第二章 一元二次方程 单元练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ）

A．x+2y=1        B．2x(x-1)=2x²+3        C．x²-2=0        D．

2．一元二次方程x²-4x+3=0的根是（    ）

A．x₁=1，x₂=3                 B．x₁=-1，x₂=-3

C．x₁=1，x₂=-3                D．x₁=-1，x₂=3

3．用配方法解方程x²-6x-5=0时，配方结果正确的是（    ）

A．(x-3)²=14        B．(x-3)²=4        C．(x+3)²=14        D．(x+3)²=4

4．若关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ）

A．k＞0        B．k≥0且k≠1        C．k＞0且k≠1        D．k≠1

5．已知x₁，x₂是方程x²-3x-2=0的两个实数根，则x₁+x₂的值为（    ）

A．-3                B．3                C．-2                D．2

6．某商场销售一种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若设每件商品降价x元，商场平均每天盈利y元，则y与x之间的函数关系式是（    ）

A．y=(40-x)(20+2x)                  B．y=(40+x)(20-2x)

C．y=(40-x)(20-2x)                  D．y=(40+x)(20+2x)

7．关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个实数根分别为x₁=1，x₂=2，则m，n的值分别是（    ）

A．m=-3，n=2        B．m=3，n=2        C．m=-3，n=-2        D．m=3，n=-2

8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x²-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（    ）

A．14                B．12                C．12或14                D．以上都不对

9．定义运算：a*b=a(1-b)，若a，b是方程x²-x+m=0(m＜1/4)的两根，则b*b-a*a的值为（    ）

A．0                B．1                C．2                D．与m有关

10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ）

A．4 B．5 C．6 D．7

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．方程x(x-2)=0的解是__________．

12．若关于x的一元二次方程x²+mx-6=0的一个根为2，则m的值为__________．

13．已知实数a，b满足(a²+b²)(a²+b²-1)-2=0，则a²+b²的值为__________．

14．对于任意实数k，关于x的方程x²-(k+3)x+2k+2=0总有一个固定的实数根，这个根是__________．

15．如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为_________．

三．解答题（本大题共8小题，共75分）

16．解下列方程：

(1) x²-4x+3=0；

(2) 2x²-5x-3=0．

17．已知关于x的一元二次方程x²-(m+2)x+2m=0．

(1) 求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；

(2) 若该方程的一个根为1，求m的值及另一个根．

18．某商店购进一批单价为20元的商品，如果以单价30元销售，那么每天可售出100件。根据销售

经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少2件。

(1) 设销售单价提高了x元，每天的销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式；

(2) 当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

19．已知关于x的方程（为常数）．

(1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根是，求的值．

20．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．

(1)关于的方程是理想方程，求的值；

(2)当，满足什么条件时，方程是理想方程；

(3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围．

21．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．

(1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽．

(2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？

22．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为．

(1)       ，        （用含t的代数式表示）

(2)则当t为何值时，的面积为．

23．综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题：

设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数 的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标．

如图2，反比例函数（）的图像与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，____．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；

【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______．

【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数（）的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值．