2026-2027学年沪教版（五四制）九年级第一学期数学第一次月考模拟卷（上海专用）

**基本信息** 结合烽火台箭矢轨迹、商场隔热层等真实情境，通过函数应用、几何综合题考查二次函数、相似三角形等核心知识，体现数学建模与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题24分|二次函数定义、相似判定|基础概念辨析，如第4题抛物线翻折与直线交点| |填空题|12题48分|比例线段、向量表示|梯度设计，如第16题平行四边形剪菱形相似问题| |解答题|6题78分|函数应用、几何证明|真实情境探究，如21题烽火台箭矢轨迹分析；综合推理，如23题菱形中相似证明|

2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟卷 (上海专用)（原卷版） (建议用时：100分钟，满分150分) 学生注意： 1.本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题. 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤. 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一 个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是() A.y=x-1 B.y=2 D.y=x(x-1) x 2.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断DE∥BC的是() A.AD AE DE AD BD CE C.he D.BD、4E BC AB AB AC P证子：②9g-1 3.如图，在△MBC,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论：ODE-{,G S.con2:4DOE AB OB ④、E=1 心3，其中正确的个数有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，将抛物线y=x2-2x-3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C,当直线 y=x+b(b为常数)与图形C恰有三个公共点时，则b的值是() 试卷第1页（共6页） B A.1或-3 B.1或13 C.1或3 D.3政号 5.定义[a,b,c为函数y=x2+bx+c的特征数，下面给出特征数为2m,1-m,-1-m]的函数的一些结论：(1) 18 当m=-3时，函数图像的顶点坐标是 3’3 :(2)当m>0时，函数图像藏x轴所得的线段长度大于多：(3) 1 当m<0时，函数在x>二时，y随x的增大而减小：(4)当m≠0时，无论m取何值函数图像经过定点，其 4 中正确的结论有()个. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分) 6若名子则2 .b5 b 7.己知二次函数的解析式为y=-x2-1,在直线x=a的左侧，函数值y随着自变量x的增大而增大，那么 a的取值范围是 8.二次函数y=x2+2x+1与x轴交于(-a,0),则a的值为 9.若抛物线y=x2-4x+k与x轴无交点，则k的值是 ,(写出一个即可) 10.如图，在△MBC中，点D、E分别在边AB、4C上，且D=1,DE∥BC.设AD=a,EC=6, BD 那么用向量a、b表示向量BC为· D 11.若A(4y),B(2,y2),C(1,⅓)为二次函数y=x2+k的图像上的三点，则y,y2,的大小关系是 (用“<”连接) 13.已知线段AB=10cm,P、Q是线段AB的黄金分割点，则P2= 14.当m=时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线y=x2+2x+1+m(m是常数)经过一、 二、三象限 试卷第2页（共6页） 15.如图，在△ABC中，AB=AC=V5,BC=4,D为边AB上一动点（不与点B重合），以CD为边作正 方形CDEF,连接BE,则当△BDE的面积最大时，AD的长为 F A 16.将一张平行四边形ABCD(AD<AB<2AD)纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四 边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形.若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是 17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,cosB= 点D、E分别在边AB、BC上，∠CDE=∠EDB=∠B 那么AD的长为 (用含a的代数式表示) E B 三、解答题 18.已知a:b:c=1:3:2,且a+2b+3c=39,求a+b-c的值. 19.在直角坐标系中，设函数y=ar2+bx-a(a,b是常数，a≠0) (1)已知函数y的图象经过点(1,2)和(-2,1)，求函数y的表达式 (2)若函数图象的顶点在函数y2=2ax的图象上，求证：b=2a. 试卷第3页（共6页） 20.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(0,2),C(-3,4) (1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△4B,C,画出△4B,C,并写出点A的坐标： (2)以点O为位似中心，将△4BC放大得到△A,B,C2,相似比为2，在网格图中画出△A,B,C2. 21.【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方 与上级报警.古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火， 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形.这只箭 飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d(单位：).距地面的竖直高度为 h(单位：m),获得数据如表： d/m 0 10 20 30 A0 50 60 70 h/m 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究.下面是小勇的探究过程， 请补充完整； (1)k的值为 试卷第4页（共6页） (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结. h个 30 20 10 20 40 公 80 100言 (3)请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难.于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的 箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台，小勇在研究这个问题的过程中还发现.如 果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如 果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多 少？ 22.某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本%（万元）与隔热层厚度 x(厘米)满足关系式W=20x.加建后该商场预计每年的能源消耗费用w,(万元)与隔热层厚度x(厘 米)满足关系式W=-?x-3x+360≤x≤8).如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用 5 之和为y(万元)， (1)求y与x的关系式： (2)已知该商场未来5年的相关计划费用p(万元)满足p=y+x2-x,那么当192≤p≤208时，求隔热层 厚度x(厘米)的取值范围. 试卷第5页（共6页） 23.己知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，连结AP、CP并延长，分别与边CD、AD 交于点E、F, F (I)求证：AE=CF; (2)如果∠APF=2∠ABD,求证：BP.BD=2AB2. 24.如图，己知AD∥BE∥CF,它们依次交直线I、12、I于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P, 4与相交于DE的中点G,若4=2 13 D八 H F (I)如果EF=10,求DE、DF的长： (2)在(1)的条件下，如果QG=3,求PH的长。 试卷第6页（共6页） 2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 5．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．若，则____________． 7．已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 8．二次函数与轴交于，则的值为______． 9．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 10．如图，在中，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 11．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 13．已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 14．当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 15．如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 16．将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 17．如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为_______________.（用含的代数式表示）    三、解答题 18．已知，且，求的值． 19．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 20．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 21．【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 22．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 23．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 24．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟 卷 (上海专用)（原卷版) （建议用时：100分钟，满分150分) 学生注意： 1.本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在 同一个平面内研究问题。 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、 本试卷上答题一律无效， 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的 相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的 四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填 涂在答题纸的相应位置上.】 1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是() A.y=x-1 B.y=2 x c 2.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断DE∥BC 的是() A品益 DE AD B.BC AB c.能 3.如图，在aMBC,中线BE,CD相交于点O,连接DB,下列结论：OD5= BC2 A.1个 B.2个 C.3个 4.如图，将抛物线y=x2-2x-3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持 不变，得到图形C,当直线y=x+b(b为常数)与图形C恰有三个公共点时， 则b的值是() A.-1或-3 B.1或13 C.1或3 5.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为 [2m,1-m,-1-m]的函数的一些结论：(1)当m=-3时，函数图像的顶点坐标 是[G》(2)当网>0时，函数图像截x轴所得的线段长度大于：3)当m<0 时，函数在x>4时，y随x的增大而减小：(4)当m≠0时，无论m取何值函 数图像经过定点，其中正确的结论有()个。 试卷第1页 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6.若-，则4-2b a3 b 7.己知二次函数的解析式为y=-x2-1,在直线x=a的左侧，函数值y随着 自变量x的增大而增大，那么a的取值范围是 8.二次函数y=x2+2x+1与x轴交于(-a,0),则a的值为 9.若抛物线y=x2-4x+k与x轴无交点，则k的值是 .(写出一个即 可 10.如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且D=1,DE∥BC,设 BD AD=a,EC=b,那么用向量a、b表示向量BC为 D ● 11.若A(4,乃)，B(2,2),C(1,3)为二次函数y=x2+k的图像上的三点， 则，2，的大小关系是·（用“<”连接） 13.己知线段AB=10cm,P、2是线段AB的黄金分割点，则P9= 14.当m= 时（只要填一个符合条件的值即可），抛物线 y=x2+2x+1+m(是常数)经过一、二、三象限. 15.如图，在△ABC中，AB=AC=V5,BC=4,D为边AB上一动点（不与 点B重合)，以CD为边作正方形CDEF,连接BE,则当aBDE的面积最大时， AD的长为 R 16.将一张平行四边形ABCD(AD<AB<2AD)纸片，以它的一边为边长剪去 一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形.若剪 去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD相似，则平行四边形 ABCD的相邻两边AD与AB的比值是 A D 17.如图，R1△ABC中，∠4CB=90°，BC=a,cosB=点D、E分别在边 4 AB、BC上，∠CDE=∠EDB=∠B,那么AD的长为 (用含 a的代数式表示) 三、解答题 18.已知a:b:c=1:3:2,且a+2b+3c=39,求a+b-c的值 (共3页) 19.在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx-a(a,b是常数，a≠0). (1)已知函数y的图象经过点(1,2)和(-2，)，求函数片的表达式. (2)若函数y图象的顶点在函数y2=2ax的图象上，求证：b=2a 20.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A(-2,1),B(0,2),C(-3,4). 、 A 0 (1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△4B,G,画出△4B,C,并写出点A的 坐标； (2)以点O为位似中心，将△4B,C放大得到△4，B,C2,相似比为2，在网格图 中画出△4，B2C2 21.【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火 试卷第2 以可见的烟气和光亮向各方与上级报警.古时期人们用火种点燃箭头，然后准 确地射向烽火台以点燃烟或点火 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边 长为4米的正方形.这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭 飞行的水平距离为d(单位：m).距地面的竖直高度为h(单位：m),获得数 据如表： d/m 0 10 20 30 40 60 70 h/m 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研 究.下面是小勇的探究过程，请补充完整： (1)k的值为 (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线 连结。 h个 30 10 20 40 60 80 100 (3)请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难.于是，利用烽火台的上空的 可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺 利点燃烽火台.小勇在研究这个问题的过程中还发现.如果射箭的初始角度和 力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨 迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离 与向前移动的最大距离分别为多少？ 22.某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成 本%（万元）与隔热层厚度x(厘米)满足关系式w=20x.加建后该商场预 计每年的能源消耗费用%，（万元）与隔热层厚度x(厘米)满足关系式 %=写-3x+360≤x≤8.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的 能源消耗费用之和为y(万元). (1)求y与x的关系式： (2)已知该商场未来5年的相关计划费用P(万元)满足p=y+x2-x,那么当 192≤p≤208时，求隔热层厚度x(厘米)的取值范围 7(共3页) 23.已知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，连结AP、CP 并延长，分别与边CD、AD交于点E、F, (1)求证：AE=CF; (2)如果∠APF=2∠ABD,求证：BP.BD=2AB2. 24.如图，己知AD∥BE∥CF,它们依次交直线、I2、4于点A、B、C和 点D、B、F和点Q、小、P,上与相交于DE的中点G,若=2 AC7 1112 (1)如果EF=10,求DE、DF的长： (2)在(1)的条件下，如果2G=3,求PH的长. 试卷第3页（共3页） 2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 5．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．若，则____________． 7．已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 8．二次函数与轴交于，则的值为______． 9．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 10．如图，在中，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 11．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 13．已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 14．当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 15．如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 16．将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 17．如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为_______________.（用含的代数式表示）    三、解答题 18．已知，且，求的值． 19．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 20．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 21．【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 22．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 23．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 24．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟卷 (上海专用)（解析版） (建议用时：100分钟，满分150分) 学生注意： 1.本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题。 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤， 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一 个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是() 2 A.y=x-1 B.y= C.Y= D.y=x(x-1) 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如y=aπ2+bx+c (a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次 项系数、一次项系数和常数项.根据二次函数的定义逐项分析判断即可， 【详解】解：A.y=x-1,不是二次函数，故选项A不符合题意； B.y=,不是二次函数，故选项B不符合题意： Cy三，不是次函数，故选项C不符合题意 D.y=x(x-1)=x2-x,是二次函数，故选项D符合题意： 故选：D 2.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断DE∥BC的是() A.ADAE DE AD DE AE BD AE B. C. D BD CE BC AB BC AC AB AC 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平行判断成比例的线段 答案第1页（共24页） 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系.根据平行线分 线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三 边.选项A中比例关系符合逆定理条件，能推出DE∥BC；其他选项的比例关系不能保证平行. 【详解1解：选项A中，品瓷 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则DE∥BC, 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出DE∥BC,可排除， 故选：A 3.如图，在aABC,中线BE,CD相交于点o,连接DE,下列结论：ODE=: B元=2：②。