26.1 二次函数的概念（第1课时） （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦二次函数的概念，分层设计清晰，从概念辨析到实际应用再到探究创新，梯度合理，强化抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数定义及系数识别|通过辨析题强化a≠0关键，夯实概念理解| |能力提升|函数类型判断与简单实际应用|结合待定系数法，培养推理意识与运算能力| |拓展探究|综合求解与证明|以产量、利润等实际问题发展模型观念，提升创新意识|

26.1 二次函数的概念（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 ②其中x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 ③二次函数的定义域是全体实数；判断关键是最高次数为2且二次项系数不为0。 2. 与本节课相关的旧知识：一次函数、函数的概念、多项式的次数。 3. 预习时遇到的疑问：二次函数与一元二次方程有什么联系？为什么a不能为0？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①忽略a≠0，把y=ax²+bx+c都当成二次函数。 ②确定二次项系数时漏掉前面的负号。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 下列函数中是二次函数的是（　）A.y=2x+1　B.y=x²　C.y=1/x²　D.y=x³ 2. y=3x²-2x+1中，a=__，b=__，c=__。 3. 二次函数y=ax²+bx+c中，a必须满足____。 4. 圆面积S=πr²中，S是r的____函数。 5. 若y=(m-1)x²+2x是二次函数，则m____。 6. 二次函数y=-x²+3的二次项系数是____。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 下列函数中，属于二次函数的是（　）A.y=1/2x²　B.y=2x-1　C.y=2/x　D.y=x²+1/x 2. 函数y=(a-2)x²是二次函数的条件是（　）A.a是常数　B.a是正实数　C.a≠0　D.a≠2 3. y=-2x²+5x-3中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是____。 4. 正方体表面积S关于棱长a的函数关系式是____，它是____函数。 5. 若y=(m²-1)x²是二次函数，则m满足____。 6. 二次函数y=3(x-1)²+2中，化为一般形式后a=__，b=__，c=__。 7. 一个圆柱的高等于底面半径r，写出它的表面积S与r的关系式，并指出是什么函数。 8. 若函数y=(m-1)x^{m²+1}+2x是二次函数，求m的值。 9. 矩形长为4，宽为x+1，面积y与x的函数关系式为____，它____（填“是”或“不是”）二次函数。 10. 某产品年产量为30台，计划每年增长x%，两年后产量y与x的函数关系式为____。 11. 写出一个二次函数，使它的二次项系数为-2：____。 12. 判断：y=ax²+bx+c一定是二次函数。（　） ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 已知函数y=(m²-m)x²+mx+(m+1)。(1)当m为何值时，它是一次函数？(2)当m为何值时，它是二次函数？ 2. 已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=0时y=0；x=1时y=2；x=-1时y=4，求a、b、c的值。 解： 3. 某商品进价40元，售价x元（x≥40），每天可卖出(100-2x)件，求每天利润y与x的函数关系式，并判断它是不是二次函数。 解： 4. 已知y=(m+1)x^{m²-3m-2}+(m-3)x+m是二次函数，求m的值。 解： 5. 一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积S与宽x之间的函数关系式。 ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 已知函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，当x=1时y=0；x=2时y=3；x=-1时y=0。(1)求a、b、c；(2)求x=3时的函数值。 解： 2. 试证明：不论m取何值，函数y=(m²+1)x²+mx-1一定是二次函数。 解： 3. 某果园有100棵橙子树，每棵平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是多种树后树之间的距离和每棵树接受的阳光都会减少。据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。设多种x棵，写出橙子总产量y与x的关系式，并判断是不是二次函数。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S与一边长l的函数关系式，并写出l的取值范围。 解： 2. 某商店购进一批单价为20元的日用品。如果按单价30元销售，那么半个月内能售出400件。销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。设销售单价提高x元，写出半个月内利润y与x的函数关系式。 解： 3. 一个圆柱的体积V=πr²h，当h为定值时，V是r的什么函数？当r为定值时，V是h的什么函数？ 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 26.1 二次函数的概念（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 y=ax²+bx+c(a≠0)；a≠0是关键。 二、基础随堂自检 1.B　2.3,-2,1　3.a≠0　4.二次　5.≠1　6.-1 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.A　2.D　3.-2,5,-3　4.S=6a²，二次　5.m≠±1　6.3,-6,5　7.S=2πr²+2πr²=4πr²，二次函数　8.m=-1　9.y=4x+4，不是　10.y=30(1+x%)²　11.y=-2x²等　12.× ★★ 能力提升 1.(1)m=0或1；(2)m≠0且m≠1　2.a=3,b=-1,c=0　3.y=-2x²+180x-4000，是　4.m=5　5.S=2x² ★★★ 拓展探究 1.(1)a=1,b=0,c=-1；(2)8　2.m²+1≥1≠0　3.y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000，是 五、学以致用 1.S=l(30-l)，0<l<30　2.y=-20x²+200x+4000　3.前者二次函数，后者一次函数 学科网（北京）股份有限公司 $