第1章 二次函数章节复习（10大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学二次函数章节复习讲义通过知识框架系统梳理了二次函数的概念、图象与性质、系数关系、几何变换、解析式确定、实际应用及与一元二次方程的联系，用表格呈现教学目标与重难点，清晰展示知识内在逻辑与核心考点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖10类核心题型，如二次函数应用中利润最值、喷水轨迹等实例，培养模型意识与应用能力。每种题型配典例与变式，结合待定系数法等方法指导，助力基础薄弱学生掌握方法，优秀学生深化思维，为教师提供精准分层教学支持。

第1章 二次函数章节复习 教学目标 1. 理解二次函数的概念，掌握y＝ax²+bx+c（a≠0）的一般形式及顶点式、交点式，能准确识别二次函数。 2. 会绘制二次函数图象，掌握开口方向、对称轴、顶点等特征，理解其对称性与增减性。 3. 能运用待定系数法求表达式，会建立二次函数模型解决实际最值问题，知晓与一元二次方程的联系。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解二次函数的定义与性质，熟练掌握三种表达式的转化及图象核心特征的判断。 （2）掌握待定系数法求表达式的方法，能运用二次函数解决利润、面积等实际应用问题。 2.难点 （1）理解二次函数中系数a、b、c对图象的综合影响，难以灵活运用图象性质分析复杂问题。 （2） 难以将实际问题中的数量关系抽象为二次函数模型，解决最值问题时易忽略自变量取值范围。 一、二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 三、二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 四、二次函数的图象与几何变换 1.二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 2.二次函数图象的对称 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、 二次函数的解析式 1.二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式：（，，为常数，）； （2） 顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： （1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 六、二次函数的应用 1. 核心应用场景： - 最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 - 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题求解。 2. 解题步骤： - 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 - 建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 - 求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 - 检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3. 关键技巧与思想： - 解析式选择：最值问题优先用顶点式 y=a(x-h)^2+k ，已知交点用交点式 y=a(x-x_1)(x-x_2) 。 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 - 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 七、二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 题型01 二次函数的概念 【典例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义知，，解得的值，在选项中逐个排除即可． 【详解】解： 函数是关于的二次函数， ． 且． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）当______时，函数是二次函数． 【答案】3 【分析】根据二次函数的定义，最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值． 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 题型02 y=a（x-h）²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． 【变式1】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，开口方向是______，顶点坐标是_______，对称轴是________；当______时，随的增大而增大；当______时，随的增大而减小；当_____时，函数取得最______值，为______． 【答案】 向上 直线 小 【详解】解：在抛物线解析式中， 抛物线开口向上，函数存在最小值，顶点坐标为，对称轴为直线， 开口向上的抛物线，在对称轴右侧随的增大而增大，在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；当时，函数取得最小值，最小值为． 【变式3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数． (1)求出此二次函数图象的顶点坐标． (2)求出y随x的增大而减小时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将二次函数的一般式通过配方法得到顶点式，据此得到顶点坐标即可； 由（1）知，二次函数的图象开口向上，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，据此进行求解即可． 【详解】（1）解：二次函数， 则顶点坐标为， 答：二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 则对称轴为，此时该函数的最小值为1， 由于该二次函数图象开口向上， 因此，当时，y随x的增大而减小，最小值为1． 答：当y随x的增大而减小时，x的取值范围为． 题型03 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例1】（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 【变式1】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若二次函数的图象经过点，则______． 【答案】2027 【分析】将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：将点代入，得 ， 即， ． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先求出对称轴，再根据抛物线的对称性得出点的对称点，然后根据抛物线的开口方向和性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是， ∴点的对称点的坐标是． ∵抛物线开口向上，当时，随着的增大而增大，且， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·全国·周测）已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) 填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … (2)二次函数的图象如下图所示即为所求： (3) (4) 【分析】（1）根据所给表格代入相应的，求出y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据图象，找到最高点和最低点，即可看出y的取值范围． （4）根据图象，可得函数的对称轴以及开口方向，即可看出x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）略 （3）解：由题意可得：当时，的取值范围是. （4）解：由图可得，二次函数的对称轴为，开口向下，那么当时，随的增大而增大． 题型04 二次函数图象与各项系数符号 【典例1】（25-26九年级上·山西忻州·月考）如图，这是二次函数的图象，则与0的大小关系为（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据图象可知开口向上，与y轴交于负半轴，且交点的纵坐标大于，因此，，得到，进而即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，且交点的纵坐标大于， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象的性质等知识点，能熟练利用二次函数的性质进行分析、判断是解题的关键． ①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断； 【详解】解：①由图象得：，， ， ， ，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ， ，即，即②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴， ∴， ∴（m为任意实数），故③错误； ④∵，， ，， ∴ ， ， ， ∴，故④正确． 