第二章 一元二次方程 单元练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第二章一元二次方程单元卷，全面覆盖方程定义、解法、根的判别式与关系、实际应用等核心知识，通过基础巩固、能力提升与创新应用梯度设计，适配单元复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义（1题）、解法（2-3题）、根与系数关系（5题）、数学文化（10题赵爽几何解法）|结合古代数学文化，渗透几何直观素养| |填空题|5/15|因式分解法（11题）、换元法（13题）、面积问题（15题）|注重解题技巧与实际情境转化| |解答题|8/75|利润问题（18题）、新定义“理想方程”（20题）、动点几何（22题）、函数与方程综合（23题）|设置分层探究，强化模型意识与创新思维，贴合中考命题趋势|

· 第二章 一元二次方程 单元练习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A．x+2y=1 B．2x(x-1)=2x²+3 C．x²-2=0 D． 2．一元二次方程x²-4x+3=0的根是（ ） A．x₁=1，x₂=3 B．x₁=-1，x₂=-3 C．x₁=1，x₂=-3 D．x₁=-1，x₂=3 3．用配方法解方程x²-6x-5=0时，配方结果正确的是（ ） A．(x-3)²=14 B．(x-3)²=4 C．(x+3)²=14 D．(x+3)²=4 4．若关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞0 B．k≥0且k≠1 C．k＞0且k≠1 D．k≠1 5．已知x₁，x₂是方程x²-3x-2=0的两个实数根，则x₁+x₂的值为（ ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 6．某商场销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若设每件商品降价x元，商场平均每天盈利y元，则y与x之间的函数关系式是（ ） A．y=(40-x)(20+2x) B．y=(40+x)(20-2x) C．y=(40-x)(20-2x) D．y=(40+x)(20+2x) 7．关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个实数根分别为x₁=1，x₂=2，则m，n的值分别是（ ） A．m=-3，n=2 B．m=3，n=2 C．m=-3，n=-2 D．m=3，n=-2 8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x²-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 9．定义运算：a*b=a(1-b)，若a，b是方程x²-x+m=0(m＜1/4)的两根，则b*b-a*a的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．方程x(x-2)=0的解是__________． 12．若关于x的一元二次方程x²+mx-6=0的一个根为2，则m的值为__________． 13．已知实数a，b满足(a²+b²)(a²+b²-1)-2=0，则a²+b²的值为__________． 14．对于任意实数k，关于x的方程x²-(k+3)x+2k+2=0总有一个固定的实数根，这个根是__________． 15．如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为_________． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16．解下列方程： (1) x²-4x+3=0； (2) 2x²-5x-3=0． 17．已知关于x的一元二次方程x²-(m+2)x+2m=0． (1) 求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； (2) 若该方程的一个根为1，求m的值及另一个根． 18．某商店购进一批单价为20元的商品，如果以单价30元销售，那么每天可售出100件。根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少2件。 (1) 设销售单价提高了x元，每天的销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式； (2) 当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 19．已知关于x的方程（为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是，求的值． 20．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 21．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 22．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 23．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标． 如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，____． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C B A A B A A 11．， 12．1 13．2 14． 16．(1) 解：x²-4x+3=0， 因式分解得：(x-1)(x-3)=0， ∴x-1=0或x-3=0， 解得：x₁=1，x₂=3． (2) 解：2x²-5x-3=0， 因式分解得：(2x+1)(x-3)=0， ∴2x+1=0或x-3=0， 解得：． 17．(1) 证明：∵a=1，b=-(m+2)，c=2m， ∴Δ=b²-4ac=[-(m+2)]²-4×1×2m =m²+4m+4-8m =m²-4m+4 =(m-2)²． ∵无论m取何值，(m-2)²≥0，即Δ≥0， ∴无论m取何值，该方程总有两个实数根． (2) 解：将x=1代入方程x²-(m+2)x+2m=0，得： 1-(m+2)+2m=0， 1-m-2+2m=0， m-1=0， 解得m=1． 当m=1时，原方程为x²-3x+2=0， 因式分解得(x-1)(x-2)=0， 解得x₁=1，x₂=2． ∴m的值为1，另一个根为2． 18．(1) 解：根据题意，销售单价提高了x元，则销售单价为(30+x)元，每件商品的利润为(30+x-20)=(10+x)元． 销售量相应减少2x件，则每天的销售量为(100-2x)件． ∴y与x之间的函数关系式为： y=(10+x)(100-2x) =-2x²+80x+1000． 即y=-2x²+80x+1000． (2) 解：由(1)可知 y=-2x²+80x+1000， 配方得：y=-2(x²-40x)+1000 =-2(x-20)²+800+1000 =-2(x-20)²+1800． ∵a=-2＜0， ∴当x=20时，y有最大值，最大值为1800． 此时销售单价为30+20=50（元）． 答：当销售单价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键． （1）根据，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解； （2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解． 【详解】（1）证明：， 不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：方程有一个根是， 把代入方程， 得， 整理得 ． 20．(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 21．(1)这个茶园的长为，宽为 (2)当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 （2）解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 22．(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 23．（1）；4；2；（2）与函数 图像没有交点；（3） 【分析】(1)根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． (2)仿照(1)，根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． (3)仿照(2)，根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或 ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形；理由如下： 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图像无交点； 的图像，如图中所示： ∵与函数图像没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图像没有交点； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图像有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个解， ∴， 解得：，（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图像的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $