第二十五章 一元二次方程 小结与复习 （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学单元复习同步练，以三级分层设计实现从基础巩固到创新探究的进阶，融合数学思维与模型意识，适配差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|概念辨析、基本解法、简单应用|以直接应用题型为主，如一元二次方程判断、基本解法训练，强化运算能力| |能力提升|综合解法、判别式应用、实际问题建模|设置判别式证明、根与系数关系综合题，培养推理意识与模型观念| |拓展探究|知识迁移、动态几何、跨学科情境|通过阅读材料迁移、军舰侦察等问题，发展创新意识与应用能力|

第二十五章 一元二次方程 小结与复习 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①一元二次方程：只含一个未知数、最高次数为2的整式方程，一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。 ②解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程特征灵活选用。 ③根的判别式Δ=b²-4ac；根与系数关系x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 ④应用：传播/增长率、面积、利润等实际问题。 2. 与本节课相关的旧知识：整式方程、因式分解、平方根、列方程解应用题。 3. 预习时遇到的疑问：本章综合时，方法选择不当会导致计算繁琐；实际问题忘记检验根是常见失分点。。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①解法选择盲目，所有题都用公式法导致计算量大。 ②实际问题求出两根后不按实际意义取舍。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 方程3x²=5x+2化为一般形式后a=__，b=__，c=__。 2. 方程x²-9=0的解是____。 3. 方程(x-1)²=4的解是____。 4. 方程x²-5x+6=0的解是____。 5. 方程2x²+3x-1=0的Δ=____。 6. 若x₁、x₂是方程x²-4x+3=0的两根，则x₁+x₂=____，x₁x₂=____。 7. 某厂1月产值100万，3月121万，月平均增长率为____。 8. 方程x²+2x+m=0有两个不相等实数根，则m____。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　）A.x+1/x=2　B.x²=0　C.ax²+bx+c=0　D.x+y=1 2. 用配方法解方程x²-4x-1=0，配方后正确的是（　）A.(x-2)²=1　B.(x-2)²=5　C.(x+2)²=5　D.(x-2)²=3 3. 方程x²-3x=0的根是____。 4. 方程2x²-4x-1=0的根是____。 5. 若关于x的方程(k-1)x²+2x-2=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是____。 6. 方程x²-5x+2=0的两根为x₁、x₂，求x₁+x₂和x₁x₂。 7. 用公式法解方程：3x²-6x+1=0。 8. 方程(x-2)(x+3)=0的根是____。 9. 某商品原价100元，连续两次降价后为81元，求平均每次降价率。 10. 若方程x²+mx+3=0的一个根是1，则m=____，另一根是____。 11. 已知直角三角形两条直角边的长是方程x²-7x+12=0的两根，求斜边。 12. 用因式分解法解方程：x²-2x-8=0。 13. 某矩形面积为48m²，长比宽多2m，求长和宽。 14. 若一元二次方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，求m及此时的根。 15. 某厂今年利润100万元，计划后年利润达到121万元，求年平均增长率。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 已知关于x的方程x²-(2k+1)x+k²+k=0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个根，第三边BC=5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。 解： 2. 已知x₁、x₂是方程2x²-4x+1=0的两根，求(1)x₁²+x₂²；(2)1/x₁+1/x₂；(3)(x₁-x₂)²。 解： 3. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为扩大销售，决定降价。经调查：每件衬衫每降价1元，每天可多售出2件。若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 4. 如图，在长为10cm、宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长。 解： 5. 已知关于x的一元二次方程x²-(2m+3)x+m²+3m+2=0。(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根分别为AB、AC，且BC=√5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值。 解： 6. 某水果经销商上月销售一种新上市水果，平均售价20元/千克，月销量500千克。经调查：售价每降低0.1元，月销量增加5千克。现要在本月达到9000元销售额，同时让顾客得到实惠，每千克应降价多少元？ 7. 已知关于x的方程x²-2(m+1)x+m²=0。(1)当m取何值时，方程有两个实数根？(2)为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个根。 解： 8. 某食品店今年产值为5万元，计划后年的产值为7.2万元，求平均每年增长的百分率。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 阅读材料：已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。解：设所求方程根为y，则y=2x，x=y/2，代入得(y/2)²+y/2-1=0，即y²+2y-4=0。请用这种方法求一个一元二次方程，使它的根分别是方程x²-3x+1=0各根的倒数。 2. 已知关于x的一元二次方程x²-(k+2)x+2k=0。(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。 解： 3. 某商场将进价为40元的商品按50元出售时，能卖500个。已知该商品每涨价1元，其销量就减少10个。为了赚8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？ 解： 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P由A出发沿AC向C以1cm/s移动，点Q同时由B出发沿BC向C以1cm/s移动。经过几秒，△PCQ的面积等于3cm²？ 解： 5. 已知a、b、c是△ABC的三边，且关于x的方程b(x²-1)-2ax+c(x²+1)=0有两个相等的实数根。(1)判断△ABC的形状；(2)若这个三角形最长边上的高为4.8，且最短边为6，求第三边。 解： 6. 某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1。在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道。当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m²？ 解： 2. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 解： 3. 要在宽为20m、长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为草坪，要使草坪面积为540m²，道路的宽应为多少？ 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 第二十五章 一元二次方程 小结与复习 参考答案 一、自习前置速忆 一元二次方程：概念、解法、判别式、韦达定理、实际应用。 二、基础随堂自检 1.3,-5,-2　2.x=±3　3.x₁=3,x₂=-1　4.x₁=2,x₂=3　5.17　6.4,3　7.10%　8.<1 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.B　2.B　3.x₁=0,x₂=3　4.x=1±,2}}　5.k>3/2且k≠1　6.x₁+x₂=5,x₁x₂=2　7.x=1±,3}}　8.x₁=2,x₂=-3　9.10%　10.m=-4,另一根3　11.5　12.x₁=4,x₂=-2　13.长8m宽6m　14.m=1，x₁=x₂=1　15.10% ★★ 能力提升 1.(1)Δ=1>0；(2)k=4或5　2.(1)3；(2)4；(3)2　3.降价20元　4.2cm　5.(1)Δ=1>0；(2)m=4或5　6.降价2元　7.(1)m≥-1/2；(2)m=0时x₁=0,x₂=2　8.20% ★★★ 拓展探究 1.x²-3x+1=0　2.(1)Δ=(k-2)²≥0；(2)周长5　3.60元进400个或80元进200个　4.2秒　5.(1)直角三角形；(2)8　6.能，最早2小时后 五、学以致用 1.长28m宽14m　2.(1)450千克，6750元；(2)80元　3.2m 学科网（北京）股份有限公司 $