故正确的结论有：①④． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·月考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题的关键． 从抛物线开口向下得，对称轴得，与轴正半轴交点得，故，①错误；由对称轴，得，代入后，结合，故②正确；当时，二次函数最大值为，即对任意实数，，两边减得，即，故③正确；联立抛物线与直线方程，得的横坐标为；结合对称轴得，再由 “横坐标小于” 和，推导得，故④正确． 【详解】解：①：∵抛物线开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； ②：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②正确； ③：由抛物线图像可知：当时，二次函数最大值为， ∴当取全体实数时，， ∴，即，故③正确； ④：联立， 化简得， ∴或， 即点的横坐标为， ∵， ∴， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴， ∵， ∴，即， 解得，故④正确； 综上，正确的有：②③④． 故答案为：②③④． 题型05 二次函数的平移 【典例1】（2025九年级上·河南信阳·专题练习）将抛物线的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的平移，利用“左加右减，上加下减”的平移规则，得出平移后的解析式，再根据顶点式求顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位， ∴平移后解析式为， ∴顶点坐标为． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式． 【详解】解：∵原抛物线 的顶点为， ∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为． ∴平移后顶点为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． 故选：A 【变式2】（25-26九年级上·上海·月考）若将抛物线向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得到的新抛物线表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，依次调整表达式． 【详解】解：原抛物线为 ， 先向下平移3个单位，得 ， 再向左平移1个单位，将 替换为 ，得 ， 故新抛物线表达式为 ， 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·月考）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平移规则，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，进行求解即可； （2）根据顶点式的图象和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 题型06 利用二次函数的对称性求解 【典例1】（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】由于两点纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为 ，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的计算，熟练掌握对称轴的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等， ∴点 和 关于对称轴 对称， ∴ ， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，，是二次函数图象上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键．把原函数解析式化成顶点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断，，的大小． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为， ，与三点中，点到对称轴较的距离为；点在对称轴上，点到对称轴较的距离为，， ． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山西朔州·月考）已知二次函数的图象的对称轴是直线，若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 0 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键． 先根据解析式，求出二次函数的对称轴，再根据开口方向和对称轴判断函数的增减性即可． 【详解】解：由二次函数的顶点式可得，其开口向上，对称轴为直线，当时，函数取最小值， ∵抛物线关于直线对称， 又∵处函数取最小值， ∴抛物线上的点到直线越近，其纵坐标越小， 点到对称轴距离为2，点到对称轴距离为，点到对称轴距离为4， ∵， ∴． 故答案为：． 题型07 确定二次函数的解析式 【典例1】（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键． 由题意得，二次函数的对称轴为直线，可求出的值，把点代入解析式，得，由此可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：由题意得，该二次函数的对称轴为：直线， 则， 解得：， 把点代入解析式，得， 故这个二次函数的表达式为， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）顶点坐标为的拋物线还经过原点，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的计算是关键． 由顶点坐标设出抛物线的顶点式，再代入原点坐标求出参数值，即可得解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将原点代入得：，即， 解得， 故解析式为，展开得 ， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则h的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了抛物线的平移．根据抛物线的平移规律，得到平移后的解析式后，代入点，即可求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后的解析式为， 即平移后的抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得：． 故答案为：6 【变式3】（25-26九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的区间最值，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法以及二次函数的增减性是解题的关键． （1）将点代入得出，根据对称轴得出，即可解答； （2）根据二次函数的增减性，分别求出该函数的最大值以及当和当时y的值，即可解答． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴， 又∵对称轴为直线，即， ∴， 把代入得：， ， 该二次函数的解析式为 （2）解：，对称轴为直线，， 当时，y取最大值，最大值为 当时，y随x的增大而增大，当时，； 当时，y随x的增大而减小，当时， 当时，函数值y的取值范围为 题型08 二次函数的应用 【典例1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意，每日利润等于每匹利润乘以日销售量，每匹利润为售价减成本，即文；日销售量为基础销售量30匹加上因降价增加的销售量，降价额为文，因此日销售量为匹，从而求得答案． 【详解】解：设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，根据题意可知， ， 即， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，有长为30米的篱笆，一面利用长为12米的墙，花圃的一边靠墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（连接处的篱笆长度不计），则花圃的最大面积是 平方米． 【答案】72 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，花圃的面积为，则，花圃的面积为，根据矩形的面积公式，列出二次函数的解析式，进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 由题意，， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，最大为； 故花圃的最大面积是平方米； 故答案为：72． 【变式2】（25-26九年级上·江西新余·月考）“江西茶香天下”，我省某茶叶经销商销售一种新上市的茶叶，每盒的进价为50元，试营销阶段发现：当销售价格为80元/盒时，每周的销售量为150盒，为扩大销量，该茶叶经销商决定降价销售，已知销售价格每下降1元/盒，每周的销售量就增加10盒，且销售价格为整数． (1)若该茶叶经销商销售这款茶叶每周要获得销售利润3500元，求销售价格． (2)当销售价格定为多少元/盒时，该茶叶经销商销售这款茶叶每周的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)60元/盒 (2)72或73元/盒；5060元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设销售价格为元/盒，根据单盒销售利润销售的盒数总利润，列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设销售价格为元/盒，每周的销售利润为元，根据题意得出关于的函数关系式，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设销售价格为元/盒． 根据题意得，， 整理得， 解得，（舍去）． 答：销售价格为60元/盒． （2）解：设销售价格为元/盒，每周的销售利润为元， 根据题意得， ， ，为整数， 当或时，有最大值，最大值为5060元， 当销售价格定为72或73元/盒时，该茶叶经销商销售这款茶叶每周的销售利润最大，最大利润为5060元． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·月考）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)此抛物线的解析式为： ； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1) (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 题型9 二次函数与一元二次方程 【典例1】（25-26九年级上·河北张家口·月考）抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴令时，则， 解得， 即抛物线与x轴的交点坐标分别是， 则对称轴为直线， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴性质，熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴另一个交点的横坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，抛物线与一元二次方程．根据抛物线经过点，且其对称轴是直线，求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，故一元二次方程的根是，，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线， ∴， 即抛物线与轴的交点坐标为， ∴一元二次方程的根是，， 故答案为：，， 【变式3】（25-26九年级上·北京海淀·月考）二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键， （1）利用待定系数法解函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到当时， x的取值范围； （3）根据图象分两种情况讨论可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：的图象过点，，对称轴是直线， ∴ 解得： ∴二次函数的表达式为：． （2）解：∵， 令，即， ∴， 解得：， ∴二次函数与轴的两个交点是，， ∵， ∴开口向下， 由函数图象可知：当时， ∴． （3）解：由（1）知，二次函数解析式为：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为：， 由图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标大于0，即此时有两个不同的正实数根． 当时，与的图象有一个交点，且交点的横坐标大于0，即此时有两个相同的正实数根． 综上可知，当时，总有两个正实数根． 题型10 二次函数与不等式 【典例1】（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图抛物线，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，通过图象确定不等式的解集是解题的关键． 首先明确不等式的解集代表的是抛物线的图象在x轴下方的部分，再根据图象得到解集即可． 【详解】解：由图可知，不等式的解集是． 故选：C 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下， 当时，自变量x的取值范围为或． 故答案为：或 【变式3】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)观察图象，写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点，点，代入抛物线，然后利用待定系数法确定解析式即可． （2）求得方程的两个根，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线与方程的根，不等式的解集确定，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点，代入抛物线， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 解得， 故不等式的解集为或． 一、单选题 1．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向上平移5个单位长度可得到抛物线． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 4．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， 对称轴在 轴右侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， 抛物线与轴有两个不同的交点， 一元二次方程 有两个不相等的实数根， 综上所述，，，． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 【答案】C 【分析】将抛物线解析式配方化为顶点式，结合二次函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：对抛物线解析式配方，得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 平移不改变二次项系数的符号与大小，该抛物线二次项系数为，与的二次项系数符号不同， 说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，与选项中不符， 说法错误，不符合题意； 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，． 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 说法正确，符合题意； 对称轴在范围内，且抛物线开口向下， 当时，取最大值，与选项中最大值为不符， 说法错误，不符合题意． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． （1）若点在该函数图象上，则点P的坐标为____________； （2）该函数图象与y轴的交点坐标为______； （3）当时，y随x的增大而______；当时，y随x的增大而______； （4）y有最______值，当时，y取得最______值，是______． 【答案】 或 增大 减小 小 小 【详解】解：已知二次函数． （1）若点在该函数图象上，则，解得或， ∴点P的坐标为或； （2）当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为； （3）∵， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （4）∵， ∴y有最小值，当时，y取得最小值，是． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，则一元二次方程的解为_______________，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的解即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是． 则， 解得， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的解为． 观察图象可知，当时，x的取值范围是． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 【答案】 【分析】将、两点坐标代入二次函数解析式，求出和的值得到完整解析式，再求函数与轴的交点坐标，最后计算的长度． 【详解】解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵点坐标为， ∴另一个交点坐标为， ∴的长为． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 【答案】 【分析】求出点三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 【详解】解：对于， 令，则，故， 令，则，故， 令，可得， 解得或，故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对, 令，则，故， ∴ ∴ 三、解答题 11．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 12．（25-26九年级下·甘肃定西·开学考试）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）； （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 13．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 14．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·周测）下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据二次函数的定义判断是否符合条件，需要化简的要化简为最简形式再判断． 【详解】解：A、中的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； C、符合二次函数要求，是二次函数，符合题意； D、化简得，为常数函数，不是二次函数，不符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 3．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 4．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出． 【详解】解：设点坐标为， 轴，， ， 、、三点均在二次函数的图象上， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ． 5．（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据开口方向可得a的符号，根据与y轴的交点位置可得c的符号，再根据对称轴公式可得b的符号，据此可判断①；根据开口方向可得当时，函数有最大值，最大值为，则可得到，据此可判断②；根据对称轴和开口方向可得增减性，据此可判断③；根据顶点的纵坐标，结合离对称轴越远，函数值越小可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 9．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 10．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】根据一次函数和二次函数的性质，结合函数图象，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，故①正确； ②∵当时，一次函数图象在二次函数图象的上面， ∴当时，，故②正确； ③根据函数图象可得：抛物线与x轴的两个交点都在的右侧， ∴把代入得， ∴不在二次函数图象上， ∴方程的一个解一定不是，故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点为，另外一个交点在的右侧，且， ∴抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴当时，函数值随着的增大而减小，故④正确； 综上，正确的是①②④． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】(1) 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． (2) 的值为或． 【分析】（1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 13．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 14．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】(1)①；② (2)丙的平均速度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 15．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求线段长度的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，且与的和最小；点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，请直接写出的值； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将代入得到关于的二元一次方程组求解即可； （2）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可； （3）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求点的坐标，根据题意画出图形，分情况求解即可； （4）抛物线，顶点，对称轴，分区间讨论的范围，根据“最大值最小值”列方程求解． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解这个方程组得， 抛物线的解析式为． （2）解：如图，设直线的解析式为：， 把点代入， 得， 解得， 直线的解析式为：， 设，则， 则， 当时，有最大值为． （3）解：由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 由（2）知直线的解析式为：， 把代入，得， 点的坐标为； 如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ，， ， 若以点为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点作轴于点，，则为等腰直角三角形， 过点作，则为等腰直角三角形， 则四边形为正方形， 依题意，知与重合，， ， 则点的坐标为； ②以为中心分别作点的对称点，连接， ，，，为等腰直角三角形， 则四边形是菱形，为等腰直角三角形，点的坐标为 ， 则四边形是正方形，则点的坐标为； ③延长到使，作于点， ， 则四边形是矩形， 又， 则四边形是正方形， ， 即为的中点， 又， 则的坐标为； ④取的中点，的中点，连接， 由①②得，为等腰直角三角形， ，为等腰直角三角形， 则为正方形， ， 则的坐标为， 综上所述，点N的坐标为：． （4）解：抛物线，顶点，对称轴， 在区间： ①当，区间最小值为， 区间最大值． 当，最大值在处为，，不满足； 当，右端点的函数值更大， 令，解得（负根舍去）； ②当时，函数在单调递减， 最小值在，最大值在， 则有， ，，方程无实根， 综上，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 第 二次函数 www.zxxk.com 上好每一堂课 1章 二次函数章节复习 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01二次函数的概念 知识点02二次函数的图象 知识点03二次函数与系数的关系 知识点04二次函数图象的几何变换 2.知识清单 知识点05二次函数的解析式 知识点06二次函数的应用 知识点07二次函数与一元二次方程 题型01二次函数的概念 题型02y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型03y=ax2+bx+c的图象与性质 题型04二次函数图象与各项系数符号 题型05二次函数图象的平移 3.题型精讲 题型06利用二次函数的对称性求解 题型07确定二次函数的解析式 题型08二次函数的应用 题型09二次函数与一元二次方程 题型10二次函数与不等式 基础自测 4.强化训练 能力提升 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 教学目标 教学重难点 1.理解二次函数的概念，掌握y=ax2+bx+c(a≠0)的一般形式及顶点式、交点式， 能准确识别二次函数。 2.会绘制二次函数图象，掌握开口方向、对称轴、顶点等特征，理解其对称性与增 教学目标 减性。 3.能运用待定系数法求表达式，会建立二次函数模型解决实际最值问题，知晓与一 元二次方程的联系。 1.重点 (1)透彻理解二次函数的定义与性质，熟练掌握三种表达式的转化及图象核心特征 的判断。 (2)掌握待定系数法求表达式的方法，能运用二次函数解决利润、面积等实际应用 问题。 教学重难点 2.难点 (1)理解二次函数中系数、b、c对图象的综合影响，难以灵活运用图象性质分析复 杂问题。 (2) 难以将实际问题中的数量关系抽象为二次函数模型，解决最值问题时易忽略 自变量取值范围。 知识清单 一、二次函数的概念 1.形如y=aX2+bx+C(其中Q,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一 次项系数，c为常数项」 注意：二次项系数a≠0，而b,C可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数. 2二次函数y=ar+br+C的结构特征： (①)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. (②)a,b,C是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 二、二次函数的图象 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1二次函数y=ax2(Q≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点当Q>0时，抛 物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<O时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点 2二次函数y=ax-m?(a≠0)的图象的顶点坐标是(m,0),对称轴是直线x=m.图象的开口 方向：当a>0时，开口向上；当Q<0时，抛物线开口向下， 3.二次函数y=aX-m2+k(Q≠0)的图象的顶点坐标是(m,k),对称轴是直线x=m,图象的 开口方向：当a>0时，开口向上；当Q<0时，抛物线开口向下， b x=- 4二次函数y=aX+bX+C(a≠0)的图象是一条抛物线，它de对称轴是直线 2a,顶点坐标 b 4ac-b2 4a 是 2a 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线 开口向下，顶点是抛物线上的最高点， 三、二次函数的图象与系数的关系 二次函数y=ax2+bx+C(a≠0)的系数与图象的关系 (1)a的符号由抛物线y=ax+bx+C的开口方向决定：开口向上一a>0,开口向上一a>0, (2)b的符号由抛物线y=ax+bx+C的对称轴的位置及a的符号共同决定：对称轴在y轴左侧 台a,b同号，对称轴在y轴右侧台a,b异号： (3)c的符号由抛物线y=ax2+bx+C与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交一c>0,与y轴 正半轴相交→c<0 四、二次函数的图象与几何变换 1.二次函数的平移 (1)平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式y=(x-h)+k,确定其顶点坐标（伍，）； ②保持抛物线y=心'的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下： 3/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向上(>0)【或向下(<0)】平移个单位 y=ax2 y=ax 2+k 向右(h>0)【或左(<0)】 向右(h>0)【或左(<0)】 平移个单位 向右(>0)【或左(<0)】 平移k个单位 平移k个单位 向上(>0)【或下(<0)】 平移阳个单位 y=a(x-h)2 向上(>0)【或下(<0)】平移附个单位 y=a(x-h)2+k (2)平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移：k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下 减”. 2.二次函数图象的对称 (1)关于x轴对称 y=ar+br+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ar-br-c; y=a(-h+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x--k: (2)关于y轴对称 y=r+br+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=心-br+c; y=a(x-h+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(c+h)°+： (3)关于原点对称 y=ar+br+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-r+br-c; y=a(x-h+关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+-k: 4.关于顶点对称 y=a+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是yrr+c- 2a; y=a(x-h)+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此网永远不变.求抛物 线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物 线（或表达式己知的抛物线)的项点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后 再写出其对称抛物线的表达式. 五、二次函数的解析式 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y=ar+br+c(a,b,c为常数，a≠0)： (2)顶点式：y=ax-h)'+k(a,h,k为常数，a≠0)： (3)两根式：y=a(x-x(x-名)(a≠0，，五是抛物线与x轴两交点的横坐标) 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b-4aC≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便， 一般来说，有如下几种情况： (1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式： (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式： (3)己知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； (4)己知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式. 六、二次函数的应用 1.核心应用场景： -最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 -实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问 题求解。 2.解题步骤： -审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 -建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 -求解：代入己知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 -检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3.关键技巧与思想： -解析式选择：最值问题优先用顶点式y=a(x-h)^2+k,已知交点用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。 -数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 一实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 七、二次函数与一元二次方程 二次函数y=ar+b+c（a,b,c是常数，a≠0) 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ar+b+c=O的解 2.若已知二次函数y=ar+b种c的函数值为s,求自变量x的值，就是解一元二次方程ar+bc5 题型精讲 题型01二次函数的概念 【典例1】(26-27九年级上·全国单元复习)下列函数中，一定是二次函数的是() A.y=x(x-1) B.y=(x+42-x2 c.y=- D.y=ax2+6 【变式1】(26-27九年级上全国课后作业)若函数y=(a+)x2+1是关于x的二次函数，则a的值不可 能是() A.