=1 S.COB 2:③00g AB OB P3,其中正确的个数有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线等分三角形为面 积.BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC, △ODE∽△OCB,根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断， 【详解】解：，BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点， .DE是△ABC的中位线， DE∥BC,DE=)BC,即DE=, 2 BC2,①正确： ,DE∥BC ∴.AODEAOCB, DE 02 ②错误： SACOB BC 4 .DE∥BC,AODEAOCB, AD DEOE ③正确； AB BC OB 答案第2页（共24页） ,AODE∽aOCB, OD DE 1 CO-BC-2' S0E=1 ·ScDE 3 又：BE是△ABC的中线， S-, S.co 2' 二6@销误， 故①③正确： 故选：B. 4.如图，将抛物线y=x2-2x-3在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C,当直线 y=x+b(b为常数)与图形C恰有三个公共点时，则b的值是() B A.1或-3 B.1或13 C.1或3 D.3或- 4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、其他问题（仁次函数综合） 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线y=x+b过点A时，直线y=x+b(b为常 数)与图形C恰有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行 求解即可. 【详解】解：令y=x2-2x-3=0, 解得：x=3,2=-1, ∴A(-1,0),B(3,0), 翻折， ∴.翻折部分的解析式为：y=-x2+2x+3(-1≤0≤3)： 当直线y=x+b过点A时，直线y=x+b(b为常数)与图形C恰有三个公共点， 答案第3页（共24页） 把A(-1,0)代入y=x+b,得：b=1: 当直线y=x+b与y=-x2+2x+3(-1≤0≤3)只有一个交点时，满足题意， 令x+b=-x2+2x+3, 整理，得：x2-x+b-3=0, 则：△=1-4(b-3)=0, 解得：b=13 综上：b=1或b=13 故选：B. 5.定义[a,b,c为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m,1-m,-1-m的函数的一些结论：(1) 18 当m=-3时，函数图像的顶点坐标是 3’3 :(2)当m>0时，函数图像截x轴所得的线段长度大于3 当m<0时，函数在x>二时，y随x的增大而减小；(4)当m≠0时，无论m取何值函数图像经过定点，其 中正确的结论有()个. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】y=x+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质的综合应用等知识点，①依据题意，把m=-3代入 [2m,l-m,-1-m],求得[a,b,c,求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可：②依据题意，令函数值为0， 求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性 质解答即可；④依据题意，根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答，解题关键是掌握 二次函数图象与系数的关系， 【详解】①当m=-3时，特征数为[6,4,2]， b 414ac-b24×(-6)×2-428 2a-2x(6)3 4a 4×(-6)3 18 ∴函数图象的顶点坐标是： 3'3 故①正确： ②当m>0时，令y=0,有2mx2+(1-m)x+(-1-m)=0, 解得x=（m-)±3m+1) Am 答案第4页（共24页） _11 x=山为=-22m 3+1>3 k-=2+2m>2 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确： ③当m<0时，y=2mx2+(1-m)x+(-1-m)是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=m-, Am 在对 称轴的右边y随x的增大而减小， :当m<0时，x=m-=11、1 右边， 4m44m>4即对称轴在直线x=4 “函数在x=!右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误： 4 ④，y=2mx2+(1-m)x+(-1-m)=2mx2-mx-m+x-1=m2x2-x-1+x-1, 令2x2-x-1=0, 解得x=1或x三》 2 将x=1代入y=m(2x2-x-1+x-1得y=0, 将x=号代入y=m2-x-小+x-1得y= 21 加0时，函数图黎经过定点(0)（分引 故④正确： ∴.正确的有：①②④共3个， 故选：D 二、填空题 a3'则Q26 6.若b=5. b 【路1-号 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】根据已知比例关系得到α与b的关系式.代入所求代数式化简即可得到结果， .b5 【详解】解：：2=。 a 3' 3 .a=-b, ∴.a-2b5 3b-26-b7 5 b b b 5 7.已知二次函数的解析式为y=-x2-1,在直线x=a的左侧，函数值y随着自变量x的增大而增大，那么 答案第5页（共24页） a的取值范围是 【答案】a≤0 【难度】0.94 【知识点】y=ax2+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握y=x2+k的图像和性质是解题的关键. 【详解】解：：二次函数y=-x2-1的对称轴为y轴， ∴，开口向下，当x≤0时，函数值y随着自变量x的增大而增大， 又：直线x=a的左侧，函数值y随着自变量x的增大而增大， a≤0， 故答案为：a≤0. 8.二次函数y=x2+2x+1与x轴交于(-a,0),则a的值为 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、因式分解法解一元二次方程、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】二次函数图象与x轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于a的 一元二次方程即可得到a的值. 【详解】解：，二次函数y=x2+2x+1与x轴交于点(-a,0), .将x=-a,y=0代入y=x2+2x+1得(-a)+2×(-a)+1=0, 整理得a2-2a+1=0, ∴.(a-1)2=0, 解得a=a2=1, .a的值为1. 9.若抛物线y=x2-4x+k与x轴无交点，则k的值是 (写出一个即可) 【答案】5（答案不唯一） 【难度】0.9 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】由抛物线y=x2-4x+k与x轴无交点，可知方程x2-4x+k=0无实数根，结合一元二次方程根的 判别式，即可求解。 【详解】解：，抛物线y=x2-4x+k与x轴无交点， 答案第6页（共24页） ∴.方程x2-4x+k=0无实数根， ∴△=(-4)2-4×1×k<0, 解得，k>4, 实数k的值可以是5（答案不唯一） 10.如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且D=l,DB∥BC,设D=a,EC=6, BD 那么用向量a、b表示向量BC为· D B 【答案】2b-2a/-2a+2b 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 AD AE DE I 【分析】本题主要考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质得 AB AC-BC-2 再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：“D。 =1 BD 4D 1 AB 2 :DE∥BC, .△ADE∽△ABC, AD=AE_DE1 AB AC BC2 AE=EC=b .DE=AE-AD=b-ā， ∴.BC=2DE=2b-2a, 故答案为：2b-2d 11.若A(-4,y),B(2,y2),C(1,)为二次函数y=x2+k的图像上的三点，则y,y2,y3的大小关系是 （用“<”连接) 【答案】y3<2< 【难度】0.65 答案第7页（共24页） 【知识点】y=ax+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为y轴，再 根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用. 【详解】解：由y=x2+k,得出开口向上，和对称轴为y轴， ∴.A(-4,y)与点(4，y)关于x=0即y轴对称， ,当x>0时，y随x的增大而增大， 1<2<4, ..y3<y<y, 故答案为：y3<y2<y 12.点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP且AB=1OCm,那么BP= cm. 【答案】15-5√5/-5√5+15 【难度】0.79 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义求出AP的长度，再利用线段的和差关系计算BP即可， 【详解】解：·点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP, AP5-1 AB 2 AB=10cm :A=10x5-l=5N5-5(cm）, 2 ∴BP=AB-AP=10-(55-5)=15-55(cm) 13.已知线段AB=10cm,P、Q是线段AB的黄金分割点，则P9= 【答案】(10W5-20)cm 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两 条线段和原线段之间的关系是解题的关键 【详解】根据黄金分制点的概念，可知40=Br-5,1x10=5y5-5)m, 2 则P9=A0+BPp-AB=(55-5×2-10=105-20)cm, 答案第8页（共24页） 故答案为：（105-20)cm B 14.当m= 时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线y=x2+2x+1+m(m是常数)经过一、 二、三象限， 【答案】-1（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】y=ax+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数图象经过一、二、三象限，得到图象与坐标轴有两个 交点，且与y轴的交点的纵坐标为非负数，确定m的取值范围即可. 【详解】解：：y=x2+2x+1+m, 之能物线的开口向上，对称销为直线x=2名=，当x=0时，y=1+m, ∴.当抛物线y=x2+2x+1+m(m是常数)经过一、二、三象限时，图象与坐标轴有两个交点，且与y轴 的交点的纵坐标为非负数， 4-4(1+m)>0 ,解得：-1≤m<0, 1+m≥0 ∴.当m=-1时，满足题意： 故答案为：-1（答案不唯一） 15.如图，在△ABC中，AB=AC=√5，BC=4,D为边AB上一动点（不与点B重合），以CD为边作正 方形CDEF,连接BE,则当△BDE的面积最大时，AD的长为 E B 【答案】55 55 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三线合一、y=ax+bx+c的最值、根据正方形的性质求面积 【分析】作EH⊥AB于H,CG⊥AB于G,作AM⊥BC于M,由等腰三角形三线合一可得 答案第9页（共24页） BM=CM=BC=2,再证.CBGv./BM,计算出cG- 45 .GB=8V5 2,设BD=x,通过证明 5 4DG2,CGAS,可得H=DG-85-,从面用合：的=次西数表示出Sm,化为顶方式即可求 解. 【详解】解：作EH⊥AB于H,CG⊥AB于G,作AM⊥BC于M,如图： ⊙ G D M AB=AC=5,BC=4, :.BM-CM-BC=2.AM=AR-BM 5)-2-1. ,∠CBG=∠ABM,∠CGB=∠AMB=90°， .∴.ACBG△ABM, 器需器 CG GB 4 125 cG=4 5,GB=85 设BD=x,DG=GB-BD=85 -X, ,四边形CDEF是正方形， .DE=DC,∠G=∠EHA=90°， 又：∠EDG+∠GDC=∠GDC+∠DCG=90°， .∠EDG=∠DCG, ∴.△EDG≌aDCG(AAS), EH=DG=8/5 2 :a=-<0 2 当x45时，S最大， 5 答案第10页（共24页) 此时AD=AB-BD=5-4W5-5 5 故答案为： 5 【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函数求最值综合，寻找线段与角 度之间的等量关系是解题关键，二次函数求最值通常化为顶点式求解 16.将一张平行四边形ABCD(AD<AB<2AD)纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四 边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形.若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是 【答案】2或5- 2 2 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似多边形的性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利 用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键.分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进 行求解即可. 【详解】解：如图，设AD=a,AB=b. H B 根据题意，AH=AD, ∴.HB=b-a, HB=FG=GC, ∴.BG=a-(b-a)=2a-b, ,剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似， 对应边成比例， 分两种情况讨论： 4D_FG AB BG ..a=b-a b 2a-b 答案第11页（共24页) 1-a 设1-8>0，分了分母同时除以.得：1= b-1-1 0-121-11 6 2 解得：1=2 ②D、BG ABFG' a 2a-b b b-a 20-121-1 设t=au>0,则：1=b 1-01-1, b 解得：1=5-1 2 两个答案都满足AD<AB<2AD, 综上：平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是2或V5-」. 2 故答案为：巨或5-」 21 2 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,cosB=A点D、E分别在边AB、BC上，∠CDE=∠EDB= 那么AD的长为 (用含a的代数式表示) D E B 【答案】)a 2 【难度】0.4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、己知余弦求边长 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点E作EG⊥AB于 点G,设BG=3k,则DE=BE=4k,BD=6k,CE=a-4k,过点B作BF∥DE交CD的延长线于点F, 银据平行线分线段成比例得出CDC。得出CD全a-6k,证明△CDB△CBD,得出C,则 DB EB 2 失名，进而求得BD=6k公，进而根据AD=a-BD,即可求解 【详解】解：如图所示，过点E作EG⊥AB于点G, 答案第12页（共24页） F D G E ,∠EDB=∠ABC ∴ED=EB, cos∠ABC=3 BE设BG=3k,则DE=BE=4k,BD=6M, BG 3 BC=a, .CE=a-4k, 过点B作BF∥DE交CD的延长线于点F, ∴.∠EDB=∠DBF,∠CDE=∠F ,∠CDE=∠EDB .∠DBF=∠F, ∴.DF=DB :BF∥DE .CD_CE 即CD_CE DE EB DB EB CD a-4k 6k 4k 3 解得：CD=2a-6 又：∠DCE=∠BCD,∠CDE=∠CBD ∴.