第二章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分

A卷（共100分）

第Ⅰ卷（选择题，共32分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

1．下列关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3；④x﹣1．一元二次方程的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　）

A．x＝0      B．x＝﹣5       C．x1＝0，x2＝﹣5      D．x1＝0，x2＝5

3．若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根为1，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

4．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）

A．（x）2      B．（x）2   C．（x）2      D．（x）2

5．方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等实根   B．有两个相等实根      C．无实根       D．以上三种情况都有可能

6．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2024年和2026年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%，设2024年到2026年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（　　）

A．64.2%（1+x）2＝70.8%               B．64.2%（1+2x）＝70.8% 

C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8%       D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8%

7．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　）

A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10

8．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　）

A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025

第Ⅱ卷（非选择题，共68分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9．若关于x的方程（m﹣2）x2+3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是__________．

10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是________．

11．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为___________．

12．已知a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根（a≠b），则a2+2a+b的值是_________．

13．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值是__________．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

14．（16分）用规定的方法解下列方程：

（1）4（2x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）；       （2）﹣4x2+5x﹣1＝0（公式法）；

（3）3x2+4x﹣7＝0（配方法）；                   （4）（x﹣2）2＝2x﹣4（因式分解法）．

15．（6分）先化简，再求值：，其中a是方程的解．

16．（8分）已知关于x的方程x2+kx+2k﹣4＝0．

（1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根；

（2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围．

17．（8分）阅读并解答问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0时，可以把x2﹣1看作一个整体，

设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，

原方程化为y2﹣5y+6＝0，解方程，得y1＝2，y2＝3．

当y1＝2时，x2﹣1＝2，x2＝3，即；

当y2＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，即x＝±2．

综上所述，原方程的解为，，x3＝2，x4＝﹣2．

解答问题：

（1）在由原方程得到方程y2﹣5y+6＝0的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了　转化　 的数学思想；

（2）解方程：x4﹣3x2﹣10＝0．

18．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）．

（1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？

（2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？

（3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，

请说明理由．

 

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

19．一个直角三角形的两条直角边相差5，面积是7，则斜边的长是_______．

20．若W＝2x2﹣4xy+3y2﹣2y+4x+6（x、y为实数），则W的最小值为_______．

21．若实数a、b、c满足，b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0，则a的取值范围是_______．

22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为_______．

23．已知a，b是方程x2﹣1840x+2019＝0的两根，（a2﹣1841a+2020）（b2﹣1841b+2020）＝_______．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

24．（8分）设一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个根x1，x2，则方程可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，．

利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程2x2﹣4kx+2k2+3k﹣3＝0有两个实数根x1，x2．

（1）直接写出实数k的取值范围_______；

（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．

25．（10分）对于任意一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（x+p）2＝q（p，q为常数）的形式，当q≥0时，两边开平方可求出原方程的解．

特例分析：以一元二次方程x2+4x﹣7＝0为例，设x＝y+m（m为常数），则原方程可化为（y+m）2+4（y+m）﹣7＝0．①

整理，得y2+2my+m2+4y+4m﹣7＝0，②

即y2+（2m+4）y+m2+4m﹣7＝0．③

为使方程③不含y的一次项，令2m+4＝0，此时m＝﹣2，则m2+4m﹣7＝（﹣2）2+4×（﹣2）﹣7＝﹣