-2 B.-1或0 C.1 D.4 【变式2】(26-27九年级上全国课后作业)当m= 时，函数y=3x+2x-1是二次函数. 【变式3】(26-27九年级上·全国课后作业)已知两个变量x,y之间的关系式为 y=(a-2)x2+(b+2)x-3. (1)当 时，x,y之间是二次函数关系. (2)当 时，x,y之间是一次函数关系 题型02 y=a（x-h)2+k的图象和性质 【典例1】(26-27九年级上黑龙江哈尔滨开学考试)二次函数y=(x-2}'-1的顶点坐标是() A.(2,) B.(-2,-1) C.（-2,1) D.(2,-1) 【变式1】(26-27九年级上浙江金华开学考试)己知A(4,),B(1,),C(-3,)在函数 y=-3(x-2)+2的图象上，则，y2,的大小关系是() A.为<y<y2 B.y<y3<y2 C.y3<y2<y D.为<2<y 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(26-27九年级上全国课后作业)对于抛物线y=2x--1,开口方向是 一，顶点坐标 是 ，对称轴是」 一：当x时，y随x的增大而增大：当x时，y随x的增大而减 小：当x=时，函数取得最值，为 【变式3】(25-26九年级上浙江嘉兴期中)已知二次函数y=x2-4x+5 (1)求出此二次函数图象的顶点坐标. (2)求出y随x的增大而减小时，x的取值范围. 题型03y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例1】(2026广东肇庆·二模)已知二次函数y=x-2x+1,下列说法错误的是() A.顶点坐标为(1,0) B.对称轴为直线x=1 C.函数图像与x轴有2个交点 D.当x<1时，y随x的增大而减小 【变式1】(25-26九年级下江苏准安期中)若二次函数y=ax2-bx-1的图象经过点(2，)，则 2026+2a-b= 【变式2】(2026江苏扬州一模)若点A(-山y)、B(2,)、C(4,y)在二次函数y=a2-2ax+1(a>0)的 图象上，则出、、的大小关系是 .(用“<”连接) 【变式3】(26-27九年级上全国·周测)已知二次函数y=-x2+2x+2」 (1)填写表中横线处的数值： -1 0 3 … y=-x2+2x+2 -1 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； 7/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) -3-2:-10 12345 6. -4 (3)根据表格、图象可知，当0<x<3时，y的取值范围是 (4)根据图象可知，当x 时，y随x的增大而增大 0 y=-x2+2x+2 3 题型04 二次函数图象与各项系数符号 【典例1】(25-26九年级上山西忻州月考)如图，这是二次函数y=mr+n(m≠0)的图象，则mn+m与 0的大小关系为() A mn+m=0 B.mn+m>0 C.mn+m<O D.无法确定 【变式1】(25-26九年级上黑龙江大庆期中)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0 )的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,下列四个结论：①abc>0;② 3 3 2a+c=0:③㎡+bm≤5-a（m为任意实数)：④若2<c<-4,则-2<a+b+c<-1,其中正确结论 为() 8/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①② B.①④ C.②③ D.①③④ 【变式2】(25-26九年级上·宁夏吴忠·月考)二次函数y=xr+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线 x=1.下列结论：①abc>0;②2a+b=0;③3a+c>0;④am2+bm≥a+b(m为实数).其中正确的 有 【变式3】(25-26九年级上：广东广州期中)如图所示，已知二次函数y=x+br+c的图象与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=-x+C与抛物线y=x+br+C交于C,D两点， D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①abc>0;②2a+b+c>0:③x(ar+b)≤a+b,④a<-1. 其中正确的有 故答案为：②③④ 题型05二次函数的平移 【典例1】(2025九年级上河南信阳专题练习)将抛物线y=2x的图象先向右平移1个单位长度，再向 下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为() 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(-1,-3) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(1,3) 【变式1】(25-26九年级上全国期中)将抛物线y=(x-)+2先向右平移2个单位长度，再向上平移3 个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为() A.y=(x-3)2+5B.y=(x+1)2-1C.y=(x-32-1D.y=(x+1)+5 【变式2】(25-26九年级上上海月考)若将抛物线y=(x-1)+3向下平移3个单位，再向左平移1个单 位，则所得到的新抛物线表达式为一 【变式3】(25-26九年级上河南南阳月考)把二次函数y=a(x-h)+k的图象先向左平移2个单位长度， 再向上平移4个单位长度，得到二次函数y=+-1的图象。 (1)a=-:h=-;k=_: (2)指出二次函数y=a(x-h)'+k图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值. 题型06利用二次函数的对称性求解 【典例1】(25-26九年级上安徽六安月考)已知抛物线y=(x-h)+4经过(-3，m)和(5，m)两点，则h的 值为() A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【变式1】(25-26九年级上浙江杭州期中)已知(-3，y）,（-2,乃)，(1，)是二次函数y=-2x2-8x+m 图象上的点，则() A.yi>y2>y3 B.y2>y>y3 C.3>y2>y D.y>3>y2 【变式2】(25-26九年级上山西朔州月考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2, 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4,则另一个根为x= 【变式3】(25-26九年级上四川泸州期中)己知点A(4,y),B(N5,),C(-2,)都在二次函数 y=(x-2)-1的图象上，则，2，为的大小关系是 10/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07确定二次函数的解析式 【典例1】(2025九年级全国专题练习)已知二次函数y=x+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数 的表达式为() A,y=x2-2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2+2x-3D.y=x2+2x+3 【变式1】(25-26九年级上·云南玉溪期中)顶点坐标为，3)的抛物线还经过原点，则该抛物线的解析式 为 【变式2】(25-26九年级上河北廊坊期中)将抛物线y=-2(x-1)-1先向左平移2个单位长度，再向上 平移h(h>0)个单位长度.若得到的抛物线经过点（-2,3)，则h的值是 【变式3】(25-26九年级上全国期中)已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,5)，对称轴为直线 x=2. (1)求该二次函数的解析式： (2)当-1≤x≤3时，求函数值y的取值范围. 题型08 二次函数的应用 【典例1】(25-26九年级上·辽宁盘锦·月考)《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣 的数学问题.今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售 价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹.己知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文 钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为() A.y=(50-x)30+x) B.y=(x-30)(30+x) C.y=(x-30)(80-x) D.y=(50-x)(80-x) 11/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，有长为30米的篱笆，一面利用长为12米的墙，花圃 的一边靠墙，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD(连接处的篱笆长度不计)，则花圃的最大面积是 平方米。 A B 【变式2】(25-26九年级上江西新余·月考)“江西茶香天下”，我省某茶叶经销商销售一种新上市的茶 叶，每盒的进价为50元，试营销阶段发现：当销售价格为80元/盒时，每周的销售量为150盒，为扩大销 量，该茶叶经销商决定降价销售，已知销售价格每下降1元/盒，每周的销售量就增加10盒，且销售价格 为整数 江西茶香天下 (1)若该茶叶经销商销售这款茶叶每周要获得销售利润3500元，求销售价格， (2)当销售价格定为多少元/盒时，该茶叶经销商销售这款茶叶每周的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【变式3】(25-26九年级上·贵州黔东南·月考)如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放 置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线y=(x+3+5的一部分，已知落 水点B到池中心O的距离为8米 (1)此抛物线的解析式为：一： (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯EF，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射 灯EF与池中心的水平距离： (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水 柱形状和对称轴不变，求水管OA要升高多少米？ 12/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型9二次函数与一元二次方程 【典例1】(25-26九年级上河北张家口月考)抛物线y=-(x-2)(x+4)的对称轴为() A.直线x=1B.直线x=-1 C.直线x=2 D.直线x=-2 【变式1】(25-26九年级上陕西西安期中)已知抛物线y=x-6ar-b(a≠0)与x轴的一个交点坐标为 (-1,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为一· 【变式2】(25-26九年级上黑龙江绥化：月考)如图，抛物线y=ax2+bx+c的一部分经过点A(-1,0),且 其对称轴是直线x=2,则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 【变式3】(25-26九年级上·北京海淀月考)二次函数y=axr+br+C(a≠0)的部分图象和对称轴如图所示. -0 (1)求该二次函数的表达式： (2)当y≥0时，直接写出x的取值范围； (3)若方程ax2+bx+c=k总有两个正实数根，直接写出k的取值范围. 题型10二次函数与不等式 【典例1】(25-26九年级上：广西崇左月考)如图抛物线y=ax+bx+c(a>0),则关于x的不等式 ax2+bx+c<0的解集是() 13/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x>-1 B.x<2 C.-1<x<2 D.-1或>2 【变式1】(25-26九年级上江苏宿迁·月考)如图，函数y=ar2+c与y=mx+n的图象交于A(-l,p), B(3,9)两点，则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是 【变式2】(25-26九年级上：广东广州期中)抛物线y=x+br+3的部分图象如图所示，当y<0时，自 变量x的取值范围为一 -10 【变式3】(24-25九年级上：广西钦州期中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B点，与 y轴交于点C(0,-3) (1)求该抛物线的解析式： (2)观察图象，写出不等式x2+bx+c>0的解集 强化训练 14/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础自测 一、单选题 1.(26-27九年级上浙江金华开学考试)已知二次函数y=x2-3x+2,则其二次项系数a、一次项系数 b、常数项C分别为() A.a=2,b=-3,c=1 B.a=2,b=3,c=1 C.a=1,b=3,c=2 D.a=1,b=-3,c=2 2.(26-27九年级上·全国课后作业)抛物线y=-8x2+5可以看作是由抛物线y=-8x按下列何种变换得 到的() A.向上平移5个单位长度 B.向下平移5个单位长度 C.向左平移5个单位长度 D.向右平移5个单位长度 3.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)抛物线y=与直线y=r-2在同一个平面直角坐标系中 的图象可能是() D 4.(26-27九年级上·天津河西开学考试)二次函数y=2+bx+C的图象如图所示，一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式为△=b2-4ac,则下列判断正确的是() A.b>0,c<0,△>0 B.b>0,c>0,△>0 C.b<0,c<0,△>0 D.b<0,c>0,△<0 5.(26-27九年级上全国课后作业)对于抛物线y=-x-2x+3,下列说法正确的是() A.抛物线y=-x2-2x+3可以由抛物线y=x平移得到 B.抛物线y=-x2-2x+3的顶点坐标为(-1,3) C.当y≥-5时，x的取值范围是4≤x≤2 15/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.当-2≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为3和-21 二、填空题 6.(26-27九年级上全国课后作业)已知二次函数y=3x2-3 (I)若点P(m,0)在该函数图象上，则点P的坐标为 (2)该函数图象与y轴的交点坐标为一： (3)当x>0时，y随x的增大而一；当x<0时，y随x的增大而一 (4)y有最值，当x=0时，y取得最一值，是一 7.(26-27九年级上·全国课后作业)二次函数y=心+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程 ax2+bx+c=0的解为. 当y>0时，x的取值范围是 -o1 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因 素，羽毛球飞行商度（米）与水半宽窝x(米)之同病足关系：少=-号+号+号。则别毛球飞出的水 平距离为 米 9.(26-27九年级上全国单元复习)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(1,2),该图 象与x轴的另一个交点为C,则AC的长为 10.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，二次函数y=- +号+2的图象与x轴交于点人8：与) 3 轴交于点C.点P是第一象限抛物线上的一点.若点P的横坐标为2，则△BPC的面积为一· B 三、解答题 16/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 11.(21-22九年级下·浙江温州开学考试)如图，二次函数y=x+br+C的图象与x轴交于A,B两点， 与y轴交于点C,且关于直线x=1对称，点A的坐标为(-1,0). X= (1)求二次函数的表达式. (2)当y<0时，写出x的取值范围 12.(25-26九年级下甘肃定西·开学考试)某商店经销一种学生用双肩包，己知这种双肩包的成本价为每 个60元.市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5 个.设每个双肩包涨价x元(x为正整数)，每月的销售量为少个. (I)直接写出y与x的函数关系式：-： (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 13.(25-26九年级上陕西安康·期中)如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中 的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m,若以点O为 原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其 运动轨迹为抛物线C:y=(x-3)'+2的一部分，小静恰在点C(0,c)处接往，然后跳起将沙包回传，其运 动轨迹为抛物线C,:y=日2+只x+c+1的一部分. 8 8 Ay/m C C B A x/m 图1 图2 (1)求a,c的值 (②)小林在x轴上方lm的高度上，且到点A水平距离不超过lm的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小 静的回传沙包，求n的整数值， 14.(25-26九年级上陕西安康期中)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-l,0),B两点，交y轴于 C(0,3),点P在抛物线上，横坐标为m. 17/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式。 (2)当点P在x轴上方时，求出m的取值范围。 (3)若抛物线在点P右侧部分（含点P)的最高点的纵坐标为-1-m,求m的值. 26-27九年级上全国单元复习)如图，已知抛物线y=x+2x+4的对称轴是直线x=3,与 交于A,B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C, (I)求线段AB的长： (2)若点M是抛物线上B,C两点之间的一个动点（不与点B,C重合），设点M的横坐标为，过点M作 MNMy轴，交直线BC于点N. ①当线段MN的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作DM⊥MN交抛物线于点D,是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求出m的 值；若不存在，说明理由. 能力提升 一、单选题 1.(26-27九年级上·全国周测)下列各式中，y是x的二次函数的是() A.y=2x B.y=x3+1 C.y=x2+x D.y=3(x-1)(x+1)-3x2 3 2.(2627九年级上全国课后作业)对于抛物线y=一x+4,下列结论： ①开口向上： 18/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②对称轴为x=4: ③顶点坐标为(-4,0)： ④当x>-4时，y随x的增大而减小. 其中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(26-27九年级上四川成都开学考试)已知关于x的二次函数y=-2x2+8x+k的图象上有三个点： A(-2,),B(-1,),C(5,),则，，的大小关系是() A.为<2=3 B.y>y2=y C.片<y<3 D.<<2 4.(24-25九年级下·安徽芜湖自主招生)如图，点A,B,C均在二次函数y=x的图象上，M为线段 AC的中点，BMy轴，且MB=3.设A,C两点的横坐标分别为4，(<)，则5-4的值为() A.3 B.25 C.4 D.2W2 5.(26-27九年级上全国·周测)如图，抛物线y=2+bx+c的对称轴为x=1,与x轴分别交于点(m,0) (n,0),且m<n.下列结论：①abc<0;②a2+bt<a+b(t为实数)：③当x<2时，y随x的增大而增 大；④若方程ax2+bx+c-1=0的两个实数根分别为，x,且<x2,则m<,<x2<n,正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(25-26九年级上广东江门期中)若函数y=(m-3)x中+2x-1是关于x的二次函数，则m的值为 19/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(26-27九年级上·全国课后作业)“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光 学原理折射出图象.水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P, PB⊥AB,BP=10m,AB=2m,水嘴高AD=6m,以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在 的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为 (不用写出自变量的取值 范围)· P 水嘴 D 水槽 8.(2026九年级上·全国专题练习)如图，抛物线y=x与直线y=bxr+C的两个交点坐标分别为 A(-3,4),B(1,),则不等式a2≤bx+c的解集是一· VA 9.(2026甘肃武威中考真题)如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到 捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）·图2是一次捕食中一条射水 鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(cm)与水平距离x(cm)近似 满足函数关系y=一 x2+4x(x≥0).若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流 10 击 中昆虫.（填“能”或“不能”） y/cm /cm 图1 图2 20/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(26-27九年级上北京海淀开学考试)如图，直线片=mx+n与抛物线=m2+br+c相交于点 A(3,0),B(-2,5).下面四个结论： ①m<0: ②当-2<x<3时，am2+bx+c<x+n； ③方程a2+bx+c=0的解为x=-2,2=3: ④当x<2时，函数值与随着x的增大而减小， 其中所有正确结论的序号是 三、解答题 11.(26-27九年级上全国单元复习)己知抛物线y=x2-(2m-)x+m2-m (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点： (②)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值. 12.(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0,2)，且与正比例函 数=ac的图象交于点A(,)和点B. (1)求二次函数的解析式和另一交点B的坐标： (2)根据函数图象，直接写出不等式x2+bx<c-c的解集. 13.(25-26九年级上·陕西安康期中)如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中 的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6，若以点O为 原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面lm的B处将沙包抛出，其 运动轨迹为抛物线C:y=α(x-3)'+2的一部分，小静恰在点C(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运 21/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动轨迹为抛物线G:y=名+日x+e+1的一部分. 8 8 Ay/m C C B A 图1 图2 (1)求a,c的值 (2)小林在x轴上方lm的高度上，且到点A水平距离不超过lm的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小 静的回传沙包，求n的整数值. 14.(26-27九年级上广西南宁·开学考试)综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图.甲、乙、丙三人在表演 “踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛 物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点)· 主地面 (图1) (图2) (1)如图2，甲站在地面的点O处，从距离地面0.6m高的点A踢出花枪，点A与点O的水平距离是1m,花 枪飞行到与0点水平距离6m的C处达到最高，高度为2.6m ①以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为m,到 点O的水平距离为m,求y关于x的函数表达式： ②花枪下落过程中，乙在与点O水平距离m处接花枪，能接到的高度最大为2.lm,最小为0.6m,求d的 取值范围， (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度hm与时间$之间的 关系式是h=0.21+1.21(>0),丙在距花枪落地点7.2m处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度. 15.(26-27九年级上辽宁沈阳·开学考试)如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为 A(-1,0),B(4,5) 22/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y y -------------- A ! (1)求抛物线的解析式： (2)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E,求线段DE长 度的最大值 (3)点C为抛物线对称轴上一动点，且AC与BC的和最小；点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点， 点N为平面直角坐标系内一点，若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标： (4当0≤x≤t时，二次函数y=x+mx+n的最大值与最小值的差为8，请直接写出t的值； 23/23