△CDEP△CBD .CE_CD CD CB a-4k 246 3 20-6配 a 解得：k=50 Γ36 答案第13页（共24页） ∴BD=6k= 6 BC=a. :∠ACB=90°，cos∠ABC=3, .AB=- BC :-4a.AD-4a-BD-4a-5a=1a 4 a=-a oS∠ABC3 3 6 2 故答案为：号 三、解答题 18.已知a:b:c=1:3:2,且a+2b+3c=39,求a+b-c的值， 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质以及代数式求值，解题的关键是利用设比例系数的方法，将a、b、c用 同一未知数表示，再代入方程求解. 根据a:b:c=1:3:2设出比例系数k,将a、b、c用k表示，代入a+2b+3c=39求出k,进而得到a、b、 c的值，最后计算a+b-c. 【详解】解：a:b:c=13:2, .设a=k,则b=3k,c=2k .a+2b+3c=39 ∴.k+2×3k+3×2k=39 ∴k=3 ∴.a=3,b=9,c=6 .∴.a+b-C =3+9-6 =6 19.在直角坐标系中，设函数y=ar2+bx-a(a,b是常数，a≠0). (1)已知函数y的图象经过点(1,2)和(-2,1)，求函数y的表达式. (2)若函数y图象的顶点在函数y2=2ar的图象上，求证：b=2a. 【答案】(1)y,=x2+2x-1 (2) 6 y=ax2+bx-a=a x+ 4a2+b2 2a 4a 答案第14页（共24页) 顶点 b 4a2+b2 2a Aa ,y图象的顶点在函数y2=2ax的图象上， 4a2+b2 b Aa 2a ∴.4a2+b2=4ab, ∴.(2a-b}2=0, ∴.b=2a. 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax2+bx+c的图象与性质、正比例函数的性质、y=a(x-h)+k 的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的综合应用，理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键.(1)将(1,2)和 b 4a2+b2 (-2,1)代入函数表达式，解方程组即可：(2)先得出函数顶点坐标 2a’- 代入y2=2ax化简， Aa 即可得出结论， 【详解】(1)，函数y=ax2+bx-a图象经过点(1,2)和(-2，)， a+b-a=2 4a-2b-a=-1' a=1 解得 b=2 ∴.y=x2+2x-1; (2)略 20.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(0,2),C(-3,4). 答案第15页（共24页） B (1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△4B,C,画出△4B,C,并写出点A的坐标； (2)以点O为位似中心，将△4B,C放大得到△A4,B,C2,相似比为2，在网格图中画出△A,B,C2· 【答案】(1)作图见解析，（1,2) (2)作图见解析 【难度】0.94 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形放大或缩小倍后的位似图形、画旋转图形 【分析】(1)将△ABC的三个顶点绕点O顺时针旋转90°后连线即可得到△4B,C,在网格图中写出点A的 坐标； (2)连接OAOB、OC,反向延长2倍得到OA2、OB2OC2,连接三个点即可得到△A,B2C2. 【详解】(1)解：如图所示： C C A B ∴△4BC即为所求，点A的坐标为(1,2)： (2)解：如图所示： 答案第16页（共24页） B .△AB,C,即为所求 21.【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方 与上级报警.古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形.这只箭 飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d(单位：m).距地面的竖直高度为 h(单位：m),获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量d的变化而变化的规律进行了研究.下面是小勇的探究过程， 请补充完整； (1)k的值为 (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结. 答案第17页（共24页) h 30 20 10 O 20 40 60 80 100d (3)请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (④)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难.于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的 箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台.小勇在研究这个问题的过程中还发现.如 果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如 果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多 少？ 【答案】(1)21.5 (2)解：所作图象如下图： h 30 20 10 20 40 60 80 100 (3)士兵射出的箭没有掉进圣火台里， (4)射手向后移动的最大距离为(5V22-18)m,向前移动的最大距离为(22-5√6)m. 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、待定系数法求二次函数解析式、用描点法画函数图象、二次函数图象 的平移、投球问题（实际问题与二次函数） 【分析】(1)根据抛物线的对称性结合表格数据可知当d=70与d=30时的函数值相等，据此即可求解： (2)先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可： (3)先求得抛物线的解析式，再求出当d=72时所对应的h的值，再和20作比较即可： (4)利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点A的坐标和右上角的点B的坐标， 再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解。 【详解】(1)解：，这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线d=50, .d=70与d=30时的函数值相等， .当d=30时，h=21.5, 答案第18页（共24页） ∴.当d=70时，k=21.5: (2)略 (3)解：设二次函数的解析式为：h=a(d-50)+25.5, 当d=40时，h=24.5, .a(40-50)2+25.5=24.5, 解得：a=0.01, ∴.二次函数的解析式为h=0.01(d-50)2+25.5, 当d=72时， h=-0.01(72-50)2+25.5 解得：d=20.66>20, ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里： (4)解：由(3)可知：二次函数的解析式为h=0.01(d-50)+25.5, ,圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可 以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图象左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点A的坐标为(68,20)，右上角的点B的坐标为(72,24)， 设后退m(m>0)米，即抛物线向左平移m米，当抛物线经过正方形的左下角的点A(68,20)时， ∴.20=-0.01(68-50+m}2+25.5, 解得：m=5V22-18,m,=-5V22-18(不合题意，舍去)： 设前进n(n>0)米，即抛物线向右平移n米，当抛物线经过正方形的右上角的点B(72,24)时， ∴.24=0.01(72-50-n)+25.5, 解得：n=22-5V6,m2=22+5V6(不合题意，舍去)， ∴.射手向后移动的最大距离为5V22-18m,向前移动的最大距离为22-5v6m 22.某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本州（万元）与隔热层厚度 x(厘米)满足关系式%=20x.加建后该商场预计每年的能源消耗费用w,(万元)与隔热层厚度x(厘 )满足关系式4二：-3x+360≤x≤8).如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费 之和为y(万元). 答案第19页（共24页) (1)求y与x的关系式： (2)已知该商场未来5年的相关计划费用p(万元)满足p=y+x2-x,那么当192≤p≤208时，求隔热层 厚度x(厘米)的取值范围. 【答案】(1) y=-x2+5x+180(0≤x≤8) (2) 3≤x≤7 【难度】0.74 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题（实际问题与二次函数） 【分析】（①根据遇意可得：y=网+5%，把网=20，%=-3x+360≤x≤8）代入y=%+5%,即 可得到y与x的关系式： (2)把y=-x2+5x+180代入p=y+x2-x,可得p=4x+180,根据192≤p≤208，可得关于x的不等式 组，解不等式组即可求出x的取值范围 【详解】(1)解：根据题意可得：y=州+5w2, w=20x,w,=52-3x+360≤x≤8 y=20+-3x+36 整理可得：y=-x2+5x+180(0≤x≤8)： (2)解：y=-x2+5x+180(0≤x≤8)， ..p=y+x2-x =-x2+5x+180+x2-x =4x+180, :192≤p≤208， .192≤4x+180≤208， 解得：3≤x≤7. 23.已知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，连结AP、CP并延长，分别与边CD、AD 交于点E、F. 答案第20页（共24页） D (I)求证：AE=CF; (2)如果∠APF=2∠ABD,求证：BP.BD=2AB2. 【答案】(1) 证明：(1)：四边形ABCD是菱形， ·AD=CD,BD垂直平分AC, ∴∠ACD=∠CAD, 点P在BD上， ∴PA=PC, ∴.∠PAC=∠PCA, 在△MCE和△CAF中， ∠ACE=∠CAF AC=CA ∠EAC=∠FCA ∴.△ACE≌ACAF(ASA), ∴.AE=CF. (2) 证明：设4C交BD于点L,则1B=1D号BD, F E :AB=CB,BD⊥AC, ∴.∠ABD=∠CBD, .∠ABC=2∠ABD, :∠APF=2∠ABD, ∴.∠APF=∠ABC, ∴.∠ABC+∠APC=∠APF+∠APC=180°， ∴.∠BAP+∠BCP=360°-（∠ABC+∠APC)=180°， 答案第21页（共24页) .'∠BAC=∠BCA,∠PAC=∠PCA, ∴.∠BAP=∠BAC+∠PAC=∠BCA+∠PCA=∠BCP, ∴.2∠BAP=180°， ∴.∠BLA=∠BAP=90°， :∠ABL=∠PBA, .∴.△4BL△PBA, ABLB BP AB 1 AB-2 BD BP AB ∴BP.BD=2AB2. 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质证明、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、相似三角形的判定 与性质综合 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以 上基本性质是解答本题的关键 (I)由菱形的性质可知AD=CD,BD垂直平分AC,继而可知∠ACD=∠CAD,PA=PC,求得 ∠PAC=∠PCA,进而判定△ACE≌aCAF(ASA),得出结论； (2)由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得∠BLA=∠BAP=90°，进而可判定△ABL∽△PBA, 再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论。 【详解】(1)略 (2)略 24.如图，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l、I、?于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P, 4与4相交于DE的中点G,若4=2 AC 7 B 答案第22页（共24页) (1)如果EF=10,求DE、DF的长： (2)在(1)的条件下，如果QG=3,求PH的长. 【答案】(1)4,14 (2)15 【难度】0.65 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平 行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键。 由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出化，即可求出DE的长，得出DF的长： (2)由平行线分线段成比例定 DEOi2:得出H=6,由平行线分线段成比例定理得出9=DE DG OG1 PH EF 再代入求得结果 【详解】(1)：AD∥BE∥CF, h 13 H C p AB=DE2 AC DF T' :DE2 DE+107' .DE=4, .DF=DE+EF=4+10=14: (2)·点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3, DG OG 1 DEOH2 ∴.QH=6, ,AD∥BE∥CF 册 答案第23页（共24页） (迎忆并)边忆熊嵩号 SI=Hd. 2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟卷 （上海专用）（解析版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意； B. ，不是二次函数，故选项不符合题意； C. ，不是二次函数，故选项不符合题意； D. ，是二次函数，故选项符合题意； 故选：． 2．在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边．选项A中比例关系符合逆定理条件，能推出；其他选项的比例关系不能保证平行． 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 3．如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线等分三角形为面积．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断． 【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即，①正确； ∵ ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴，③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴，④错误， 故①③正确； 故选：B． 4．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：B． 5．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质的综合应用等知识点，①依据题意，把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②依据题意，令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④依据题意，根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 二、填空题 6．若，则____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】根据已知比例关系得到a与b的关系式.代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7．已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 8．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、因式分解法解一元二次方程、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 9．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.9 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 10．如图，在中，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题主要考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质得，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 12．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【难度】0.79 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 13．已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 【详解】根据黄金分割点的概念，可知， 则， 故答案为：． 14．当_______时（只要填一个符合条件的m值即可），抛物线（m是常数）经过一、二、三象限． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数图象经过一、二、三象限，得到图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数，确定的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，， ∴当抛物线（m是常数）经过一、二、三象限时，图象与坐标轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标为非负数， ∴，解得：， ∴当时，满足题意； 故答案为：（答案不唯一） 15．如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三线合一、y=ax²+bx+c的最值、根据正方形的性质求面积 【分析】作于H，于 G，作于M，由等腰三角形三线合一可得，再证，计算出，，设，通过证明，可得，从而用含x的二次函数表示出，化为顶点式即可求解． 【详解】解：作于H，于 G，作于M，如图： ∵，， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴，， 设，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，最大， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函数求最值综合，寻找线段与角度之间的等量关系是解题关键，二次函数求最值通常化为顶点式求解． 16．将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似多边形的性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 17．如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为_______________.（用含的代数式表示）    【答案】 【难度】0.4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 三、解答题 18．已知，且，求的值． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质以及代数式求值，解题的关键是利用设比例系数的方法，将、、用同一未知数表示，再代入方程求解． 根据设出比例系数，将、、用表示，代入求出，进而得到、、的值，最后计算． 【详解】解： 设，则 ． 19．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 【答案】(1) (2) ∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、正比例函数的性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）略 20．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【难度】0.94 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 21．【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【答案】(1) (2)解：所作图象如下图： (3)士兵射出的箭没有掉进圣火台里． (4)射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、待定系数法求二次函数解析式、用描点法画函数图象、二次函数图象的平移、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，； （2）略 （3）解：设二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时， 解得：， ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里； （4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图象左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为， 设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，   ∴， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 22．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.74 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 23．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，连结、并延长，分别与边、交于点、． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：（1）四边形是菱形， ，垂直平分， ， 点在上， ， ， 在和中， ， ， ． (2) 证明：设交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上基本性质是解答本题的关键． （1）由菱形的性质可知，垂直平分，继而可知，，求得，进而判定，得出结论； （2）由菱形的性质和已知条件，根据角的和差计算易得，进而可判定，再根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 24．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14 (2)15 【难度】0.65 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 答案第1页（共3页） 答案第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $