴， ∵的最大值为9， ∴的最小值为：． 答案第6页（共6页） 答案第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $