26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第2课时）—— 对称轴与最值 （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦二次函数y=ax²+bx+c图象和性质，分层设计清晰，从基础概念到综合应用再到拓展探究，强化知识巩固与数学思维、模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点应用（对称轴、最值、顶点坐标等）|题量多（12题），基础题型为主，如直接求最值、对称轴，强化运算能力| |能力提升|综合应用（含参数、图形分析、实际问题）|题量中等（5题），综合题型，如含m的二次函数证明、利润计算，发展推理意识| |拓展探究|复杂综合与拓展（面积、存在性问题）|题量少（3题），探究性题型，如三角形面积最值、动态点存在性，提升创新意识与模型观念|

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第2课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆（30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-b/2a。 ②当a>0时，在顶点处取得最小值4ac-b²/4a；当a<0时，在顶点处取得最大值。 ③已知对称轴或顶点，可利用对称性求函数值和交点。 2. 与本节课相关的旧知识：顶点式、对称轴公式、配方法。 3. 预习时遇到的疑问：求最值时为什么要考虑自变量的取值范围？端点值和顶点值哪个大？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①求最值时不考虑实际问题中自变量的取值范围，直接用顶点值。 ②利用对称性时搞错对称点的横坐标关系。 二、基础随堂自检（当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 抛物线y=x²-2x+3的对称轴是____。 2. y=-x²+4x+1的最大值是____。 3. 抛物线y=2x²-4x+3当x=__时取最小值__。 4. 若点(2,5)在抛物线y=ax²+bx+3上，则它关于对称轴的对称点横坐标是__（对称轴x=1时）。 5. 抛物线y=x²-2x-3与x轴交点为(-1,0)和(3,0)，对称轴是____。 6. y=3x²的最小值是____。 三、分层自主作业（分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 二次函数y=x²-2x+2的最小值是（　）A.1　B.2　C.-1　D.0 2. 二次函数y=-x²+2x+3的最大值及对应的x分别是（　）A.3,x=1　B.4,x=1　C.4,x=-1　D.3,x=-1 3. 抛物线y=2x²-4x+5的顶点坐标是____，当x=____时y有最____值____。 4. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，对称轴是x=1，且过点(3,0)，则它还经过点（　）A.(0,0)　B.(-1,0)　C.(2,0)　D.(4,0) 5. 抛物线y=x²-2x-3，当0≤x≤3时，y的取值范围是____。 6. 二次函数y=-x²+2x，当0≤x≤3时的最大值是____。 7. 抛物线y=x²+bx+c的对称轴是x=2，且过点(0,3)，求b、c。 8. 求y=2x²-4x+1在0≤x≤3上的最大值和最小值。 9. 已知二次函数y=x²-2x-3，当-2≤x≤0时，求y的最大值和最小值。 10. 抛物线y=ax²+bx+c经过(1,0)、(3,0)，且最大值为4，求解析式。 11. 二次函数y=-x²+2x+3，当x取何值时y>0？当x取何值时y随x增大而减小？ 12. 若二次函数y=x²+2mx+1的最小值是0，求m。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 已知二次函数y=x²-2mx+2m-1。(1)求证：不论m为何值，图象总经过一个定点；(2)求该函数的最小值（用含m的式子表示）。 解： 2. 已知二次函数y=x²-2x-3。(1)求顶点坐标和对称轴；(2)当x取何值时，y=0？y>0？y<0？(3)当0≤x≤4时，求y的取值范围。 解： 3. 某商品进价为每件40元。调查显示：售价为50元时每天可卖500件，售价每涨1元每天少卖10件。(1)设售价为x元，求每天利润y与x的关系式；(2)售价定为多少元时利润最大？ 解： 4. 已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（A在左），与y轴交于C。(1)求A、B、C坐标；(2)求△ABC的面积；(3)在对称轴上是否存在点P使PA+PC最小？求P坐标。 解： 5. 已知二次函数y=x²-(m²+4)x-2m²-2。(1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点；(2)设抛物线与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，求△ABC面积的最小值。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 已知二次函数y=x²-2x-8。(1)用配方法求顶点C的坐标；(2)求它与x轴的交点A、B坐标；(3)若抛物线上有一点P使△ABP的面积为15，求P的坐标。 解： 2. 探究：二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)。(1)求解析式；(2)求顶点D的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PB+PC最小？若存在求P。 解： 3. 某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月租金为3000元时可全部租出；每增加50元就少租出一辆。租出的车每辆每月需维护费150元。(1)当每辆车月租金定为3600元时能租出多少辆？(2)当每辆车月租金定为多少元时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？ 解： 四、自习后置复盘（2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用（可选·素养） 1. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随一边长x变化。(1)求S与x的关系式；(2)当x是多少时场地面积最大？最大面积是多少？ 解： 2. 某商店购进一种单价为40元的篮球。如果以单价50元出售，每月可卖出500个。据分析：售价每提高1元，销售量相应减少10个。(1)设售价提高x元，求每月利润y与x的关系式；(2)当售价定为多少元时月利润最大？ 解： 3. 某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg。今年该农场扩大了种植面积，并全部种植高产新品种南瓜。已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜总产量为60000kg。求南瓜亩产量的增长率。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第2课时）参考答案 一、自习前置速忆 对称轴x=-b/2a；顶点取最值，实际问题注意自变量范围。 二、基础随堂自检 1.x=1　2.5　3.1，1　4.0　5.x=1　6.0 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.A　2.B　3.(1,3)，1，小，3　4.B　4.-4≤y≤0　5.1　6.b=-4,c=3　7.最大5最小-1　8.最大5最小-3　9.y=-x²+4x-3　10.-1<x<3，x>1　11.m=±1 ★★ 能力提升 1.(1)(1,0)；(2)最小值-m²+2m-2　2.(1)(1,-4)，x=1；(2)x=-1或3；-1<x<3；x<-1或x>3；(3)-4≤y≤5　3.(1)y=-10x²+1400x-40000；(2)70元　4.(1)A(-1,0)B(3,0)C(0,3)；(2)6；(3)(1,2)　5.(1)Δ=(m²+4)²>0；(2)最小值8 ★★★ 拓展探究 1.(1)(1,-9)；(2)A(-2,0)B(4,0)；(3)P(1±√34,5)　2.(1)y=x²-2x-3；(2)(1,-4)；(3)(1,-2)　3.(1)88辆；(2)4050元，307050元 五、学以致用 1.(1)S=x(30-x)；(2)15m，225m²　2.(1)y=-10x²+400x+5000；(2)70元　3.50% 学科网（北京）股份有限公司 $