第3章 圆的基本性质 单元综合练习卷(A) 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 以圆的基本性质为核心，通过分层题型系统整合位置关系、角度转化、计算证明等模块，渗透辅助线添加与方程思想，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4题|点与圆位置判断、圆周角定理|从定义到性质，构建“概念-关系-应用”链条| |性质应用|填空11-14题、解答17-20题|垂径定理辅助线（作垂线）、内接四边形角度转化|结合图形直观，强化性质与计算的关联| |综合探究|解答21-24题|圆内外角公式推导、勾系方程模型构建|跨知识整合，培养模型意识与创新思维|

第3章 圆的基本性质 综合卷(A) 一、选择题(每题3分，共30分) 1.以边长为1的正方形ABCD的顶点A为圆心，以 为半径作⊙A，则点C与⊙A的位置关系为 ( ) A.点C在⊙O内 B.点C在⊙O上 C.点C在⊙O外 D.不能确定 2.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,E是BC延长线上的一点,已知∠BOD=130°,则∠DCE的度数为 ( ) A.45° B.50° C.65° D.75° 3.如图,AB为⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,CE∥AB,若∠ADE=25°,则∠ABC的度数为 ( ) A.45° B.55° C.65° D.75° 4.如图，将圆周六等分，B，D是其中两个等分点，点A，C分别在BAD,BD上,则∠BAD:∠BCD的值是 ( ) A.1:2 B.2:3 C.2:5 D.3:5 5.如图,A,B,C,D,E是⊙O上的5等分点,连结AC,CE,EB,BD,DA得到一个五角星图形和五边形MNFGH。下列3个结论:①AO⊥BE;②∠CGD=∠COD+∠CAD;③BM=MN=NE。其中正确的结论是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 6.如图,AB为半圆的直径,AB=4,C,D为AB上两点,且 BD,若 则BD的长为 ( ) A. B. C. D. 7.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,BF∥OC,若AB=10,BC=2 ，则CF的长为 ( ) A.4 B.5 C.4 D.3 8.如图，A，B是半径为2的⊙O上的两点，且 则下列说法正确的是 ( ) A.圆心O到AB的距离为 B.在圆上取异于A，B的一点C，则△ABC面积的最大值为22 C.以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积为 D.取AB的中点C，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为π 9.如图,在⊙O中,弦AB⊥CD于点E,若已知AD=9,BC=12,则⊙O的半径为 ( ) A.5.5 B.6 C.7.5 D.8 10.如图,半径为R的⊙O的弦AC=BD,AC,BD交于点E,F为BC上一点,连结AF,BF,AB,AD。有下列结论:①AE=BE;②若AC⊥BD,则. ③在②的条件下，若 ,则BF+CE=1。其中正确的是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二填空题(每题3分，共18分) 11.如图，将三角尺的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A，B两点，点P在 上,且与点A,B不重合,连结PA,PB,则∠APB的大小为 度。 12.如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发绕点C沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第10秒时，点E在量角器上对应的读数是 。 13.如图,在半径为10的⊙O中,∠AOB=90°,C为OB的中点,AC的延长线交⊙O于点D,则线段CD的长为 。 14.如图,G是正六边形ABCDEF的CD边的中点,AG与CF交于点H,则∠AHF+∠HGC= ,若AB=a,则FH= (用含a的代数式表示)。 15.如图,已知在⊙O中,直径MN=10,四边形ABCD是正方形,并且∠POM=45°,则AB的长为 。 16.如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连结BP，将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BQ,连结MQ。若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 。 解答题(共72分) 17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一段圆弧经过格点A，B，C(网格中每个小正方形的边长为1)。 (1)该图中圆弧所在圆的圆心D的坐标为 。 (2)根据(1)中的结论。 ①填空:⊙D的半径是 ,∠ADC的度数为 。 ②求AC的的长。 18.(6分)如图1,AB是⊙O的弦,C和D是⊙O上的点,AD和BC交于点P,AD=BC。 (1)求证:AP=BP。 (2)如图2,若AD⊥BC,E是BD上一点,且 ,AE与BC交于点F,求证:BE=BF。 19.(8分)如图所示为一圆洞门的示意图。工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE,DF来支撑,点A,B,C,D在⊙O上,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,且AB=2, EF=,AB₁的度数为120°。 (1)求出圆洞门⊙O的半径。 (2)求立柱CE的长。 20.(8分)已知AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,H为AD上一点,连结CH交AB于点F,过点A作AG⊥CH于点G。 (1)如图1,连结AH,BC,求证:∠HAG=∠BCE。 (2)如图2,若H为AD的中点,连结HD,求证:HD=HF。 21.(10分)利用所给图形探究： (1)如图1，圆的两弦AB，CD交于圆内一点P，若AC=120°,BD=30°,则∠APC= °;如图2，圆的两弦AB，CD交于圆外一点P，其他条件不变，则∠APC= °。 (2)在(1)中，我们把图1和图2中直线AB，CD的夹角分别叫作圆内角和圆外角。若 ㎡,BD=n°,你能推导出圆内角和圆外角的计算公式吗?它们分别是：∠APC= °和∠APC= °。 (3)图1中,若∠DPB=70°,AC-DB=20°,请利用(2)中公式求 和 的度数，并写出求解过程。 22.(10分)已知关于x的一元二次方程 如果a,b,c满足 且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于x的“勾系方程” 必有实数根。 (2)如图,已知AB,CD是半径为5的⊙O的两条平行弦,AB=2a,CD=2b,且关于x的方程 是“勾系方程”。 ①求∠BDC的度数。 ②直接写出BD的长(用含a，b的代数式表示)。 23.(12分)如图,AB为⊙O的直径,弦CK交AB于点P,点D为 上一点,且∠CPD=∠BPD=60°,连结OC,OD。 (1)求证:∠OCK=∠ODP。 (2)若 求S△POD。 24.(12分)已知点A，B，C是半径为2的⊙O上的三个点，其中点A是 上的一动点(不与点B,C重合),连结AB,AC,点D,E分别在弦AB,AC上,连结OD,OE。 (1)当点A为 的中点时，且满足AD=CE(如图1)。 ①求证:OD=OE。 ②当 时，求 的度数(如图2)。 (2)当 且 时(如图3)，设 的面积为y，求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围。 (第24题) 1. B 2. C 3. C 4. A 5. A 6. D 7. C 8. C 【解析】①如图1,过点O作OH⊥AB于点H,连结OA, ∴圆心O到AB的距离为1，故A选项不符合题意。 ②如图1,延长HO交⊙O于点C,连结AC,BC,此时△ABC的面积最大。 ∵CH=OC+OH=2+1=3,∴△ABC的面积= ∴△ABC面积的最大值为，故B选项不符合题意。 ③如图2,四边形ABMN是正方形,BM,AN分别交⊙O于点P,Q,连结PA,QB。∵∠QAB=∠PBA=90°,∴PA,QB是⊙O的直径。 ∴PA=2×2=4。 ∴∠PAB=30°。∴∠APB=60°。∵PO=BO, ∴△POB 是等边三角形。∴△POB 的面积= ∠POB=60°。∴∠POQ=180°—∠POB=120°。 ∴扇形 POQ 的面 积 = ∵OA=OP=OB=OQ,∴△POB的面积=△AOB的面积=△AOQ的面积。∴以AB为边向上作正方形，与⊙O的公共部分的面积=△POB的面积×3+扇形POQ的面积 故C选项符合题意。 ④取AB的中点C,同①理可得OC=1,∴当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O圆心，半径长是1的圆。∴点C运动的路线长为2π×1=2π，故D选项不符合题意。故选C。 9. C 10. D 11.4512.60° 13.【解析】过点O作OH⊥AD于点H,∴AH= ∵C为OB的中点, ∵∠AOB=90°, 14.120°，a 15. 【解析】如图,连结BM,将△BCM绕点 B 逆 时 针 旋 转 90°得△BEF,连结MF,QF。 ∵∠CBE=90°,∠ABC=90°,∴∠ABC+∠CBE=180°。∴点A,B,E共线。由旋转得PB=QB,MB=FB。∵∠PBM=∠PBQ-∠MBQ=90°-∠MBQ=∠QBF,∴△BPM≌△BQF(SAS)。∴MP=QF=1。∴点Q在以F为圆心，1为半径的圆上。∵BC=AB=4, ∴ BM=√BC²+CM²=2 。∵∠MBF=90°,BM=BF, 2 。 ∵MQ≥MF-QF,∴MQ≥2 -1。 ∴MQ的最小值为 17.(1)(2,-1) (2)①如图,连结AD,CD,AC。 由平面直角坐标系得A(0,3),D(2,-1),C(6,1), ∴∠ADC=90°。 故答案为： ②AC的长 18.(1)∵AD=BC,∴AD=BC。∴AC=BD。 ∴∠ABC=∠BAD。∴AP=BP。 (2)连结AC。∵DE=CD,∴∠CAP=∠FAP。 ∵AD⊥BC,∴∠APC=∠APF=90°。∴∠C=∠AFC。又∵∠AFC=∠BFE,∠C=∠E,∴∠BFE=∠E。∴BE=BF。 19.(1)如图,过点O作OH⊥AB于点H,连结OB,OA。∵AB的度数为120°, ,AO=BO, AH=BH= 。∴∠ABO=30°。∴OH ( )²，解得OB=2(负值已舍)，即圆洞门⊙O的半径为2。 (2)如图,过点O作OM⊥EC于点M,连结OC。 ∵AH=BH,立柱CE,DF对称, 。由(1)得( ∵∠OME=∠MEH=∠EHO═90°,∴四边形OMEH是矩形。∴OM═EH ME=OH=1。 在 Rt △ OMC 中 , CM= 20.(1)∵CD⊥AB,AG⊥CH,∴∠CEF=∠AGF=90°。∵∠CFE=∠AFG,∴∠ECF=∠FAG。 ∵∠BAH=∠HCB,∴∠HAG=∠BCE。 (2)如图,连结AC,AD,DF。 ∵AB⊥CD,∴CE=DE。∴AC=AD, FC=FD。 ∴ ∠ACD=∠ADC,∠FCD=∠FDC。 ∴∠ACF=∠ADF。 ∴∠ACF=∠ADH=∠HCD。 ∵∠HFD=∠FCD+∠FDC,∠HDF=∠ADH+∠ADF,∴∠HFD=∠HDF。∴HF=HD。 21.(1)75 45 (2)如图1,连结BC。 ∴∠ABC ∴∠ APC=∠ ABC+ 如图2，连结BC, ∴∠APC 故答案为： (3)根据上面所求可知 22.(1)∵关于x的一元二次方程 =0是“勾系方程”， ∴方程必有实数根。 (2)①如图,过点O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD于点F,连结OB,OC。∴AE=BE=a。 ∵DC∥AB,∴EF⊥CD。∴CF=DF=b。 是“勾系方程”， 在Rt△BOE和Rt△OCF中, ∴Rt△BOE≌Rt△OCF(HL)。∴∠OBE=∠FOC。 ②如图,过点D作DG⊥AB于点G。同①理得OF=BE=a, ∴ EF=OE+OF=a+b。 ∵ ∠DGB=∠GEF=∠DFE=90°,四边形DGEF 是矩形。∴DG 23.(1)如图,作OE⊥CK于点E,OF⊥PD于点F。 ∵∠CPD=∠BPD=60°,∴∠KPB=180°-60°-60°=60°。∵OE⊥CK,OF⊥PD,∴EO=OF,∠OEC=∠OFD=90°。在Rt△OEC和Rt△OFD中, ∴∠OCK=∠ODP。 (2)如图,连结OK。∵∠KPB=60°,∠OEP=90°, ∴∠EOP= 430°。 ∵KO=CO,∴∠OKC=∠OCK。 ∵∠OCK=∠ODP,∴∠OKC=∠ODP。∴∠KOP=∠POD。∴△OPK≌△OPD。 24.(1)①如图1,作直径BF,直径AG,则由点A为 的 中 点 知 故 ∴∠OAE=∠OBD。在△BOD和△AOE中, ∵ ∴△BOD≌△AOE ∴OD=OE。 ②如图2,连结OB,OC,OA。∵OB=OC═2,BC═2 ，∴△BOC为等腰直角三角形。 ∴∠BOC=90°。由△BOD≌△AOE知,∠BDO=∠AEO。∴∠DOE=∠AOD+∠BOD=∠AOB=45°。 (2)如图3,过点E作EG⊥DO于点G。∵BD=x,圆的半径为2,∴OD= -x²。∵BC=2 ,∴DE= ∵OB=OC=2, ∴∠BOC=90°。∵OD⊥AB,OE⊥AC, 45°。设 EG=a,则OG=a, 由 得 解得a₁ (舍去)。∴OD边上 的 高 学科网（北京）股份有限公司 $