临潭县第二中学2026-2027学年高二上学期数学月考模拟卷

**基本信息** 高二数学月考模拟卷聚焦湘教版选择性必修第一册第1-2章，以数列、直线与圆为核心，通过基础巩固题（如数列通项判断）、能力提升题（如直线与圆位置关系）及创新应用题（如轨迹方程探究），构建梯度化命题，适配月考诊断需求，培养数学抽象、几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|数列通项、直线倾斜角、圆方程|基础概念辨析，如第1题数列项判断| |多项选择|3/18|直线方向向量、数列前n项和|多维度辨析，如第9题直线性质判断| |填空|3/15|平行线距离、数列递推|简洁计算，如第12题平行线距离| |解答|5/77|等比数列证明、轨迹方程、直线与圆综合|分层探究，如第15题等比数列证明与求和，第17题弦中点轨迹方程，体现逻辑推理与数学建模|

临潭县第二中学2026-2027学年上学期月考模拟卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列的通项公式为，则123是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】B 【详解】令，则，所以，解得或（舍去）， 所以123是该数列的第11项. 2．已知直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，故选：A 3．已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，，通项公式为， 根据等差数列性质可知，得.故， 由，将、代入得，解得. 另解：设等差数列的公差为，，由得，即， 结合，两式相减得，代入得. 4．已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为，直线的斜率， 又因为直线不过第二象限，所以，即，又因为异号，所以. 5．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 6．若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即，所以.故选：C. 7．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题干中的垂直关系得出两直线斜率之积为即可求解. 【详解】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 8．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足           二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 10．已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．令，为数列的前项和，则 D． 【答案】BCD 【分析】A：因为，所以直接将代入的表达式计算即可. B：如果，那么利用推导，再验证时是否满足所得通项，确定最终的表达式. C：先根据写出的表达式，因为是等差乘等比型数列，所以用错位相减法计算前项和. D：先写出的表达式，利用放缩法将放缩为可裂项相消的形式，再通过裂项相消求和后与不等式右侧比较. 【详解】因为，所以当时，； 当时，，对也成立， 所以，所以选项A错误，选项B正确； 对C，，则① 则②， ①②得：， 即，所以选项C正确； 对D，， 所以，所以选项D正确. 11．下列说法正确的有（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．圆与轴相交于两点，则 D．圆与圆的位置关系为内切 【答案】ACD 【分析】由直线的方向向量定义判断A；由两直线垂直的判断方法列方程求得的值再判断B；求出圆与轴的两交点，计算弦长可判断C；根据圆心距与两圆半径之间关系可知D正确. 【详解】对于A，由方向向量定义知：若方向向量为，则直线斜率，A正确； 对于B，两直线互相垂直等价于，解得：或； 则“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，B错误； 对于C，在中，令解得：或，此时，，C正确； 对于D，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距，则两圆内切，D正确.故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．两平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】先根据两直线平行可得，再根据平行直线之间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，，所以两直线之间的距离为．故答案为：. 13．已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 14．过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为____________. 【答案】 【分析】根据圆C的方程，可得其圆心和半径，分析可得点P在圆内，且直线l的斜率存在，设，可得，坐标，根据题意可得，整理可得Q点轨迹，根据点到直线距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】    易知圆的圆心为，半径， 又，所以在圆内， 因为，垂足为Q，由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得，设点，则，， 所以，即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 又圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为．故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. ， 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为，即； (2) 【分析】（1）应用等比数列定义证明，再结合等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 16．（15分）三个顶点，求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标求法，和点斜式方程，求出直线方程即可； （2）根据直线垂直的斜率性质，以及点斜式方程，求出直线方程即可； 【详解】（1）设的中点为，所以，所以， 所以，根据点斜式方程得，即 （2）设边上高所在直线的斜率为，由题意得，由，所以， 根据点斜式方程得，即. 17．（15分）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）利用中点弦知识，转化为圆的方程问题； 【详解】（1）设圆的标准方程为，故有： ， 所以圆的标准方程为； （2）设弦MN的中点，    当直线斜率不存在时，点与点重合， 当直线斜率为0时，点与点重合， 当直线斜率存在且不为0时，由垂径定理知， 点的轨迹是以CG为直径的圆． 由， 得，， 整理得：； 18．（17分）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）时，可得，与原式相减可求通项公式； （2）结合（1），利用等差数列的前项和公式，计算可求； （3）利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，① 所以当时，， 当时，，② 由整理得， 因为符合上式，所以． （2）由（1）知，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以． （3）因为，所以． 因为， 所以， 所以． 19．（17分）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到两定点的距离相等计算出圆心坐标以及半径，则圆的方程可求； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时直接分析即可，斜率存在时根据半径、圆心到直线的距离、弦长一半之间的关系求解出直线方程，由此可求结果. 【详解】（1）设圆心坐标为，因为圆经过两点， 所以，可解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为， 所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设，即， 则圆心到直线的距离为，又因为， 所以，解得， 所以的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第二中学2026-2027学年上学期月考模拟卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列的通项公式为，则123是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 2．已知直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 7．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 10．已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．令，为数列的前项和，则 D． 11．下列说法正确的有（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．圆与轴相交于两点，则 D．圆与圆的位置关系为内切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．两平行直线与之间的距离为________． 13．已知数列的前项和为，且，，则______． 14．过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）三个顶点，求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 17．（15分）在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，求弦中点的轨迹方程. 18．（17分）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)求数列的前n项和． 19．（17分）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $