精品解析：北京市第十三中学分校2026-2027学年八年级上学期学情自测数学试卷

2026-2027学年北京市第十三中学分校八年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正，进行判断． 【详解】解：第二象限的点横坐标小于，纵坐标大于， 点)的横坐标，纵坐标，满足条件， 故选：C． 2. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，包含有限小数和无限循环小数． 【详解】解：∵ ，是整数，属于有理数， 是无限循环小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数． 3. 已知，则下列不等式变形不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、在的两边同时加上，不等号的方向不变，即，正确，不符合题意； B、在的两边同时乘以再加，不等号的方向改变，即，原变形错误，符合题意； C、在的两边同时乘以再减，不等号的方向改变变，即，正确，不符合题意； D、在的两边同时除以，不等号的方向不变，即，正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 5. 如图，把左图中的部分剪下来，恰好能拼在的位置处，构成右图中的图形，形成一个从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左图与右图的面积相等，列出等式即可． 【详解】左图的面积为， 右图的面积为， 则， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，理解题意，根据面积相等建立等式是解题关键． 6. 为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论正确的是（ ） A. 5期“100米短跑”集训的时间共计是20天 B. 第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得慢 C. 相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大 D. 每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，折线统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．根据条形统计图和折线统计图里的数据解答即可． 【详解】解：由题意知， A项：5期“100米短跑”集训的时间共计是：（天），故本项结论错误，不符合题意； B项：第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得快，故本项结论错误，不符合题意； C项：，故李明第3期的成绩较之他第2期进步最大，结论正确，符合题意； D项：每期训练的时间以10天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩，故本项结论错误，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，直线，被直线所截，．作一组同旁内角的角平分线交于点O．设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质得出同旁内角互补，结合角平分线的定义表示出与的数量关系，再利用邻补角的性质及角平分线定义表示出，通过代换即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 分别平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． 8. 如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（ ） ①； ②； ③设，则； ④． A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，分别对四个结论进行推导验证；利用推导角的关系，结合计算具体角度表达式，从而判断结论的正确性． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵共线， ∴， ∴ ，故④正确； ∵， 而， ∴与不一定相等，故①错误； 综上所述，正确的结论是②④． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知，则的值等于______． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了平方根，运用平方根的性质进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或． 10. 已知 是方程的解，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求数的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的解， ， 解得：， 故答案为：1． 11. 若，则______，______． 【答案】 ①. 2 ②. 12 【解析】 【详解】解：， ，． 12. 计算 ______； ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：； ． 13. 右边的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据______________________． 【答案】不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变． 【解析】 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：∵“系数化为1”这一步时，为负数， ∴依据是：不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变（或不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 14. 将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，平移后点落在轴上，平移距离的最小值为点到轴的距离，计算点纵坐标的绝对值即可得到结果． 【详解】解：轴上点的纵坐标为， 点到轴的距离为， 平移后点落在轴上时，平移距离的最小值为． 15. 已知关于的不等式的解集是，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解这个关于的一元一次不等式，得到用含的式子表示的解集，再结合已知解集建立关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： ， 不等式的解集为， 解得． 16. “幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： （1）如图1，图中已填好了四个数，请直接写出S的值______． （2）如图2，中间三个“”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1到6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值；小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，写出的值是______． 【答案】 ①. 12 ②. 6或9 【解析】 【分析】（1）设左边空白方格应填的数为x，右边空白方格应填的数为y，根据“每个圆圈上的三个数字之和相等”列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设上方的圆圈上空白方格应填的数为m，左侧的圆圈上空白方格应填的数为x，右侧的圆圈上空白“”应填的数为y，根据题意可得，由①②③并整理，可得，结合填入的数字为“1，2，3，4，5，6”，可得，然后根据且S为整数，即可获得答案． 【详解】解：（1）设左边空白方格应填的数为x，右边空白方格应填的数为y，如下图， 根据每个圆圈上的三个数字之和相等， 可得：，解得：， 两个空白方格中，从左到右依次应填4，5， ∴每个圆圈上的三个数字之和为：； （2）设上方的圆圈上空白方格应填的数为m，左侧的圆圈上空白方格应填的数为x，右侧的圆圈上空白方格应填的数为y，如下图， 每个圆圈上的三个数字之和为S， ， 得：， 即， 整理得， 所有填入的数字之和为：， ， ， ， ， ∵a，b为1到6中某两个数， ∴a，b最小取1，2，最大取5，6， ∴， ∵， ∴， ， ∵S为整数， 或． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，先计算立方根、去绝对值并化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 四、解答题：本题共6小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解二元一次方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【解析】 【分析】利用多项式与多项式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则进行化简，将代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 21. 完成下面证明． 如图，三角形，，为上一点，，，点、分别在、上，且． 求证：． 证明：，， _________．（依据：___________） ， _________°． ， _________． ．（依据：_______________） 【答案】证明：，， ．（两直线平行，内错角相等） ， ． ， ． ．（同位角相等，两直线平行） 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，利用角的和差关系求出，即可得出，根据平行线的判定定理即可得出答案． 【详解】略 22. 某工程公司为选拔高级测绘技术员，按照“核心岗位技能选拔标准”组织考核．考核分为理论笔试与实地测绘，两项满分均为分，两项成绩之和为考核总成绩，总成绩高于分为“优秀”等级．为了解本次考核的整体水平，公司从总成绩与分项成绩两方面进行数据统计与分析． （1）随机抽取名技术员的总成绩数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 总成绩 频数 频率 1 总计 根据以上信息，完成以下问题： ①表中_________，_________，_________； ②补全频数分布直方图； ③若此次考核共有名技术员参加，根据上面的统计结果，估计此次技能考核中成绩为“优秀”等级的技术员约有_________人． （2）随机抽取名技术员理论笔试与实地测绘的分项成绩数据，绘制统计图（如图）．若记理论笔试成绩不低于实地测绘成绩的人数为，其余人数记为，则________（填“>”“=”“<”）． 【答案】（1）①，，； ②频数分布直方图如图所示： ③ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据频数率频率数总数，分别求出、、的值即可； ②根据①中的值，补全频数分布直方图即可； ③用乘以“优秀”等级所占比例即可得出答案； （2）如图，连接，根据统计图的横轴与纵轴表示的意义得出上的点表示理论笔试成绩与实地测绘成绩相同，根据下方及线上的点的数量小于上方的点的数量即可得出． 【小问1详解】 解：①∵在组中，频数为，频率为， ∴（名）， ∵在组中，频率为， ∴（名）， ∵在组中，频数为， ∴． ②补全频数分布直方图如图所示：略 ③由统计表可知，抽取的名技术员的总成绩高于分的有（名）， ∴名技术员中，成绩为“优秀”等级的技术员约有（人）． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由统计图的横轴与纵轴表示的意义可知，上的点表示理论笔试成绩与实地测绘成绩相同，下方的点表示理论笔试成绩大于实地测绘成绩， ∵下方及线上的点的数量小于上方的点的数量， ∴． 23. 如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． （1）求证：； （2）连接，若平分，，求的度数． 【答案】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和及互补关系得，结合已知得，再由平行线的性质即可得证； （2）由（1）知，则得，由，可求得的度数，由三角形内角和求得的度数，由角平分线的条件得的度数，再由三角形内角和求得的度数，最后由（1）的结论即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）得． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． （1）当时，________． （2）若，求的值． （3）已知，，若不论取何值时都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1）3 （2）的值为4或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出、坐标，根据“纵轴距”新定义，取横坐标绝对值的最大值得到结果； （2）根据“纵轴距”定义，分别令两点横坐标的绝对值等于5，求出，再回代检验，舍去不符合条件的值； （3）先求出的最小值，由恒成立条件得到，再根据新定义列出绝对值不等式组，分别求解，取公共部分得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵，点的横坐标为，点的横坐标为， 若，解得或， ∵当时，，， ∴，符合题意； ∵当时，，， ∴，不符合题意； 若，解得或， ∵当时，，， ∴，不符合题意； ∵当时，，， ∴，符合题意； 综上所述，的值为4或； 【小问3详解】 ∵，， ∴当时，最小， 解得， 此时，， ∴的最小值为2， ∵不论取何值时都有， ∴，即， ∵，， ∴且， 解得：， 解得：， ∴． 【点睛】新定义题型，一定要读懂“纵轴距”含义；第（3）问“无论取何值恒成立”，要转化为小于等于对方的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北京市第十三中学分校八年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式变形不正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把左图中的部分剪下来，恰好能拼在的位置处，构成右图中的图形，形成一个从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A. B. C. D. 6. 为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论正确的是（ ） A. 5期“100米短跑”集训的时间共计是20天 B. 第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得慢 C. 相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大 D. 每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩 7. 如图，直线，被直线所截，．作一组同旁内角的角平分线交于点O．设，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（ ） ①； ②； ③设，则； ④． A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知，则的值等于______． 10. 已知 是方程的解，则m的值为________． 11. 若，则______，______． 12. 计算 ______； ______． 13. 右边的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据______________________． 14. 将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 15. 已知关于的不等式的解集是，则的值是_______． 16. “幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： （1）如图1，图中已填好了四个数，请直接写出S的值______． （2）如图2，中间三个“”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1到6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值；小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，写出的值是______． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 四、解答题：本题共6小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解二元一次方程组 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 完成下面证明． 如图，三角形，，为上一点，，，点、分别在、上，且． 求证：． 证明：，， _________．（依据：___________） ， _________°． ， _________． ．（依据：_______________） 22. 某工程公司为选拔高级测绘技术员，按照“核心岗位技能选拔标准”组织考核．考核分为理论笔试与实地测绘，两项满分均为分，两项成绩之和为考核总成绩，总成绩高于分为“优秀”等级．为了解本次考核的整体水平，公司从总成绩与分项成绩两方面进行数据统计与分析． （1）随机抽取名技术员的总成绩数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 总成绩 频数 频率 1 总计 根据以上信息，完成以下问题： ①表中_________，_________，_________； ②补全频数分布直方图； ③若此次考核共有名技术员参加，根据上面的统计结果，估计此次技能考核中成绩为“优秀”等级的技术员约有_________人． （2）随机抽取名技术员理论笔试与实地测绘的分项成绩数据，绘制统计图（如图）．若记理论笔试成绩不低于实地测绘成绩的人数为，其余人数记为，则________（填“>”“=”“<”）． 23. 如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． （1）求证：； （2）连接，若平分，，求的度数． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．已知点，，连接． （1）当时，________． （2）若，求的值． （3）已知，，若不论取何值时都有，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $