精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年八年级上学期 数学练习

初二上数学练习 2026.9．2 一．选择题（每小题3分，共21分） 1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下面的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，于C，于D，于E，则下列说法中错误的是（） A. 中，AC是BC边上的高 B. 中，DE是BC边上的高 C. 中，DE是BE边上的高 D. 中，AD是CD边上的高 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x，y的方程组满足，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和均为的外角，的平分线所在直线与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共24分） 8. （1）的平方根是________， （2）的立方根是________． 9. 若点在y轴上，则a的值为__________． 10. 如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 11. 已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 12. 已知，则的值为___________． 13. 如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 14. “3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 三．解答题（共55分） 15. 解方程组、不等式组 （1）； （2） 16. 计算： （1） （2） 17. 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 18. 概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． （1）问题解决：如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则的度数为 　　； （2）如图③，在中，，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； （3）延伸推广：在中，是的外角，的邻三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二上数学练习 2026.9．2 一．选择题（每小题3分，共21分） 1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】比较每组中两条较短线段的和与最长线段的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、， 能组成三角形，符合题意； B、， 不能组成三角形，不符合题意； C、， 不能组成三角形，不符合题意； D、， 不能组成三角形，不符合题意． 2. 下面的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则计算每个选项即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A， ，∴A计算正确； 对于选项B，∵，，∴B计算错误； 对于选项C，∵，，∴C计算错误； 对于选项D，∵，，∴D计算错误． 3. 如图，于C，于D，于E，则下列说法中错误的是（） A. 中，AC是BC边上的高 B. 中，DE是BC边上的高 C. 中，DE是BE边上的高 D. 中，AD是CD边上的高 【答案】C 【解析】 【详解】中，AC是BE边上的高,C错. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补是本题的关键．由于平行，，已知，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数． 【详解】解：由于平行，， ， ， ， ， ． 故选：A． 5. 如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 6. 若关于x，y的方程组满足，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用加减消元法得到关于的表达式，再结合已知不等式求解的取值范围即可。 【详解】解：， 将得， 等式两边同时除以4得， ∵， ∴， 解得． 7. 如图，和均为的外角，的平分线所在直线与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形形内角平分线，三角形外角性质，由三角形外角的性质和对顶角相等可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；角平分线的定义，三角形外角的性质，根据角平分线的定义和平角判定选项； 由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定； 利用三角形外角的性质可得，结合 可判定；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A项错误，符合题意； ∵平分，平分， ∴，， ∴, ∵， ∴，即，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：． 二．填空题（共24分） 8. （1）的平方根是________， （2）的立方根是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的平方根是； （2）∵， ∴的立方根是． 9. 若点在y轴上，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】y轴上的点的横坐标为0，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：点在轴上， ∴ 解得． 10. 如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】在和中，使用三角形内角和定理得到，代入数值即可求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理知，在中，， 在中，， ，（对顶角相等） ， ． 11. 已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分腰长为和腰长为两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解： 分两种情况讨论： 情况1：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 情况2：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 因此这个等腰三角形的周长为或． 12. 已知，则的值为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】首先得到，然后根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13. 如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 【答案】21 【解析】 【分析】先由三角形的中线得到，再得到和周长的差，进而由已知求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为，比长， ∴周长为：． 14. “3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 【答案】 ①. 19 ②. 6 【解析】 【分析】(1)先计算租车和保险的固定费用，得到可购买纪念品的剩余费用，要得到最多纪念品数量，需优先购买平均单价最低的纪念品套装，再计算剩余费用可购买的单个纪念品数量，得到总个数； (2)设出三种纪念品的购买数量，根据总费用列出方程，结合三个数量均为正整数的条件，分类讨论得到所有符合条件的购买方案数量． 【详解】（1）计算固定支出：租车费用为1500元，42名学生的保险费用为元，总固定支出为：元。 可用于购买纪念品的费用为：元． 纪念品套装平均单价为元，低于徽章的16元和冰箱贴的20元，因此要得到最多纪念品个数，应尽可能多买套装． 设购买套套装，则，得的最大整数值为9，此时花费元，剩余费用元，可再购买1个单个纪念品． 总纪念品个数为； （2）设购买套装套，徽章个，冰箱贴个，由题意可知，，均为正整数，总费用满足：． 两边同除以2得：， 由奇偶性可知为奇数，因此为奇数，又，得，因此的可能取值为1，3，5，7，9，分类讨论： 当时，方程化简为，正整数解为，，共3组解； 当时，方程化简为，正整数解为，共2组解； 当时，方程化简为，正整数解为共1组解； 当时，方程化简为，无符合条件的正整数解； 当时，剩余费用不足以同时购买至少1个徽章和1个冰箱贴，无符合条件的解； 总符合条件的方案数为． 三．解答题（共55分） 15. 解方程组、不等式组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ，得， ，得， 解得； 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式运算，重点考查幂的运算相关法则和多项式与多项式相乘的运算法则． （）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并同类项得到结果； （）运用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化简． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 17. 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． （2）已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）2 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 18. 概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． （1）问题解决：如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则的度数为 　　； （2）如图③，在中，，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； （3）延伸推广：在中，是的外角，的邻三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）85° （2）45° （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解； （2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数； （3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，可求解；情况二：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得可求解． 【小问1详解】 解：的邻三分线交于点，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在中，， ， 又、分别是邻三分线和邻三分线， ，， ， ， 在中， ； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，，， ， 即， ，， ； 如图3-2所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，，， ， 即， ，， ． 综上所述：的度数为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角三等分线的定义，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $