专题1.2 二次函数的图象（9大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图象这一核心知识点，从基础形式y=ax²逐步过渡到顶点式y=a(x-h)²+k及一般式y=ax²+bx+c，系统梳理图象特征（开口方向、对称轴、顶点坐标）、性质（增减性、最值）及系数a,b,c对图象的影响，构建递进式学习支架。 该资料亮点在于分层设计9类题型（含典例与变式），结合中考真题强化应用，通过数形结合培养几何直观和推理意识。课中助力教师突破“左同右异”等难点，课后“即学即练”帮助学生巩固知识，提升用数学语言表达函数关系的能力。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2 二次函数的图象 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01二次函数的图象 2.知识清单 知识点02二次函数的图象与系数的关系 题型01二次函数y=ax2的图象和性质 题型02二次函数的y=ax2+k的图象和性质 题型03二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 二次函数的图象 题型04二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型05二次函数图象的平移 3.题型精讲 题型06把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型07画y=ax2+bx+c的图象 题型08y=ax2+bx+c的图象和性质 题型0？二次函数图象与各项系数符号 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.会画二次函数y=xA2+bx+c的图象，掌握其顶点坐标、对称轴等特征。2. 能结合 教学目标 图象分析4、b、c对图象的影响，理解增减性、最值等性质。3.体会数形结合思 想，获得用图象研究函数的经验，提升直观想象能力。 1.重点 (1)掌握二次函数y=x^2+bx+c的图象特征，包括开口方向、对称轴、项点坐标等核 心要素。 教学重难点 (2)理解并运用二次函数的性质，如增减性、最值，解决简单问题。 2.难点 (1)理解二次函数图象的对称性，以及对称轴位置与α、b的“左同右异”关系 (2)灵活运用配方法或公式法求顶点坐标，并将其与最值、增减性等性质关联应 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 用。 知识清单 知识点01二次函数的图象 1.二次函数y=aX2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点当a>0时，抛 物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<O时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点 2二次函数y=ax-m(a≠0)的图象的顶点坐标是(m,0),对称轴是直线x=m.图象的开口 方向：当Q>0时，开口向上：当a<0时，抛物线开口向下 3.二次函数y=QX-m+k(a≠0)的图象的顶点坐标是(m,k),对称轴是直线x=m.图象的 开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，抛物线开口向下 b x=- 4二次函数y=ax2+bx+C(a≠0)的图象是一条抛物线，它de对称轴是直线2a,顶点坐标 b 4ac-b2 是 2a 4a 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线 开口向下，顶点是抛物线上的最高点 【即学即练】1.(25-26九年级下四川成都期中)对于二次函数y=-(x+1)-3,下列结论正确的是 () A.函数图象的顶点坐标是(1，-3) B.当x>-1时，y随x的增大而减小 C.当x=-1时，y有最小值为-3 D.图象的对称轴是直线x=1 2.(2026江苏扬州：二模)已知二次函数y=ax2+2ar+b(a>0)的图像经过点P(m,n+),Q(m-4,n2)两 点，则的值可能是() A.-1 B.-3 C.1 D.3 3.(2026吉林模拟预测)若点A(,)、B(x2,)是函数y=ar2+c(a>0)上的两点，若x>为且 七+x2>0,则 _2.(填“>”、“<”或“=”) 知识点02二次函数的图象与系数的关系 2/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次函数y=aX2+bx+c(a≠0)的系数与图象的关系 (1)a的符号由抛物线y=ax2+bx+C的开口方向决定：开口向上一a>0,开口向上台Q>0: (2)b的符号由抛物线y=ax2+bx+C的对称轴的位置及a的符号共同决定：对称轴在y轴左侧 台a,b同号，对称轴在y轴右侧台a,b异号： (3)c的符号由抛物线y=ax+bx+C与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交一c>0,与y轴 正半轴相交台c<0 【即学即练】4.(25-26九年级上·上海单元复习)二次函数y=a2+bx+c的图像如图所示，则点(b,aC) 位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(23-24九年级上宁夏银川期末)如图是二次函数y=2+br+c(a≠0)图象的一部分，=-1是对称 轴，有下列判断：①abc>0;②b-2a=0;③4a-2b+c<0;④a-b+c=-9a;其中正确的是() x=-1 A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 6.(24-25九年级下湖北武汉阶段检测)己知抛物线y=a2+br+c(a、bc是常数且a<0)过(-1,0) 和(m,0)两点，且3<m<4,下列四个结论：①abc<0;②a+b+c>0;③若抛物线过点(1,4)，则 2 -l<a<-3:④若关于x的方程a(x+1x-m）=3有实数根，则4ac-≥12a· 其中正确的结论有 (填写序号) 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01 二次函数y=ax2的图象和性质 【典例1】(25-26八年级下广西南宁期末)二次函数y=2x2的图象上有三个点A(1y),B(2,), C(3,),则、2、的大小关系为() A.y>2>3B.y>y>2 C.2>y>3 D.y3>y2> 【变式1】（2627九年级全园暑假作业)挞物线)兮y=-2,y x的图象开口最大的是 2 () .y B.y=-2x2 c.y D.无法确定 【变式2】(2026江西九江一模)若二次函数y=-2x2的图象上有两点A(-2,乃)，B(1,2),则以，2的 大小关系是 【变式3】(26-27九年级全国暑假作业)根据函数图象填空： (1)抛物线y=3x的对称轴是一，顶点坐标是 一，当x 时，抛物线上的点都在x轴 的上方： 1 (2)抛物线y=3的开口向 除顶点外，抛物线上的点都在x轴的 方，它的顶点是 抛物线上的最， 点 题型02二次函数的y=ax2+k的图象和性质 【典例1】(26-27九年级上海暑假作业)当x=2时，y=3x2-5的函数值为() A.5 B.6 C.7 D.8 【变式1】(25-26八年级下·福建福州期中)己知函数y=-x2+1,当函数值y随x的增大而减小时，x的 取值范围是() A.x<1 B.x>0 C.x>-1 D.x<0 【变式2】(2026山西朔州模拟预测)已知点A(,出)，B(x2,2)在抛物线y=-x2-1上，且x2>x>0, 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则y 2(填“><”或“=”) 【变式3】(2026九年级下山东聊城专题练习)抛物线y=-2x+4的开口方向 顶点坐标是 对称轴是」 题型03 二次函数y=a(xh)2的图象和性质 【典例1】(2026内蒙古通辽二模)己知二次函数y=2(x-h)2,当x>3时，y随x的增大而增大，则h 的取值范围是() A.h=3 B.h<3 c.h>3 D.h≥3 【变式1】(26-27九年级浙江暑假作业)已知抛物线y=(x-),其中h>0,该抛物线示意图是 ( 【变式2】(25-26九年级上·新疆鸟鲁木齐阶段检测)若点A(-3,)、B(-2,2)、C(-1,)三点在拋抛物 线y=a(x+1)(a>0)的图象上，则，2，y的大小关系是 (用“>”连接). 【变式3】(25-26九年级下·全国单元复习)抛物线y=-(x+1)的开口 ， 对称轴是 顶点坐标是 对称轴左侧，y随x的增大而 题型04二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 【典例1】(2026广西百色三模)二次函数y=-(x+3+2的图象的顶点所在的象限是() 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式1】(26-27九年级全国暑假作业)对于二次函数y=-2(x-3+1,下列说法中正确的是() A.图象的开口向上 B.函数的最小值为1 C.当x<3时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴为直线x=3 【变式2】(2026广西中考真题)二次函数y=(x-20)2+26的最小值为 【变式3】(25-26九年级下·湖南长沙阶段检测)已知A(-1,),B(2,2)是抛物线y=3(x+2)+5上的 两点，则与的大小关系是 题型05 二次函数图象的平移 【典例1】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)将抛物线y=-2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位， 得到的抛物线的解析式为() A.y=-2(x+4)2-1 B.y=-2(x+4)2+1 C.y=-2(x-4)2+1 D.y=-2(x-4)2-1 【变式1】(2026内蒙古通辽模拟预测)将二次函数y=-2x的图象先向右平移2个单位长度，再向上平 移5个单位长度所得图象的函数表达式为() A.y=-2(x-2}+5 B.y=-2(x+22-5 C.y=-2(x+2+5 D.y=-2(x-2)}2-5 【变式2】(25-26九年级上北京期末)将抛物线y=-7x2向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位 长度后，得到的抛物线的解析式为 【变式3】(2025九年级上全国专题练习)将抛物线y=(x-3+1先向右平移2个单位，再向下平移3 个单位得到新的抛物线为. 题型06把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例1】(25-26九年级下·全国课堂例题)将二次函数y=x2-4x-5改写成顶点式，下列正确的是 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.y=(x-4)2-21 B.y=(x+4)}2-21 C.y=(x-2)}-9 D.y=(x+2)2-9 【变式1】(25-26九年级下河北单元复习)抛物线y=x2+2x+m2+2(m是常数)的顶点在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2】(25-26九年级下全国单元复习)二次函数y=-2x2-4x+5化成y=a(x-h)'+k的形式是 【变式3】(25-26九年级上山东单元测试)将二次函数y=2x2-4x+8化为顶点式为 对称轴 是直线 题型07画y=ax2+bx+c的图象 【典例1】(2025九年级上山东专题练习)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x的图象可能是 D 【变式1】(2026九年级下全国专题练习)已知二次函数y=2-4x+3. ()列表如下，请按照从左往右依次填空： 0 2 4 0 0 (2)画出二次函数y=x2-4x+3的图象； 7/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 4 3 5-4-3-2-10 1 2345 -2 3 (3)当1<x<4时，结合函数图象， 直接写出y的取值范围。 2 4 3 0 -1 0 3 【变式2】(23-24九年级上湖北荆州阶段检测)已知，二次函数y=-x2+2x+3 3 3-2-1 (1)将函数关系式化为顶点式： (2)利用描点法画出所给函数的图象（要求列表）： (3)当-2<x<2时，观察图象，函数值'的取值范围为 -2 -1 0 2 3 -5 0 3 4 3 0 【变式3】(2425九年级上：广东珠海阶段检测)在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数 y=x2+2x-2的图象. 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3 -2 -1 0 1 -2 -3 -2 题型08 y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例1】(2025天津河西模拟预测)二次函数y=2+x图象的顶点坐标为 21 则下列结论错误 的是() A.a+b=0 B.a=b-8 C.a=4 D.b=4 【变式1】(2026福建中考真题)己知抛物线y=x2-2rx经过点A(3,a),B(5,b).若a<b,且ab<0 ,则n的取值可以是() A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2】(25-26九年级下·广东广州阶段检测)二次函数y=2x2+bx+c的图像经过点(2,3)，且顶点在 直线y=3x-2上，则b=一 【变式3】(25-26九年级上·浙江湖州阶段检测)已知抛物线y=ar+bx-l(a≠0)经过点（山，1），则代数 式2025-a-b的值为 题型09二次函数与各项系数符号 【典例1】(2026上海一模)如图是二次函数y=r+br+c(a≠0)的图像，那么下列说法中，正确的是 () 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.a>0: B.b>0: C.b<0: D.c<0. ax 【变式1)(2026九年级下江苏专题练习)某学习小组用绘图软件绘制出了函数'(c+的图象，结 合所学函数的知识，下列对a,b大小的判断，正确的是() A.a>0,b<0B.a>0,b>0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 【变式2】(25-26九年级上·上海单元复习)二次函数y=x2-2x-3的图象的开口方向为 【变式3】(2025山东菏泽三模)二次函数y=am+bx+C(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0) 对称轴为直线x=2,下列结论：(（1)4a+b=0:（2)4+c>26:(3)若点4(-2，)点B2” 点C行在该稻数图象上，则<头<片：(4名阳2则mo+)<22a+b小其中正确的结论 的序号是 2 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上湖北孝感期未)二次函数y=-(++4图象的顶点所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(25-26八年级下重庆期中)若点A(-山)，B(4,)在二次函数y=ax2(a<0)的图象上，则片， 10116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的大小关系是() A.y<y2 B.y>y2 C.y=y2 D.无法确定 3.(2026四川甘孜中考真题)对于抛物线y=3(x-5-4,以下说法正确的是() A.开口向下 B.对称轴为直线x=5 C.顶点坐标为(5,4) D.当x>5时，y随x的增大而减小 4.(26-27九年级全国暑假作业)如图，四边形OABC是正方形，且点A、C恰好在抛物线y=x上，点 B在y轴上，则OB的长为() A.2 B.2W2 C.4 5.(25-26八年级下浙江宁波期末)将函数y=+4的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解 析式可能是() A.y=(x-3)2+3 B.y=(x-3)2+5 C.y=(x+3)2+3 D.y=x2+1 二、填空题 6.(25-26八年级下福建福州阶段检测)二次函数y=2(x-1+1的最小值是 7.(2026江苏·二模)二次函数y=a(x-+6,当x<1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的 a的值 8.(2026吉林长春模拟预测)已知A(:,)、B(x,)是抛物线y=x2+c上的两点.若，+x>0且 x>x2,则 2.(填“>”、“<”或“=”) (60核根D月一平看直角标系科，他的酸y-(--行 y=-(c+m-(x+n)关于原点成中心对称，则代数式(m+2+(n+2'的值为 10.(26-27九年级全国暑假作业)如图，在平面直角坐标系中，A,B是x轴上方抛物线y=-x2+C上的 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 两个点，C,D是x轴上的两个点.若四边形ABCD是边长为4的正方形，则c的值为 CO D 三、解答题 11.(25-26九年级上河北张家口期末)已知抛物线y=-(x-2)}+5. (1)判断点(4,1)是否在此抛物线上. (2②)若点A(,y),B(4,)在该函数图象上，试比较片与的大小，并说明理由. 12.(26-27九年级全国暑假作业)已知二次函数y=ax图像经过点P(-2,3). (1)判断这个函数图像的开口方向： (2)点Q(2,m)在这个函数图像上，求m的值 13.(26-27九年级全国暑假作业)己知函数y=(m+2)x+m-4是y关于x的二次函数 (1)求满足条件m的值： (2)当m为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x取何值时，y随x的增大而减小； (3)当m为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当x取何值时，'随x的增大而增大， 14。(26-27九年级全国暑假作业)已知=次函数y=-2. 5 4 3 2 -4-3-2-10 2345 2 -3 5 (I)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象： (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 12116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若-1≤x≤6，求y的取值范围. 0 2 3 4 y=-2y 1 1 2 0 2 2 能力提升 一、单选题 1.(2026江苏南京·三模)若二次函数y=(x+m)+m(m为常数)的图像与x轴有两个不同的交点，则该 函数图像的项点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2026广东二模)对于抛物线y=7(x-2)-1,下列说法正确的是(). A.图象与y轴无交点 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.当x=2时，y有最小值-1 D.图象的顶点坐标为(-2，-) 3.(2026河南周口二模)已知二次函数y=a(x+m+n(a≠0，m,n为实数)，当x=1时，y=2: 当x=4时，y=5.下列说法正确的是() A.若m=-1,则a<0 B.若m=-2,则a<0 C.若m=-4,则a<0 D.若m=-5,则a>0 4.(2026江苏泰州·二模)下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是( ) A.y=-x+2 B.y=-(x+2}2 C.y=(x-2 D.y=2 5.(2026广东深圳三模)当两条曲线关于某直线1对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线 如果抛物线C:y=x2-2x与抛物线C2:y=(x-h)+b是关于y轴的对称曲线，则h+b的值为() A.3 B.0 C.-1 D.-2 二、填空题 13116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(2026甘肃武威一模)二次函数y=3(x-)+2的顶点坐标是 7.(2026宁夏吴忠三模)将抛物线y=(x-3+4先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 则平移后的抛物线的顶点坐标为 2 8。(2026甘肃武威一模)已知点(2，y)与(3，)在函数y=-x-少+1的图像上，则y、为，的大小关 系为一 9.(25-26九年级下四川绵阳开学考试)如图，二次函数y=-x+k的图象经过正方形AB0C的三个顶 点，则k的值为 10.(25-26九年级下黑龙江大庆期中)如图，抛物线y=a(x-2)与y轴交于点A,顶点B在x轴的正 半轴上，连接AB,若△AOB是等腰直角三角形，则a的值为一· y外 B 三、解答题 11,(25-26九年级上·吉林长春阶段检测)已知二次函数的表达式为：y=(-3+5,写出该二次函数图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)开口方向：-： (2)对称轴：一； (3)顶点坐标：-· 12.(25-26八年级下全国课后作业)在平面直角坐标系中画出y=(x--3的图象. 14116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 2 0 -432-112345 -2 -3 -4 -5 -1 0 1 2 3 1 2 -3 -2 1 13. (2026九年级下·全国专题练习)二次函数y=-x+2x+3的顶点为P. 3 3-2-19 1.2.3.4.5 3 -1 0 2 3 … y 0 4 3 0 (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系xO少中，画出它的图象： (2)抛物线的顶点P的坐标是 (3)当x 时，y随x的增大而减小： (4当0≤y≤3时，x的取值范围是 -1 0 1 2 3 … y 0 3 4 3 0 14.(25-26九年级下·全国·单元测试)如图，点P、P'、Q、Q在函数y=x的图像上，且点P、P和 1 点Q、g分别关于y轴对称，点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为4： 15116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (1)求点P的纵坐标和点Q的横坐标，并写出点P'、Q的坐标； (②)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数y=-x的图像. 15.(25-26九年级下全国课堂例题)如图，点A(-2,1)、B(4,m)在y=a2的图象上.直线AB与y轴交 于点C,连接OA、OB」 y=ax2 -20 4 (1)a= m= (2)求直线AB的函数表达式： (3)当-2<x<4时，y的取值范围为 16116 专题1.2 二次函数的图象 教学目标 1. 会画二次函数y=ax^2+bx+c的图象，掌握其顶点坐标、对称轴等特征。2. 能结合图象分析a、b、c对图象的影响，理解增减性、最值等性质。3. 体会数形结合思想，获得用图象研究函数的经验，提升直观想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数y=ax^2+bx+c的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素。 （2）理解并运用二次函数的性质，如增减性、最值，解决简单问题。 2.难点 （1） 理解二次函数图象的对称性，以及对称轴位置与a、b的“左同右异”关系 （2）灵活运用配方法或公式法求顶点坐标，并将其与最值、增减性等性质关联应用。 知识点01 二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 【即学即练】1．（25-26九年级下·四川成都·期中）对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时，y有最小值为 D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【分析】根据顶点式得到开口方向，顶点坐标和对称轴，再逐项判断即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为，是顶点式， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，故选项A，D错误； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值为，故选项C错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故选项B正确． 2．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 3．（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 知识点02 二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 【即学即练】4．（25-26九年级上·上海·单元复习）二次函数的图像如图所示，则点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数系数与图像的关系，由开口向下，可得，由抛物线与轴交于正半轴，可得，又由对称轴在轴左侧，即可得，同号，继而求得答案． 【详解】解：二次函数的图像开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ∴， 对称轴在轴左侧， ，同号， 即， 点在第三象限． 故选：C． 5．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，有下列判断：①；②；③；④；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由二次函数图象可知，，，即可判断①；由二次函数的对称轴为直线即可判断②；将代入即可判断③；求解，结合即可判断④． 【详解】解：①∵开口向下， ∴， ∵对称轴为 ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①符合题意； ∵对称轴为 ∴，即，故②符合题意； 由图象可得， 当时，， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，，故③不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意． 综上所述，正确的有①②④． 故选：D． 6．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线（是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；若关于的方程有实数根，则． 其中正确的结论有______．（填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线过和两点得到对称轴为直线，且，所以得到，进而判断的符号，即可判断；由抛物线对称轴，又，则当时可判断；由抛物线过和两点，则，故，即可判断；由抛物线可得顶点坐标，再根据关于的方程有实数根可判断． 【详解】解：已知抛物线过和两点，则对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∵，则， 当时，，则， ∴，故结论正确； ∵抛物线对称轴，又， ∴当，，故结论正确； ∵抛物线过和两点， ∴， ∴两式相减解得， ∵， ∴，解得，故结论正确； 由抛物线可得顶点坐标， ∵关于的方程有实数根， ∴， ∵， ∴，故结论错误； 综上可知：正确， 故答案为：． 题型01 二次函数y=ax²的图象和性质 【典例1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 【变式2】（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 【变式3】（26-27九年级·全国·暑假作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 题型02 二次函数的y=ax²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 【变式2】（2026·山西朔州·模拟预测）已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【变式3】（2026九年级下·山东聊城·专题练习）抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【分析】根据二次函数的系数确定图象开口方向，顶点坐标与对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 题型03 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 【典例1】（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C．h>3 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴h>3． 【变式1】（26-27九年级·浙江·暑假作业）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 【变式3】（25-26九年级下·全国·单元复习）抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 【答案】 向下 直线 增大 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过比较标准形式可直接得出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性．抛物线的顶点式为需注意的符号对开口方向和增减性的影响．根据二次函数的性质，由解析式可直接判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：， ， 开口方向向下； 对称轴是直线， 顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大． 故答案为：①向下；②直线；③；④增大． 题型04 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 【典例1】（2026·广西百色·三模）二次函数的图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，求出该二次函数的顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，可变形为，符合顶点式的形式， ∴该二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特点， ∴顶点在第二象限． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 【变式2】（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 【变式3】（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 【答案】 / 【分析】先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较两个函数值的大小即可． 【详解】∵抛物线解析式为， 又∵， ∴抛物线开口向上，由顶点式可知对称轴为直线， 根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵点，的横坐标都满足，，即两点都在对称轴右侧，且， ∴． 题型05 二次函数图象的平移 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移不改变抛物线的二次项系数，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线的顶点坐标为，将顶点向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到新顶点坐标为，平移后抛物线二次项系数不变，仍为， ∴平移后抛物线的解析式为． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律即可求解． 【详解】解：∵原函数为，向右平移2个单位长度，需将自变量替换为，得； 再向上平移5个单位长度，需在整体上加5， ∴最终所得图象的函数表达式为． 【变式2】（25-26九年级上·北京·期末）将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据二次函数图象平移的规律，“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，得到，再向下平移1个单位长度，得到． 故答案为：． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为， 即， 故答案为：． 题型06 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】（25-26九年级下·全国·课堂例题）将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查通过配方法将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级下·河北·单元复习）抛物线（是常数）的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，平面直角坐标系特点，掌握知识点的运用是解题的关键． 根据抛物线的顶点式求出抛物线（是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵，， ∴顶点在第二象限， 故选：． 【变式2】（25-26九年级下·全国·单元复习）二次函数化成的形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东·单元测试）将二次函数化为顶点式为________，对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，运用配方法将所给函数解析式化为顶点式，然后确定对称轴即可． 【详解】解：， ∴二次函数化为顶点式为，对称轴是直线， 故答案为：；． 题型07 画y=ax²+bx+c的图象 【典例1】（2025九年级上·山东·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 【变式1】（2026九年级下·全国·专题练习）已知二次函数． (1)列表如下，请按照从左往右依次填空： … 0 2 4 … … 0 0 … (2)画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式求出相应的函数值或自变量的值即可； （2）运用描点法即可画出函数图象； （3）根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得，； 当时，； ∴填表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （2）解：描点并连线，函数图象为： （3）解：由图象可得，当时，． 【变式2】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段检测）已知，二次函数． (1)将函数关系式化为顶点式； (2)利用描点法画出所给函数的图象（要求列表）； (3)当时，观察图象，函数值的取值范围为__________． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，配方法的运用，掌握配方法，二次函数作图的方法，根据图示求函数值的取值范围是解题的关键． （1）运用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）根据题意，令，则，令，二次函数图象与轴的交点为，由（1）可得，顶点坐标为，由此描点连线即可作图； （3）根据（2）中的图示可得，当时，，当时，，计算验证如此，由此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：令，则，令，则， 解得，， ∴二次函数图象与轴的交点为， 由（1）可得，顶点坐标为， ∴描点，连线如图所示， （3）解：由（1）可得，顶点坐标为， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴函数的最大值为，当时，；当时，； ∴当时，函数值的取值范围为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·阶段检测）在平面直角坐标系中，用描点法画出 二次函数的图象． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用描点法画二次函数的图象，根据二次函数的解析式求出图象上的点是解题关键．将x和对应的y值列表，再在平面直角坐标系中描点，最后用曲线连接即可画出图形． 【详解】解：函数的x和对应的y值列表如下： x … 0 1 … y … 1 1 … 描点、连线画出抛物线如图： 题型08 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例1】（2025·天津河西·模拟预测）二次函数图象的顶点坐标为，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知二次函数顶点坐标，利用二次函数顶点横坐标公式和顶点在函数图象上的性质，联立求出和的值，再逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 整理得，即，故A选项正确； 顶点在二次函数的图象上 将代入函数得 整理得 将代入得， 解得，故D选项正确； 将代入得，故C选项错误； 验证B选项：，故B选项正确． 【变式1】（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 【变式2】（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 【答案】或 【分析】先根据二次函数的顶点坐标公式求出该二次函数的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线，将已知点代入二次函数解析式，联立方程组求解即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点为， 又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上， ∴， 整理得： 解得：或． 【变式3】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知抛物线经过点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点和代数式求值，掌握二次函数图象上的点满足函数解析式以及整体思想的运用成为解答本题的关键．将点 代入抛物线中，得到 的值，然后整体代入代数式求解即可． 【详解】解：抛物线经过点 ， ，即， ． 故答案为：． 题型09 二次函数与各项系数符号 【典例1】（2026·上海·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 【变式1】（2026九年级下·江苏·专题练习）某学习小组用绘图软件绘制出了函数的图象，结合所学函数的知识，下列对大小的判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象可知，当时，，可知的取值范围，再由当时，函数值不存在即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，， ， ， ， 由图象得，当时，， ， ， 也可得， 当时，函数值不存在， ，即． 综上，． 【变式2】（25-26九年级上·上海·单元复习）二次函数的图象的开口方向为______． 【答案】向上 【分析】根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【详解】解：在中， ， 二次函数的图象的开口方向向上， 故答案为：向上． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3】（2025·山东菏泽·三模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是___________． 【答案】（1）（4） 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况，函数的增减性，特殊点的函数值等进行推理，进而对所求结论进行判断． 【详解】解：∵称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故（1）正确， ∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故（2）错误， ∵点，点，点在该函数图象上，对称轴为直线，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小 ∴，故（3）错误， ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故（4）正确， 故答案为：（1）（4）． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________． 【答案】1 【分析】直接根据顶点式即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ，开口向上，顶点为， 故函数的最小值为． 7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴函数顶点坐标为． ∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得， ∴判别式， 解得． ∵， ∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点坐标在第四象限． 2．（2026·广东·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 4．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需结合函数性质，根据两个要求逐一筛选：①图像不经过第二象限；②与轴有且只有一个公共点，即可得到答案． 【详解】解：选项A．：∵该一次函数与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除A； 选项B．：∵该二次函数是顶点式，顶点为，顶点在轴上，因此与轴有且只有一个公共点，满足条件②；又∵对任意，，可得，因此图像不经过第二象限，满足条件①，符合要求； 选项C．：∵顶点为，与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除C； 选项D．：∵反比例函数的图像与轴没有交点，不满足条件②，排除D． 5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 二、填空题 6．（2026·甘肃武威·一模）二次函数的顶点坐标是 ____． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为， ∴顶点坐标为． 7．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 8．（2026·甘肃武威·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及开口方向，然后根据两点距对称轴的距离判断大小即可． 【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为，开口向下， ∴两点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴． 9．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)开口方向： ； (2)对称轴： ； (3)顶点坐标： ． 【答案】(1)向上 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式性质解答即可﹒ （1）根据，即可得到抛物线开口向上； （2）由抛物线顶点式即可得到对称轴为直线； （3）由抛物线顶点式即可得到顶点坐标为﹒ 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上﹒ 故答案为：向上； （2）解：由抛物线解析式可得到抛物线对称轴为直线﹒ 故答案为：； （3）解：由抛物线解析式可得到抛物线顶点坐标为﹒ 故答案为： 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中画出的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作二次函数的图像，作图的基本步骤，列表、描点、再用平滑的曲线连接是解题的关键． 根据题意，列表、描点、再用平滑的曲线连接即可． 【详解】解：列表 0 1 2 3 1 1 描点，再用平滑的曲线连接如图： 13．（2026九年级下·全国·专题练习）二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点的坐标是___________； (3)当___________时，随的增大而减小； (4)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的图像绘制、顶点坐标求解、增减性判断及函数值对应自变量范围的确定，解题的关键是掌握二次函数的表达式变形（配方法）、图像性质（开口方向、对称轴）及数形结合思想的应用． （1）补全表格需将代入函数表达式求值；画图需先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接． （2）求顶点坐标可通过配方法将函数化为顶点式，即可得解． （3）先判断抛物线开口方向（由的符号确定），再确定对称轴，根据开口方向判断增减性区间． （4）先求出和对应的自变量的值，再结合函数图像确定满足的取值范围． 【详解】（1）解：补全表格：将代入，得，故表格中对应的值为3；   … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 画图步骤：先确定关键点（顶点、与轴交点和、与轴交点及），再用平滑的抛物线将这些点依次连接，即得函数图像． （2）解：用配方法变形函数表达式：   ，   二次函数顶点式的顶点为，故顶点的坐标为， 故答案为：． （3）解：由可知，抛物线开口向下；   由顶点式可知对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随的增大而减小，即， 故答案为：． （4）解：当时，，解得，；   当时，，化简得，解得，；   结合抛物线图像（开口向下，顶点），可知当时，的取值范围是 或， 故答案为：或． 14．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【答案】(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，， (2)图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 15．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $