知识板块四 圆中的基本图形同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆中基本图形，以拆分突破形式分层设计，从单一图形计算到综合证明再到跨知识整合，梯度清晰，适配单元复习巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|垂切图、径切图等单一图形计算|填空题型，如给定线段长求直径、半径，强化运算能力| |综合应用|双切图、梯切图等多图形证明与计算|解答题，如切线证明、面积求解，发展逻辑推理| |跨知识整合|圆与抛物线结合|函数几何综合题，如切线长与二次函数面积关系，体现模型观念|

知识板块四 圆中的基本图形 拆分突破11 圆的证明与计算(一)垂切图 1.(2026广东中山)如图,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O上一点,AD 与过点C 的切线互相垂直,垂足为D. (1)若DE=1,DC=2,则AB= ; (2)若DE=4,DC=6,则AC= ; (3)AB=10,CD=4,则AD= ; (4)连接EC.若EC∥AB,DE=4,则⊙O的半径为 . 2.(2026武汉市硚口区期末)如图,AB 是⊙O 的直径,C是⊙O上一点,D 是BC 的中点,过点D作直线AC 的垂线EF,垂足为E,EF 交AB 的延长线于点F.若AC=2CE=6,求阴影部分图形的面积. 3.如图,AB 为⊙O的直径,C 为⊙O上的一点,AD⊥CD 于点D,CD 是⊙O 的切线.设AD 交⊙O 于点E. △ACD的面积为 6,求 BD 的长. 拆分突破12 圆的证明与计算(二)径切图 1.(2026江岸)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O上一点,延长AB 至点E,使得CE 与⊙O 相切.若 BC=BE,AB=6,则阴影部分的周长为 .(结果保留π) 2.(2026大连期末)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD∥AB,过点 D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点 E,连接 BC,BD. (1)求证:∠E=∠CBD; (2)若AE=8,DE=4,求CD的长. 3.(2026恩施期末)如图,⊙O是△ABC 的外接圆,且AB=AC,连接BO并延长交⊙O 于点D,过点A 作AE⊥BD,垂足为E,点 F 在BD 的延长线上,连接AF,使∠FAE=2∠ABD. (1)判断直线AF 与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若 DE=1,BC=4,求⊙O的半径. 拆分突破13 圆的证明与计算(三)双切图 必刷考点一 双切十直径 1.(2026汉阳三初)如图,AB 是⊙O 的直径,∠ABT=45°,AT=AB. (1)求证:AT 是⊙O 的切线; (2)TC与⊙O相切于点C,TB 交⊙O于点D,连接CD.若. 求CD 的长. 必刷考点二 双切+平行 2.(2026海淀区期末)如图,AB,AC分别与⊙O 相切于B,C 两点,BO 的延长线交弦CD 于点E,CE=DE,连接OD. (1)求证:∠A=∠DOE; (2)若OD∥AC,⊙O 的半径为2,求 AB 的长. 必刷考点三 双切+垂切 3.如图,点O在∠APB 的平分线上,⊙O与PA 相切于点C. (1)求证:PB 是⊙O 的切线: (2)OP 与⊙O 相交于点D,直线 CD交PB 于点E,若CE⊥PB,CE=4,求⊙O 的半径. 拆分突破14 圆的证明与计算(四)梯切图 1.(2026仙桃)如图,AB 是⊙O的直径,AD,BC,CD 分别切⊙O 于点A,B,E,若AB=12,BC=4,求 AD 的长. 2.(2026武昌)如图,AB,BC,CD 分别与⊙O相切于E,F,G三点,且AB∥CD,BO=6,CO=8.求 BE 的长. 3.(2026 湘潭期末)如图,⊙O的直径AB=18,AC 和BD 是它的两条切线,CD 与⊙O相切于点E,且与AC,BD 相交于点C,D,设AC=x,BD=y,试求 xy 的值. 4.如图,AB是⊙O 的直径,AC,CD,BD 分别与⊙O相切于点A,E,B,连接AD,BE 交于点F,⊙O 的半径为2,当 F 为AD 中点时,求 BD 的长. 拆分突破15 圆的证明与计算(五)内心图 1.(2026汉阳)如图,⊙O中直径AB⊥弦CD 于E,点 F 是. 的中点,CF 交 AB 于I,连接BD,AC,AD.若OI=1,OE=2,求⊙O的半径. 2.(2026武汉市东西湖区期末)如图,点A,B,D 在⊙O上,BD 是直径,I 是△ABD 的内心,连接AI,并延长交⊙O于点C,过点C作CE∥BD 交AB 的延长线于点E. (1)求证:CE 是⊙O 的切线; (2)若 求图中阴影部分的面积. 3.(2026江岸)如图,I是△ABC 的内心,AI 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点D. (1)求证:DB=DI; (2)若OI⊥AD,IM⊥AB 于点M.求证:BC=2AM. 拆分突破16 切圆与抛物线 必刷考点一 知圆 1.如图，二次函数 的图象与x轴分别交于点A，B(点A 在点B 的左侧)，直线l是对称轴.点 P 在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点 P 作PM⊥l，垂足为M，以点 M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与⊙M 相切，切点为T. (1)求点 A,B 的坐标; (2)若以⊙M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与△PAB 的面积相等，求⊙M 的半径r. 必刷考点二 隐圆 2.如图，抛物线 交x轴于A(-1,0)和B 两点,交y轴于点C(0,3). (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)直线y=x+m与抛物线交于M，N 两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使∠MPN=90°,求m 的值. 知识板块四 圆中的基本图形 拆分突破11 圆的证明与 计算(一)垂切图 1.解:过点O作OH⊥AE 于点 H,连接OC,则 AH=HE,易证四边形OCDH 为矩形, ∴DH=OC,OH=CD. (1)AB=5; (3)AD=8(过程略); (4)∵AE∥OC,EC∥AB, ∴四边形AOCE 是平行四边形， ∴OC=AE=DH. 设AH=HE=a, 则AE=2a,DH=a+4, ∴2a=a+4, ∴a=4, ∴OC=DH=8, 即⊙O的半径为8. 2.解:连接OD,BC 交于点 H,连接DB、 ∵D是BC的中点, ∴OD 垂直平分BC, ∴易证四边形 DHCE 是矩形. ∵AC=2CE=6, ∴DH=CE=3, ∵OA=OB,HC=HB, ∴DH=OH, ∴BC 垂直平分OD, ∴DB=OB=OD=2DH=6, ∴△DOB 是等边三角形, ∴∠DOF=60°, ∵∠ODF=90°, ∴∠F=90°-∠DOF=30°, ∴OF=2OD=12, ∴DF= √OF²-OD²=6 ∴SBB= S△DOF - SABDOB= 6×6 -60π×60²=18 -6π. 3.解:∵CD/A= ∴设AC=5x,CD=3x, ∴AD=4x. ∵△ACD的面积为6, ∴ AD·CD= ×4x·3x=6, ∴x=1(负值舍去), ∴AD=4,CD=3,AC=5. 连接BC,BE,BE 交OC 于点 F,则OC⊥BE,BF=EF. ∵AB 为⊙O的直径, ∴∠AEB=∠DEB=90°, ∴四边形CDEF 是矩形, ∴EF=CD=3, ∴BE=6. 设AE=y,则OF= y,DE=CF =4-y,OB=OC=4- y, 由 解得AE=y= 拆分突破12 圆的证明与 计算(二)径切图 1.3+π 解:连接OC. ∵CE 与⊙O 相切, ∴∠OCE=90°. ∵BC=BE, ∴∠BCE=∠E, ∵∠BCE+∠OCB=∠E+∠COB=90°, ∴∠OCB=∠COB, ∴BC=OB=OC=3, ∴△BOC 是等边三角形, ∴阴影部分的周长为 BC+lα=3+π. 2.解:(1)连接OC,OD,作OI⊥CD 于点I. ∵OC=OD, ∴∠DOI=∠CBD. ∵CD∥AB, ∴∠BOI=∠OIC=90°. ∵DE 与⊙O 相切于点D, ∴DE⊥OD, ∴∠ODE=90°, ∴∠DOI=∠E=90°-∠BOD, ∴∠E=∠CBD; (2)作 DF⊥OE 于点F. ∵∠OFD=∠FOI=∠OID=90°, ∴四边形OIDF 是矩形、设OA=OB=OD=r。 且AE=8,DE=4, 解得r=3, ∴OD=3,OE=8-3=5. 3.解:(1)直线 AF 与⊙O 相切.理由:∵∠FAE=2∠ABD,∠FOA=2∠ABD, ∴∠FAE=∠FOA. ∵AE⊥BD, ∴∠AEO=90°, ∴∠FOA+∠EAO=90°, ∴∠FAE+∠EAO=90°,即∠FAO=90°, ∴OA⊥FA. ∵OA 为⊙O 的半径, ∴直线AF 与⊙O 相切; (2)延长 AE 交⊙O 于点 H,连接BH. ∵BD 为⊙O 的直径,AE⊥BD, ∴BD 平分AH,即 BD 为AH 的垂直平分线， ∴BA=BH, ∵AB=AC, ∴BH=AC, ∴AH=BC=4. 设⊙O 的半径为r,则OE=OD-DE=r-1,在 Rt△OAE 中, 解得r=2.5. ∴⊙O 的半径为2.5. 拆分突破13 圆的证明与 计算(三)双切图 1.解:(1)略; (2)连接OT,AC 交于点 E,连接 BC,AD. ∵AT,CT 分别切⊙O 于点A,C, ∴OT 垂直平分AC, 由 OT·AE,得 过点 B 作BH⊥CD 于点 H. ∵∠ACD=∠ABT=45°,∠ACB=90°, ∴∠BCD=135°, 2.解:(1)连接OC,证明略; (2)过点 C 作CH⊥AB 于点H,则四边形 BECH 是矩形, ∴BH=CE,CH=BE, ∠CHA=∠BHC=90°, ∵OD∥AC, ∴∠DOC=∠ACO=90°, ∵OC=OD=2, ∠DOE=∠COE=45°, ∴∠A=45°, 3.解:(1)证明略; (2)过点O作ON⊥CD 于点 N. ∵OC=OD, ∴∠CON=∠DON, 又∵CE⊥PB, ∴∠OND=∠DEP=90°, ∴ON∥PM, ∴∠DON=∠DPE, 又∵PA,PB 是⊙O的切线, ∴∠CPO=∠EPD, ∴∠CON=∠DON=∠CPO. ∵∠CON+∠DON+∠CPO=90°, ∴∠CON=30°, 设OC=r,则 ∵∠ONE =∠NEM =∠OME =90°, ∴四边形ONEM 是矩形, ∴NE=OM, 解得 ∴⊙O的半径为- 拆分突破14 圆的证明与 计算(四)梯切图 1.解:过点 C 作CH⊥AD于点H,∵AD 和BC 分别切⊙O 于A,B两点， ∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90°, ∴四边形ABCH 是矩形, ∴CH=AB=12,AH=BC=4, ∵CD 是⊙O 的切线, ∴AD=DE,CE=BC, ∴DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4, ∴AD=9. 2.解：由切线长定理，得 ∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠DCB=180°, ∠DCB)=90°, ∴∠BOC=90°, 连接OF, ∵BC 是⊙O的切线, ∴OF⊥BC, ∴6×8=10OF,解得 在 Rt△OBF 中, 3.解:连接OC,OD. ∵AB=18, ∴OA=OB=9, ∵AC 和BD 是它的两条切线， ∴OA⊥AC,OB⊥BD, ∴AC∥BD, ∴∠ACD+∠BDE=180°, ∴∠OCD+∠ODC=90°, ∵AC=x,BD=y, ∵CD 是⊙O的切线, ∴CE=AC=x,DE=BD=y, 即 整理得：2xy=162, ∴xy=81. 4.解:连接AE,OD 交 BE 于点 K,则OK∥ AE,可证△AEF≌△DFK, ∴EF=FK=t,则BK=EK=2t, ∴BF=AF=FD=3t, 故 在 Rt△AEB 中, 即 =8, 拆分突破15圆的证明与 计算(五)内心图 1.解:连接DI,OD. 证BI=BD,设⊙O的半径为r, ∵OI=1,OE=2, ∴BE=r-2,BD=BI=r+1, 由勾股定理，得 r₂=3- (舍), ∴⊙O的半径是3+ 2.解:(1)连接OC,证明略; (2)作 BF⊥CE 于点 F,则∠BFE=∠BFC=90°, ∵∠BFC=∠OCF=∠BOC=90°, ∴四边形 BOCF 是矩形, ∵OC=OB, ∴矩形 BOCF 是正方形. ∴BF=CF=OB, 设OB=3x,则 BF=CF=3x,CE=4x, ∴EF=CE-CF=x, 在 Rt△BEF 中, ∴x=2(舍去负值), ∴EF=2,BF=6, =42-9π. 3.证明:(1)连接BI,证明略; (2)连接OD 交BC 于点E, ∵∠BAD=∠CAD, ∴BD=CD, ∴OD⊥BC,BE=CE, ∵OI⊥AD,IM⊥AB, ∴∠BED=∠AMI=90°,IA=DI, ∵DB=DI, ∴DB=IA, ∵∠DBE=∠DAC,∠IAM=∠DAC, ∴∠DBE=∠IAM, 在△DBE 和△IAM中, ∠BDE=∠AML, DB=IA, ∴△DBE≌△IAM(AAS), ∴BE=AM, ∴2BE=2AM, ∵BC=2BE, ∴BC=2AM. 拆分突破16 切圆与抛物线 1.解:(1)令y=0,则 解得 ∴A(2,0),B(4,0); ∴对称轴为x=3. 设 ∵PM⊥l, 连接MT,则MT⊥PT, 即以切线长 PT 为边长的正方形的面积为 过点 P 作PH⊥x轴,垂足为 H,则 ∵r>0,∴r=1. 2.解:(1)由题意,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3; (2)①当以 MN 为直径的圆和x 轴相切时，符合题设条件，设MN 的中点为点S,则 PS⊥x轴,设点 M,N的横坐标为s,t,联立y=x+m与y 即x+m=-x²+2x+3,则s+t=1,st=m-3,由直线MN 的解析式知，其与x轴的夹角为45°, 则 点S 的横坐标为 ∴点 S 的坐标为 ∵MN=2SP,则 即 解得 ②当点A 或B在直线y=x+m上时，也符合题设条件， 将点A(-1,0),B(3,0)代入y=x+m,得0=-1+m或0=3+m,解得m=1或-3. 综上 或1或-3. 学科网（北京）股份有限公司 $