第二章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元卷，A、B卷分层设计，覆盖定义、解法、应用等核心知识，通过石油依存度、玩偶销售等真实情境考查数学建模与应用能力，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/32|一元二次方程定义、解法、根的判别式|基础巩固，如判断方程类型、直接开平方法应用| |填空|10/40|根与系数关系、换元法、几何问题|能力提升，如利用换元法解（x²+y²）方程| |解答|8/78|综合解法、几何动点、利润最大化|创新应用，如矩形动点中PQ长度计算、“拉布布”玩偶销售获利问题，体现数学建模与运算能力|

第二章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3；④x﹣1．一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 3．若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D．（x）2 5．方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等实根 B．有两个相等实根 C．无实根 D．以上三种情况都有可能 6．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2024年和2026年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%，设2024年到2026年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（　　） A．64.2%（1+x）2＝70.8% B．64.2%（1+2x）＝70.8% C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8% D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8% 7．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　） A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10 8．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若关于x的方程（m﹣2）x2+3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是__________． 10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是________． 11．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为___________． 12．已知a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根（a≠b），则a2+2a+b的值是_________． 13．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值是__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（16分）用规定的方法解下列方程： （1）4（2x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）； （2）﹣4x2+5x﹣1＝0（公式法）； （3）3x2+4x﹣7＝0（配方法）； （4）（x﹣2）2＝2x﹣4（因式分解法）． 15．（6分）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 16．（8分）已知关于x的方程x2+kx+2k﹣4＝0． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 17．（8分）阅读并解答问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0时，可以把x2﹣1看作一个整体， 设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2， 原方程化为y2﹣5y+6＝0，解方程，得y1＝2，y2＝3． 当y1＝2时，x2﹣1＝2，x2＝3，即； 当y2＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，即x＝±2． 综上所述，原方程的解为，，x3＝2，x4＝﹣2． 解答问题： （1）在由原方程得到方程y2﹣5y+6＝0的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了　转化　 的数学思想； （2）解方程：x4﹣3x2﹣10＝0． 18．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．一个直角三角形的两条直角边相差5，面积是7，则斜边的长是_______． 20．若W＝2x2﹣4xy+3y2﹣2y+4x+6（x、y为实数），则W的最小值为_______． 21．若实数a、b、c满足，b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0，则a的取值范围是_______． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为_______． 23．已知a，b是方程x2﹣1840x+2019＝0的两根，（a2﹣1841a+2020）（b2﹣1841b+2020）＝_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）设一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个根x1，x2，则方程可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． 利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程2x2﹣4kx+2k2+3k﹣3＝0有两个实数根x1，x2． （1）直接写出实数k的取值范围_______； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 25．（10分）对于任意一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（x+p）2＝q（p，q为常数）的形式，当q≥0时，两边开平方可求出原方程的解． 特例分析：以一元二次方程x2+4x﹣7＝0为例，设x＝y+m（m为常数），则原方程可化为（y+m）2+4（y+m）﹣7＝0．① 整理，得y2+2my+m2+4y+4m﹣7＝0，② 即y2+（2m+4）y+m2+4m﹣7＝0．③ 为使方程③不含y的一次项，令2m+4＝0，此时m＝﹣2，则m2+4m﹣7＝（﹣2）2+4×（﹣2）﹣7＝﹣11，方程③化为y2﹣11＝0， 解得，． 所以x1＝y1+m＝_______，x2＝y2+m＝_______． 类比推广：按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： （1）直接写出材料中“特例分析”部分方程的解：x1＝_______，x2＝_______； （2）按照材料中“特例分析”的方法，解一元二次方程2x2﹣8x+1＝0． 26．（12分）综合实践： 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为_____________元，此时平均每天可卖出盲盒____________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 参考答案 第二章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3；④x﹣1．一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①ax2+bx+c＝0当a＝0是一元一次方程，故本小题错误；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程；③x+3不是一元二次方程；④x﹣1不是一元二次方程， 故选：A． 2．关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 【解答】解：x2+5x＝0， x（x+5）＝0， x＝0或x+5＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣5． 故选：C． 3．若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：由条件可知1+2+m﹣1＝0， ∴m＝﹣2， 故选：A． 4．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D．（x）2 【解答】解：由原方程，得 x2x， x2x， （x）2， 故选：A． 5．方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等实根 B．有两个相等实根 C．无实根 D．以上三种情况都有可能 【解答】解：在方程x2﹣4x+9＝0中，Δ4×1×9＝﹣4＜0， ∴该方程没有实数根． 故选：C． 6．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2024年和2026年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%，设2024年到2026年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（　　） A．64.2%（1+x）2＝70.8% B．64.2%（1+2x）＝70.8% C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8% D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8% 【解答】解：设2024年到2026年中国石油对外依存度平均年增长率为x， 由题意，得64.2%（1+x）2＝70.8%． 故选：A． 7．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　） A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10 【解答】解：由题知， 因为m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根， 所以m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0， 则m2+2m＝5， 所以m2+4m+2n＝m2+2m+2（m+n）＝5﹣4＝1． 故选：A． 8．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 【解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1， ∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程， ∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2， ∴原式 ＝﹣1﹣2024 ＝﹣2025． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若关于x的方程（m﹣2）x2+3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是m≠2　 ． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+3x+1＝0是一元二次方程， ∴m﹣2≠0， 解得：m≠2． 故答案为：m≠2． 10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是　2　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个相等的实数根， ∴k﹣1≠0且Δ＝b2﹣4ac＝0， 解得k＝2． 故答案为：2． 11．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为 x1＝4，x2＝﹣1　 ． 【解答】解：由题意得：x2+3x+m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣4， 可得m＝﹣4， 原方程为x2﹣3x﹣4＝0， 分解因式得：（x﹣4）（x+1）＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝4，x2＝﹣1． 12．已知a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根（a≠b），则a2+2a+b的值是　2025　 ． 【解答】解：因为a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， 所以a2+a﹣2026＝0，a+b＝﹣1， 则a2+a＝2026， 所以a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2026+（﹣1）＝2025． 故答案为：2025． 13．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值是　4　 ． 【解答】解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12， （x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12＝0， （x2+y2+3）（x2+y2﹣4）＝0， x2+y2+3＝0，x2+y2﹣4＝0， x2+y2＝﹣3，x2+y2＝4， ∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数， ∴x2+y2＝4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（16分）用规定的方法解下列方程： （1）4（2x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）； （2）﹣4x2+5x﹣1＝0（公式法）； （3）3x2+4x﹣7＝0（配方法）； （4）（x﹣2）2＝2x﹣4（因式分解法）． 【解答】解：（1）∵4（2x﹣1）2﹣36＝0， ∴4（2x﹣1）2＝36， 则（2x﹣1）2＝9， ∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3， 解得x1＝2，x2＝﹣1； （2）∵a＝﹣4，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝52﹣4×（﹣4）×（﹣1）＝9＞0， 则x， 即x1＝﹣1，x2； （3）∵3x2+4x﹣7＝0， ∴3x2+4x＝7， 则x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2； （4）∵（x﹣2）2＝2x﹣4， ∴（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 15．（6分）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【解答】解：∵a是方程的解， ∴a2﹣a0， ∴a﹣a2 ＝{}a2 a2 a2 ＝a﹣a2， ∴代数式的值为． 16．（8分）已知关于x的方程x2+kx+2k﹣4＝0． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4（2k﹣4）＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0， ∴无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）解：， 解得：x1＝﹣2，x2＝2﹣k， 由条件可知2﹣k＞1． 解得：k＜1． 17．（8分）阅读并解答问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0时，可以把x2﹣1看作一个整体， 设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2， 原方程化为y2﹣5y+6＝0，解方程，得y1＝2，y2＝3． 当y1＝2时，x2﹣1＝2，x2＝3，即； 当y2＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，即x＝±2． 综上所述，原方程的解为，，x3＝2，x4＝﹣2． 解答问题： （1）在由原方程得到方程y2﹣5y+6＝0的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了　转化　 的数学思想； （2）解方程：x4﹣3x2﹣10＝0． 【解答】解：（1）由题意，根据在原方程得到方程y2﹣5y+6＝0的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化． （2）设x2＝y， ∴y2﹣3y﹣10＝0， ∴y1＝﹣2，y2＝5， 当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无解；当y2＝5时，x2＝5， ∴，． 18．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．一个直角三角形的两条直角边相差5，面积是7，则斜边的长是　　 ． 【解答】解：设较短的直角边长是x，较长的就是（x+5），则 x•（x+5）＝7， 整理得：x2+5x﹣14＝0， ∴（x+7）（x﹣2）＝0， ∴x＝2或x＝﹣7（舍去）． ∴5+2＝7， ∴由勾股定理，得，即斜边的长是． 故答案为：． 20．若W＝2x2﹣4xy+3y2﹣2y+4x+6（x、y为实数），则W的最小值为　3　 ． 【解答】解：由题意得，W＝（2x2﹣4xy+2y2）+y2﹣2y+4y+4x﹣4y+6 ＝2（x2﹣2xy+y2）+（y2+2y+1）+（4x﹣4y）+5 ＝2（x﹣y）2+（y+1）2+4（x﹣y）+2+3 ＝2[（x﹣y）2+2（x﹣y）+1]+（y+1）2+3 ＝2（x﹣y+1）2+（y+1）2+3， ∵（x﹣y+1）2≥0，（y+1）2≥0， ∴W＝2（x﹣y+1）2+（y+1）2+3≥3，即W≥3， ∴W的最小值为3； 故答案为：3． 21．若实数a、b、c满足，b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0，则a的取值范围是 a　 ． 【解答】解：∵b+c＝1，bc＝a﹣1， ∴把b、c为方程x2﹣x+（a﹣1）＝0的两实数解， ∴Δ＝1﹣4（a﹣1）≥0， ∴a． 故答案为a． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 　1　 ． 【解答】解：设方程的两根分别为t，t+2， 根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2， 把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2， 整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去）， 所以m的值为1． 法二：∵x2﹣4mx+3m2＝（x﹣m）（x﹣3m）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的两根分别为x1＝m，x2＝3m，且x2＞x1， ∴x2﹣x1＝2m＝2， ∴m＝1， 故答案为1． 23．已知a，b是方程x2﹣1840x+2019＝0的两根，（a2﹣1841a+2020）（b2﹣1841b+2020）＝　180　 ． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣1840x+2019＝0的两根， ∴a2﹣1840a+2019＝0，b2﹣1840b+2019＝0， ∴a2＝1840a﹣2019，b2＝1840b﹣2019， ∴（a2﹣1841a+2020）（b2﹣1841n+2020）＝（1840a﹣2019﹣1841a+2020）（1840b﹣2019﹣1841b+2020） ＝（﹣a+1）（﹣b+1） ＝ab﹣（a+b）+1， ∵a，b是方程x2﹣1840x+2019＝0的两根， ∴a+b＝1840，ab＝2019， ∴原式＝2019﹣1840+1＝180． 故答案为：180． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）设一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个根x1，x2，则方程可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． 利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程2x2﹣4kx+2k2+3k﹣3＝0有两个实数根x1，x2． （1）直接写出实数k的取值范围k≤1　 ； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）2x2﹣4kx+2k2+3k﹣3＝0， ∵a＝2，b＝﹣4k，c＝2k2+3k﹣3， ∴Δ＝（﹣4k）2﹣4×2×（2k2+3k﹣3） ＝16k2﹣16k2﹣24k+24 ＝﹣24k+24， ∵该方程有两个实数根， ∴Δ≥0，即﹣24k+24≥0， 解得k≤1， 故答案为：k≤1； （2）∵， ∵，， ∴， 解得或k＝3（不满足k≤1，舍去）， 故k的值为． 25．（10分）对于任意一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（x+p）2＝q（p，q为常数）的形式，当q≥0时，两边开平方可求出原方程的解． 特例分析：以一元二次方程x2+4x﹣7＝0为例，设x＝y+m（m为常数），则原方程可化为（y+m）2+4（y+m）﹣7＝0．① 整理，得y2+2my+m2+4y+4m﹣7＝0，② 即y2+（2m+4）y+m2+4m﹣7＝0．③ 为使方程③不含y的一次项，令2m+4＝0，此时m＝﹣2，则m2+4m﹣7＝（﹣2）2+4×（﹣2）﹣7＝﹣11，方程③化为y2﹣11＝0， 解得，． 所以x1＝y1+m＝　2　 ，x2＝y2+m＝　2　 ． 类比推广：按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： （1）直接写出材料中“特例分析”部分方程的解：x1＝　2　 ，x2＝　2　 ； （2）按照材料中“特例分析”的方法，解一元二次方程2x2﹣8x+1＝0． 【解答】解：（1）2，2； （2）2x2﹣8x+1＝0， 设x＝y+m， 原方程化为2（y+m）2﹣8（y+m）+1＝0， 整理，得2y2+（4m﹣8）y+2m2﹣8m+1＝0， 令4m﹣8＝0， 解得m＝2， 当m＝2时， 2m2﹣8m+1＝8﹣16+1＝﹣7， ∴2y2﹣7＝0， 解得， ∴． 26．（12分）综合实践： 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为　（20+x）　 元，此时平均每天可卖出盲盒　　 个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【解答】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为（60+x﹣40）＝（20+x）元，此时平均每天可卖出盲盒个， 故答案为：（20+x），； （2）根据题意列一元二次方程得，． 解得，x1＝14，x2＝6． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以x1＝14不符合题意，舍去． 所以60+6＝66（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）不能． 理由：根据题意列一元二次方程． 整理得，x2﹣20x+120＝0． Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×120＝﹣80＜0． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $