专题 2.1 随机事件（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“随机事件”核心知识点，系统梳理事件分类（必然、不可能、随机事件）、随机事件可能性大小比较、等可能结果列举（列表法、树状图法），构建从概念辨析到方法应用的递进式学习支架。 资料以“知识梳理+分层题型+同步检测”为设计特色，夯实基础题型（事件判断、可能性比较等）与综合提升题型（易错题辨析、区域角度问题等）结合，通过例题与变式题培养学生数学思维中的推理意识和运算能力。同步检测覆盖选择、填空、解答题，助力学生用数学语言表达现实问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 2.1 随机事件（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】事件的分类 1 【知识点二】随机事件的可能性大小 2 【知识点三】列举随机事件的等可能结果 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】事件类型的判断（必考基础） 2 【题型 2】简单随机事件可能性大小比较 4 【题型 3】 两步试验结果列举（列表法应用） 5 三.题型精析（综合提升） 7 【题型 4】辨析可能性相等问题（易错题） 7 【题型 5】区域角度类可能性排序 10 【题型 6】分步搭配类结果计数 14 四.同步检测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 21 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 24 一.知识梳理与解读 【知识点一】事件的分类 在一定条件下，我们将生活中的事件分为三类，具体定义如下： 1. 必然事件：一定条件下，一定会发生的事件。 2. 不可能事件：一定条件下，一定不会发生的事件。 3. 随机事件：一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件（也叫不确定事件）。 【要点提示】 ① 必然事件和不可能事件统称为确定性事件，结果唯一确定；随机事件属于不确定性事件，结果不唯一。 ② 所有事件的判定都依赖“既定条件”，条件改变，事件类型可能随之改变。 ③ 判定核心：只看“是否一定发生/一定不发生/不确定”，与事件发生的概率大小、个人主观意愿无关。 【知识点二】随机事件的可能性大小 不同随机事件发生的可能性有大有小，可根据事件的客观条件进行比较和判断。 【要点提示】 ① 等可能试验中，某事件包含的等可能结果数量越多，发生可能性越大；反之则越小。 ② 转盘、区域类问题中，对应区域面积越大、圆心角越大、时长越长，事件发生可能性越大。 ③ 可能性大小是整体趋势，不代表单次试验的结果，可能性小的事件也可能发生，可能性大的事件也可能不发生。 【知识点三】列举随机事件的等可能结果 对于分步、多情况的随机试验，常用两种方法列举所有等可能结果，确保不重不漏。 1. 列表法：适用于两步试验，通过表格横向、纵向罗列两次试验的所有情况，清晰呈现全部结果。 2. 树状图法：适用于两步及以上试验，按试验步骤分层画分支，逐层列举所有可能路径。 【要点提示】 ① 列举结果的核心原则：不重复、不遗漏、等可能。 ② 放回试验与不放回试验结果不同，解题时需重点审题，区分试验规则。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】事件类型的判断（必考基础） 【例题1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？请说明理由． （1）车辆随机到达一个路口遇到红灯； （2）两条线段可以组成一个三角形； （3）400人中至少有两人的生日在同一天． 【答案】（1）车辆随机到达一个路口遇到红灯，此事件有可能发生也有可能不发生，是随机事件；（2）两条线段可以组成一个三角形，此事件一定不发生，故是不可能事件；（3）400人中至少有两人的生日在同一天，此事件一定发生，故是必然事件． 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义作出判断并说明理由即可． 解：（1）略，理由见答案 （2）略，理由见答案 （3）略，理由见答案 【变式1】（25-26七年级下·广东清远·期末）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．太阳从西边升起 B．任意三角形的内角和为 C．购买一张彩票恰好中奖 D．抛出的篮球一定会下落 【答案】D 【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件，据此逐项判断即可． 解：A．太阳从西边升起一定不会发生，是不可能事件； B．任意三角形的内角和为，不是，该事件一定不会发生，是不可能事件； C．购买一张彩票可能中奖也可能不中奖，是随机事件； D．抛出的篮球受重力作用，一定会下落，该事件一定发生，是必然事件． 【变式2】（25-26六年级下·上海虹口·期末）“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．在“清明”这个节气会下雨是__________事件（填“确定”或“不确定”）． 【答案】不确定 【分析】根据事件的分类概念，判断该事件能否事先确定发生，即可得出结论． 解：在“清明”这个节气会下雨可能发生，也可能不发生，无法事先确定是否发生， 因此属于不确定事件． 【变式3】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ （1）在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； （2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； （3）掷一次骰子，向上一面的点数是； （4）过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； （5）太阳从西边落下． 【答案】（1）必然事件；（2）随机事件；（3）随机事件；（4）不可能事件；（5）必然事件 解：（1）解：“在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾”是必然事件； （2）解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件； （3）解：“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件； （4）解：∵在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴“过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行”是不可能事件； （5）解：“太阳从西边落下”是必然事件． 【题型 2】简单随机事件可能性大小比较 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“A”与这张牌是“黑桃”的可能性哪个大？ 【答案】抽到“黑桃”的可能性更大 【分析】先确定一副扑克牌中“A”和“黑桃”的数量，计算二者的抽取概率，比较后即可得出结论． 解：一副标准扑克牌共有54张. 其中“A”共有4张，抽到“A”的概率为. “黑桃”共有13张，抽到“黑桃”的概率为. 因为 ， 所以抽到“黑桃”的可能性更大 ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列诗句所描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【答案】C 【分析】不可能事件发生的可能性为，是所有事件中最小的，以此为突破口判断各选项的事件类型即可． 解：A选项“黄河入海流”与D选项“红豆生南国”均为必然事件，发生的可能性为； B选项“大漠孤烟直”是随机事件，发生的可能性在与之间； C选项“手可摘星辰”是不可能事件，发生的可能性为． ∴ 发生可能性最小的是C选项对应的事件． 【变式2】（25-26六年级下·上海青浦·期末）一个不透明的纸箱里共装有18个球，其中有5个白球，6个黄球，剩余的都是红球，摸出_____球的可能性最大． 【答案】红 【分析】先计算红球的数量，再比较三种颜色球的数量，数量越多，摸出的可能性越大． 解：共有18个球，5个白球，6个黄球， 则红球的个数为（个）， ，红球的数量最多， 因此摸出红球的可能性最大． 【变式3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）把一副扑克牌中的13张从到的红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？并写出这些事件发生的可能性的大小． （1）抽到的牌上的数是偶数； （2）抽到的牌上的数不小于6； （3）抽到的牌是梅花； （4）抽到的牌是红桃． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析 （1）解：抽到的牌上的数是偶数的可能性为，是随机事件； （2）解：抽到的牌上的数不小于6的可能性为，是随机事件； （3）解：抽到的牌是梅花，是不可能事件，发生的可能性为0； （4）解：抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1. 【题型 3】 两步试验结果列举（列表法应用） 【例题3】（25-26九年级上·北京东城·期中）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，请用树状图法求两次摸出的小球标号之和等于5的概率． 【答案】 【分析】先画出树状图，则可得两次摸出的小球标号的所有等可能的结果，再找出两次摸出的小球标号之和等于5的结果，然后利用概率公式计算即可． 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出的小球标号共有12种等可能的结果，其中，两次摸出的小球标号之和等于5的结果有4种， 所以两次摸出的小球标号之和等于5的概率为． 【变式1】（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用画树状图法计算概率即可． 解：设字母A、B、C分别表示三个入口， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人刚好从同一个入口进站的情况有种， ∴两人刚好从同一个入口进站的概率为． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）为了领略古都魅力，感受中华文明的历史沉淀，鹏鹏和小海准备五一节在西安，洛阳，开封和杭州四个古都城市中各自随机选择一个进行游玩（假设两人选择每个城市的机会均等），则二人恰好选择同一城市的概率为______． 【答案】/ 【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，得出满足“二人恰好选择同一城市”的结果数，代入概率公式求解即可． 解：设A西安、B洛阳、C开封、D杭州， 画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中，二人恰好选择同一城市的结果为种， 二人恰好选择同一城市的概率为． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）为了更好地满足同学们的发展需求，学校开设了丰富多彩的校本课程供学生选修．小刚和小红计划从A“趣味编程”、B“园艺种植”、C“传统剪纸”三门校本课程中分别随机选择一门参加． （1）请用列表法或画树状图法，求出两人所有可能的选择结果； （2）求两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的概率． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率． （1）先根据题意画树状图，即可得到结果总数； （2）根据（1）中树状图求得两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的有1种情况，再根据概率公式求解即可． 解：（1）解：画树状图如图， 由树状图得，共有9种等可能性结果； （2）解：由树状图可知，两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的有1种情况， ∴两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的概率为． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】辨析可能性相等问题（易错题） 【例题4】（24-25九年级下·云南曲靖·期中）五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． （1）用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． （2）你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 【答案】（1）共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，，；（2）解：游戏对甲乙两位同学公平，理由如下： ∵组成的两位数是的倍数的结果有，，共种， ∴甲同学去的概率为 ， ∵组成的两位数是7的倍数的结果有，，共种， ∴乙同学去的概率为 ， ∵甲同学去的概率和乙同学去的概率相等， ∴这个游戏对甲乙两位同学公平． 【分析】（1）运用列表法列出所有情况即可． （2）分别计算甲乙同学去的概率，再进行比较即可． 解：（1）略 （2）解：根据题意，运用列表法可得       个位数 十位数                　 　 　 　 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，，． 【变式1】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上刻有1到6的点数，下面说法错误的是（     ） A．掷出点数1和点数6的概率相同 B．掷出点数大于5是随机事件 C．掷出点数7是不可能事件 D．掷出大于3的点数与小于3的点数的可能性相同 【答案】D 【分析】利用事件的分类与等可能事件概率的计算，根据骰子的点数特征，逐一分析选项即可得到错误结论． 解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数为1到6，共6种等可能的结果． 选项A：∵掷出点数1和点数6都只有1种情况，概率均为，∴说法正确，不符合题意； 选项B：∵点数大于5只有点数6这一种情况，可能发生也可能不发生，是随机事件，∴说法正确，不符合题意； 选项C：∵骰子最大点数为6，不可能掷出点数7，∴掷出点数7是不可能事件，说法正确，不符合题意； 选项D：∵大于3的点数有4，5，6，共3种结果，概率为，小于3的点数有1，2，共2种结果，概率为，，∴二者可能性不同，说法错误，符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 【变式3】（2024·江苏苏州·模拟预测）甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． （1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 【答案】（1）；（2）这个游戏规则对双方不公平， 理由：由（1）树状图得， 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为奇数的情况有4种，两数之和为偶数的情况有5种， ，， ， 这个游戏规则对双方不公平． 【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 解：（1）解：画树状图如下： 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为6的情况有3种， ， 答：两数和为6的概率为； （2）略 【题型 5】区域角度类可能性排序 【例题5】（2026·陕西西安·二模）为响应国家“科教兴国”战略，丰富学生课余文化生活，提升数学核心素养，学校数学文化兴趣小组为全校学生筹备了一次益智小游戏活动，游戏的项目分别为：A．幻方、B．数独、C．华容道、D．鲁班锁，并制作了如图所示的转盘，已知A、C、D三项游戏所在扇形圆心角皆为，参加者转动一次转盘，转盘停止转动后指针指向的游戏就是他需要参加的游戏项目． （1）若前面12名学生转动转盘后，有3名学生按照指针的指向参加了“数独”游戏，则这12名学生参加“数独”游戏的频率为______； （2）王梓与李鑫同时去参加游戏，请利用树状图或表格求出他们中有一人参加“数独”另一人参加“鲁班锁”游戏的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）列表得出所有等可能的结果，找出其中符合题意的结果，再由概率公式计算即可得出结果． 解：（1）解：由题意可得这12名学生参加“数独”游戏的频率为； （2）解：∵A、C、D三项游戏所在扇形圆心角皆为， ∴B项游戏所在扇形圆心角为， 列表如下： A B B C D A B B C D 由表格可得：有25种等可能的结果，两人分别参加“数独”和“鲁班锁”游戏的有4种结果，两人分别参加“数独”和“鲁班锁”游戏的概率为． 【变式1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．根据游戏规则，游戏者获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率；右边转盘的红色部分的圆心角是，相当于个红色部分，根据题意画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 解：右边转盘的红色部分的圆心角是，相当于个红色部分， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中一个是红色，另一个是蓝色的结果有种， ∴游戏者获胜的概率为， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·期末）小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏（红色加蓝色配成紫色）：如图，下面是两个可以自由转动的A、B转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动A、B两个转盘，配成紫色的概率为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．先列出表格得到所有等可能性的结果数， 再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：根据题意，可列表如下， 转盘B转盘A 黄 蓝 绿 红 （红，黄） （红，蓝） （红，绿） 绿 （绿，黄） （绿，蓝） （绿，绿） 由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中可配成紫色的结果数有1种， ∴配成紫色的概率是． 故答案为：． 【变式3】（2026·陕西安康·二模）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图，这是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的三个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． （1）小明转动A盘，指针指向红色扇形区域的概率是_______． （2）同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小卫同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率公式计算概率即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可． 解：（1）解：∵A盘被分成面积相等的3个扇形，分别是红、黄、蓝， ∴小明转动A盘，指针指向红色扇形区域的概率是； （2）解：转盘B红色部分圆心角为，相当于2个蓝色部分， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小卫同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是． 【题型 6】分步搭配类结果计数 【例题6】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）一天晚上，乐乐帮助妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，只好将其中一个杯盖和一个茶杯随机地搭配在一起． （1）用画树状图（或列表法）求这一个茶杯和杯盖颜色搭配正确的概率； （2）若停电时，乐乐在慌乱之中打破了其中一个杯盖，此时他只好在剩下的两个杯盖和三个杯子中随机拿出一个杯盖和一个茶杯搭配在一起，请直接写出这个茶杯和杯盖的颜色搭配恰好正确的概率 ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了列表法与树状图法和概率公式： （1）画树状图为（三个颜色不同的有盖茶杯分别用A、B、C表示，配套的杯盖分别用a、b、c表示）展示所有9种等可能的结果，找出这个茶杯颜色搭配恰好正确的结果数，然后根据概率公式求解； （2）若打破了其中一个杯盖，利用（1）中的树状图可确定总的结果数为6种，这个茶杯颜色搭配恰好正确的结果数为2，然后根据概率公式求解． 解：（1）解：画树状图为：（三个颜色不同的有盖茶杯分别用A、B、C表示，配套的杯盖分别用a、b、c表示）    共有9种等可能的结果，其中这个茶杯颜色搭配恰好正确的结果数为3， 所以这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率； （2）解：若打破了其中一个杯盖，则总的结果数为6种，这个茶杯颜色搭配恰好正确的结果数为2， 所以这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）一天晚上，小海帮妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小海只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则颜色完全搭配正确的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了树状图法求概率．画树状图，共有6种等可能出现的结果，其中其颜色搭配正确的结果有1种，再由概率公式求解即可． 解：设3个茶杯分别为A，B，C，A的杯盖是a，B的杯盖是b，C的杯盖是c， 画树状图如下： 共有6种等可能出现的结果，其中颜色搭配正确的结果有1种， ∴颜色搭配正确的概率为， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）小明在一天晚上帮妈妈洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，这时突然停电了，小明只好将茶杯和杯盖随机搭配在一起，那么三个茶杯颜色全部搭配正确的概率是_____. 【答案】 【分析】根据题意，分析可得三个只有颜色不同的有盖茶杯，将茶杯和杯盖随机搭配在一起，共3×2×1=6种情况，结合概率的计算公式可得答案． 解：根据题意，三个只有颜色不同的有盖茶杯，将茶杯和杯盖随机搭配在一起，共3×2×1=6种情况， 而三个茶杯颜色全部搭配正确的只是其中一种； 故三个茶杯颜色全部搭配正确的概率为． 故答案为：． 【点拨】此题考查概率公式，解题关键在于掌握运算法则. 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子． （1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？ （2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明． 【答案】（1）；（2）不相等，理由详见分析. 【分析】（1）画出树状图，列举出所有情况，再看白色衬衫配米色裙子的结果数，利用概率公式求解即可；（2）根据树状图求得青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数，再由概率公式求得她最不喜欢搭配的概率，与（1）的结果比较即可解答． 解：画树状图得， ， 由树状图可知，共有8种情况， （1）白色衬衫配米色裙子的情况数有1种，所以她最喜欢的搭配的概率为； （2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以她最不喜欢的搭配的概率为． ∵≠， ∴，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等. 【点拨】本考查用列树状图的方法解决概率问题；得到所求的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山东东营·期末）下列成语对应的事件属于随机事件的是（     ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．缘木求鱼 【答案】B 解：选项A水中捞月一定不会发生，属于不可能事件； 选项B守株待兔可能发生也可能不发生，属于随机事件； 选项C水涨船高一定会发生，属于必然事件； 选项D缘木求鱼一定不会发生，属于不可能事件． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列事件中，为必然事件的是（     ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D．13个人中至少有2人的出生月份相同 【答案】D 【分析】结合一年有个月的常识，可直接判断人中至少有人出生月份相同为必然事件，再验证其余选项排除错误答案． 解：D选项中，一年共有个月份，个人中即使前个人出生月份各不相同，第个人的出生月份必然和其中人重复，因此至少有人的出生月份相同，是必然事件． A选项抛掷硬币正面朝上、B选项电影票座位号为偶数均为随机事件，C选项骰子向上一面点数为是不可能事件，均不符合题意． 3．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 【答案】D 解：A、可能摸出3，也可能摸不出3，原说法错误； B、可能摸出5，也可能摸不出5，原说法错误； C、5的数量最少，摸出5的可能性最小，原说法错误； D、1的数量最多，摸出1的可能性最大，原说法正确. 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 解：设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 5．（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 6．（25-26九年级上·河南许昌·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 解：∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 7．（2026·安徽蚌埠·三模）为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：两种方法： ①根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． ②用列表法，如下表所示： 第一名第二名 甲 乙 丙 甲 —— （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） —— （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） —— 由上表可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． 8．（2024·贵州贵阳·模拟预测）小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【答案】B 【分析】先计算不放回抽取两根竹签的数字和的取值范围，再根据随机事件的定义判断各选项． 解：不放回抽取两根竹签，数字和的最小值为，最大值为， ∵ 数字和小于3一定不发生， ∴ A是不可能事件，故A不符合题意； ∵ 数字和等于3可能发生，也可能不发生， ∴ B是随机事件，故B符合题意； ∵ 数字和等于8、大于8均一定不发生， ∴ C、D是不可能事件，故C、D不符合题意． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将剩余交叉点分别记为，则两枚白棋摆放在的位置或者的位置，四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形，再画树状图求解即可． 解：将剩余交叉点分别记为，如图： 则两枚白棋摆放在的位置或者的位置，四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形， 画树状图为： 由树状图可知一共有30种等可能性的结果数，其中以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的结果数有4种， ∴以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是． 10．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较灰色部分的面积即可． 解：由图可知：①“指针落在灰色区域内”的可能性为；②“指针落在灰色区域内”的可能性为；③“指针落在灰色区域内”的可能性为； 因为， 所以指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：②①③． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山东淄博·期末）“煮熟的鸭子飞了”这个事件是_______________．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】不可能事件 解：煮熟的鸭子已经不具备飞行能力，该事件一定不会发生，符合不可能事件的定义，因此该事件是不可能事件． 12．（26-27六年级上·上海·开学考试）有5个女同学、3个男同学玩击鼓传花游戏，花停在________同学手上的可能性比较大． 【答案】女 解：根据题意，得女同学有5人，男同学有3人， 因为，女同学人数大于男同学人数， 所以花停在女同学手上的可能性比较大． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点拨】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 14．（2026·安徽合肥·三模）在一个跷跷板左边坐着一位体重为80公斤的成人，现在有三个小孩，体重分别是50公斤、40公斤和35公斤．从这三个小孩中随机选出两个坐到跷跷板右边．如果这两个小孩的总体重超过成人的体重，成人就会被翘起来．则随机选出的两个小孩能把成人翘起来的概率为____． 【答案】 【分析】先列表得出从三个小孩中随机选两个的所有等可能结果．再找出满足两个小孩总体重超过成人80公斤体重的结果数，根据概率公式计算即可． 解：根据题意，三个小孩体重分别为50公斤、40公斤、35公斤，从中随机选两个，列表如下： 50 40 35 50 40 35 因此所有等可能结果共6种，符合要求的结果共4种， ∴随机选出的两个小孩能把成人翘起来的概率为． 15．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列事件中， ①太阳从西边升起； ②任意摸一张体育彩票会中奖； ③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． 属于不确定事件的________ （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】根据不确定事件是随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 解：①太阳从西边升起，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； ②任意摸一张体育彩票会中奖，③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下，④小明长大后成为一名宇航员，可能发生，也可能不发生，属于随机事件，符合题意． 16．（2026·山东聊城·模拟预测）不透明的袋中装有个红球，个白球，个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球再放回，再摸出一个球，两次摸出的都是白球的概率是______． 【答案】 【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个白球的情况数，即可求出所求的概率． 解：画树状图如图：   共有个等可能的结果，两次摸出的都是白球的结果有个，  两次摸出的都是白球的概率为． 17．（26-27七年级上·河南开封·开学考试）把红、黄两种颜色的球各个放到一个袋子里．至少取出__________个球，可以保证取到两个颜色相同的球．如果把个红球和个黄球放进袋子，任意摸出一个球，摸出__________球的可能性大． 【答案】 黄 解：考虑最不利情况，取出红、黄球各个，此时共取出 个球，再取出个球，一定能得到两个颜色相同的球，计算得至少取出的球数为个； 袋子中黄球数量是，红球数量是， ∵，黄球数量更多， ∴ 摸出黄球的可能性大． 18．（2026·浙江杭州·二模）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为_______． 【答案】 【分析】先判断出随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同，再画树状图，根据概率公式计算即可． 解：由图可知数字的圆心角为， 即随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同， 画树状图如下： 可知共9种情况，其中两次数字相同的情况有3种， 即两次数字相同的概率为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江西抚州·期中）一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球． （1）取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？ （2）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 【答案】（1）取出的球是红球是随机事件，取出的球是蓝球是不可能事件；（2）摸到红球的概率最大，因为红球的数量最多 【分析】（1）由随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可得出结论； （2）根据哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 解：（1）解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∴取出的球是红球是随机事件． ∵袋子中没有蓝色的球， ∴取出的球是蓝球是不可能事件． （2）解：∵袋子中红色的球最多， ∴摸到红球的概率最大． 20．（本小题满分8分）（2025八年级上·北京·专题练习）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成6个扇形，颜色分别为红、黄、蓝三种，其中红色扇形有3个，黄色扇形有2个，蓝色扇形有1个．转动转盘，当转盘停止后，指针指向哪种颜色区域的可能性最大？指向哪种颜色区域的可能性最小？ 【答案】指针指向红色区域的可能性最大，指向蓝色区域的可能性最小 【分析】本题考查概率的基本概念，关键在于理解事件发生的可能性大小与对应区域的数量成正比，通过统计不同颜色区域的数量并比较，即可得出指针指向不同颜色区域的可能性大小关系，这类题目有助于巩固对概率本质的理解． 要确定指针指向哪种颜色区域的可能性最大或最小，需依据“概率大小与对应区域数量成正比”这一原理；由于转盘被等分成6个扇形，每个扇形面积相等，因此某颜色扇形数量越多，指针指向该颜色区域的可能性越大；反之则越小；所以需先明确各颜色扇形的数量，再比较数量多少来判断可能性大小； 解：转盘被等分成6个扇形，指针指向每个扇形的可能性是均等的．红色扇形有3个，其占比为 = ；黄色扇形有2个，占比为 = ；蓝色扇形有1个，占比为．因为 > > ，所以指针指向红色区域的可能性最大，指向蓝色区域的可能性最小． 答：指针指向红色区域的可能性最大，指向蓝色区域的可能性最小． 21．（本小题满分10分）（2026·江苏泰州·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． （1）若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先列举出从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动的结果，得到甲同学被选中的结果，代入简单概率公式计算即可； （2）用列表法得到所有等可能的结果及恰好选中乙、丙两名同学的结果，代入简单概率公式计算即可． 解：（1）解：从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共种等可能的结果，其中含甲同学的结果有种， 甲同学被选中的概率是； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 — 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 — 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 — 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有种， 恰好选中乙、丙两名同学的概率是． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）现有两个转盘，转盘A被平均分成3份，分别标有数字1、2、3；转盘B被平均分成4份，分别标有数字1、2、3、4．转动两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字（若指针指向分界线，则重新转动）． （1）用列表法或画树状图的方法，列出所有等可能的结果； （2）求两个数字之和为偶数的概率． 【答案】（1）画树状图如下： 所有等可能的结果共12种，分别为； （2） 【分析】（1）画树状图可得结果； （2）由（1）得出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知，两个数字之和为偶数的有6种情况， ∴两个数字之和为偶数的概率为． 23．（本小题满分10分）（2024·山东潍坊·模拟预测）某小区针对电动车充电安全问题，举办了一次“安全用电”知识竞赛．现从参赛业主中抽取了人，按年龄（岁）分成组：第①组：，第②组：，第③组：，第④组：，第⑤组：，下面是频数分布直方图．若从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为． （1）第②组有________人；中位数落在第________组（填序号）； （2）把各组年龄的下限与上限的中间值近似看作该组的平均年龄，估计这人的平均年龄为多少？ （3）已知第①组有位男业主，电视台要随机从第①组中抽取名进行采访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到名男业主的概率． 【答案】（1）18，③；（2）43；（3） 【分析】（1）根据题意，求出第④组的人数，用总人数减去各组的人数，即可求出第②组的人数；把人按年龄从小到大排序，中位数为第人的年龄和第人的年龄，即可得到中位数落的位置； （2）根据题意，计算平均数，即可； （3）画出树状图，列出所有等可能的结果，即可解答． 解：（1）解：∵从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为， ∴第④组的人数为：； ∴第②组的人数为：； 把人按年龄从小到大排序，中位数为第人的年龄和第人的年龄， ∴中位数落在第③组． （2）解：这人的平均年龄为：； （3）解：∵第①组有6位业主，其中有位男业主， ∴有女业主（位）， 画树状图如下： 由图可知，共有个等可能的结果，抽到的2名业主恰好都是男业主包含个结果， ∴． 24．（本小题满分12分）（2026·四川眉山·模拟预测）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请回答： （1）本次参加抽样调查的居民有 人；并补充完整条形图； （2）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数为 ； （3）小华把外形相同的A、B、C、D四种粽子各一个煮熟后、吃了两个，用列表法或画树状图的方法，求他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 【答案】（1），补充条形统计图如下： ； （2）；（3） 【分析】（1）根据题意求出参加调查的总人数和喜欢C类红枣粽的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以C类粽子所占的比例即可； （3）画出树状图，得出共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2，即可求解． 解：（1）解：本次参加抽样调查的居民有（人）， 喜欢C类红枣粽的人数有（人）； （2）解：扇形统计图中C所对应的圆心角的度数； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2， ∴他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 随机事件（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】事件的分类 1 【知识点二】随机事件的可能性大小 2 【知识点三】列举随机事件的等可能结果 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】事件类型的判断（必考基础） 2 【题型 2】简单随机事件可能性大小比较 3 【题型 3】 两步试验结果列举（列表法应用） 3 三.题型精析（综合提升） 4 【题型 4】辨析可能性相等问题（易错题） 4 【题型 5】区域角度类可能性排序 5 【题型 6】分步搭配类结果计数 6 四.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.知识梳理与解读 【知识点一】事件的分类 在一定条件下，我们将生活中的事件分为三类，具体定义如下： 1. 必然事件：一定条件下，一定会发生的事件。 2. 不可能事件：一定条件下，一定不会发生的事件。 3. 随机事件：一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件（也叫不确定事件）。 【要点提示】 ① 必然事件和不可能事件统称为确定性事件，结果唯一确定；随机事件属于不确定性事件，结果不唯一。 ② 所有事件的判定都依赖“既定条件”，条件改变，事件类型可能随之改变。 ③ 判定核心：只看“是否一定发生/一定不发生/不确定”，与事件发生的概率大小、个人主观意愿无关。 【知识点二】随机事件的可能性大小 不同随机事件发生的可能性有大有小，可根据事件的客观条件进行比较和判断。 【要点提示】 ① 等可能试验中，某事件包含的等可能结果数量越多，发生可能性越大；反之则越小。 ② 转盘、区域类问题中，对应区域面积越大、圆心角越大、时长越长，事件发生可能性越大。 ③ 可能性大小是整体趋势，不代表单次试验的结果，可能性小的事件也可能发生，可能性大的事件也可能不发生。 【知识点三】列举随机事件的等可能结果 对于分步、多情况的随机试验，常用两种方法列举所有等可能结果，确保不重不漏。 1. 列表法：适用于两步试验，通过表格横向、纵向罗列两次试验的所有情况，清晰呈现全部结果。 2. 树状图法：适用于两步及以上试验，按试验步骤分层画分支，逐层列举所有可能路径。 【要点提示】 ① 列举结果的核心原则：不重复、不遗漏、等可能。 ② 放回试验与不放回试验结果不同，解题时需重点审题，区分试验规则。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】事件类型的判断（必考基础） 【例题1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？请说明理由． （1）车辆随机到达一个路口遇到红灯； （2）两条线段可以组成一个三角形； （3）400人中至少有两人的生日在同一天． 【变式1】（25-26七年级下·广东清远·期末）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．太阳从西边升起 B．任意三角形的内角和为 C．购买一张彩票恰好中奖 D．抛出的篮球一定会下落 【变式2】（25-26六年级下·上海虹口·期末）“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．在“清明”这个节气会下雨是__________事件（填“确定”或“不确定”）． 【变式3】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ （1）在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； （2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； （3）掷一次骰子，向上一面的点数是； （4）过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； （5）太阳从西边落下． 【题型 2】简单随机事件可能性大小比较 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“A”与这张牌是“黑桃”的可能性哪个大？ 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列诗句所描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【变式2】（25-26六年级下·上海青浦·期末）一个不透明的纸箱里共装有18个球，其中有5个白球，6个黄球，剩余的都是红球，摸出_____球的可能性最大． 【变式3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）把一副扑克牌中的13张从到的红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？并写出这些事件发生的可能性的大小． （1）抽到的牌上的数是偶数； （2）抽到的牌上的数不小于6； （3）抽到的牌是梅花； （4）抽到的牌是红桃． 【题型 3】 两步试验结果列举（列表法应用） 【例题3】（25-26九年级上·北京东城·期中）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，请用树状图法求两次摸出的小球标号之和等于5的概率． 【变式1】（2026·湖北武汉·中考真题）乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）为了领略古都魅力，感受中华文明的历史沉淀，鹏鹏和小海准备五一节在西安，洛阳，开封和杭州四个古都城市中各自随机选择一个进行游玩（假设两人选择每个城市的机会均等），则二人恰好选择同一城市的概率为______． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）为了更好地满足同学们的发展需求，学校开设了丰富多彩的校本课程供学生选修．小刚和小红计划从A“趣味编程”、B“园艺种植”、C“传统剪纸”三门校本课程中分别随机选择一门参加． （1）请用列表法或画树状图法，求出两人所有可能的选择结果； （2）求两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的概率． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】辨析可能性相等问题（易错题） 【例题4】（24-25九年级下·云南曲靖·期中）五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． （1）用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． （2）你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 【变式1】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上刻有1到6的点数，下面说法错误的是（     ） A．掷出点数1和点数6的概率相同 B．掷出点数大于5是随机事件 C．掷出点数7是不可能事件 D．掷出大于3的点数与小于3的点数的可能性相同 【变式2】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【变式3】（2024·江苏苏州·模拟预测）甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． （1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 【题型 5】区域角度类可能性排序 【例题5】（2026·陕西西安·二模）为响应国家“科教兴国”战略，丰富学生课余文化生活，提升数学核心素养，学校数学文化兴趣小组为全校学生筹备了一次益智小游戏活动，游戏的项目分别为：A．幻方、B．数独、C．华容道、D．鲁班锁，并制作了如图所示的转盘，已知A、C、D三项游戏所在扇形圆心角皆为，参加者转动一次转盘，转盘停止转动后指针指向的游戏就是他需要参加的游戏项目． （1）若前面12名学生转动转盘后，有3名学生按照指针的指向参加了“数独”游戏，则这12名学生参加“数独”游戏的频率为______； （2）王梓与李鑫同时去参加游戏，请利用树状图或表格求出他们中有一人参加“数独”另一人参加“鲁班锁”游戏的概率． 【变式1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．根据游戏规则，游戏者获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·期末）小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏（红色加蓝色配成紫色）：如图，下面是两个可以自由转动的A、B转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动A、B两个转盘，配成紫色的概率为______． 【变式3】（2026·陕西安康·二模）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图，这是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的三个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． （1）小明转动A盘，指针指向红色扇形区域的概率是_______． （2）同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小卫同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是多少？ 【题型 6】分步搭配类结果计数 【例题6】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）一天晚上，乐乐帮助妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，只好将其中一个杯盖和一个茶杯随机地搭配在一起． （1）用画树状图（或列表法）求这一个茶杯和杯盖颜色搭配正确的概率； （2）若停电时，乐乐在慌乱之中打破了其中一个杯盖，此时他只好在剩下的两个杯盖和三个杯子中随机拿出一个杯盖和一个茶杯搭配在一起，请直接写出这个茶杯和杯盖的颜色搭配恰好正确的概率 ． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）一天晚上，小海帮妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小海只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则颜色完全搭配正确的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）小明在一天晚上帮妈妈洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，这时突然停电了，小明只好将茶杯和杯盖随机搭配在一起，那么三个茶杯颜色全部搭配正确的概率是_____. 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子． （1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？ （2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山东东营·期末）下列成语对应的事件属于随机事件的是（     ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．缘木求鱼 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列事件中，为必然事件的是（     ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 D．13个人中至少有2人的出生月份相同 3．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25九年级上·全国·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 6．（25-26九年级上·河南许昌·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 7．（2026·安徽蚌埠·三模）为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 8．（2024·贵州贵阳·模拟预测）小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 9．（2024·安徽·模拟预测）如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山东淄博·期末）“煮熟的鸭子飞了”这个事件是_______________．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 12．（26-27六年级上·上海·开学考试）有5个女同学、3个男同学玩击鼓传花游戏，花停在________同学手上的可能性比较大． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 14．（2026·安徽合肥·三模）在一个跷跷板左边坐着一位体重为80公斤的成人，现在有三个小孩，体重分别是50公斤、40公斤和35公斤．从这三个小孩中随机选出两个坐到跷跷板右边．如果这两个小孩的总体重超过成人的体重，成人就会被翘起来．则随机选出的两个小孩能把成人翘起来的概率为____． 15．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列事件中， ①太阳从西边升起； ②任意摸一张体育彩票会中奖； ③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． 属于不确定事件的________ （填序号）． 16．（2026·山东聊城·模拟预测）不透明的袋中装有个红球，个白球，个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球再放回，再摸出一个球，两次摸出的都是白球的概率是______． 17．（26-27七年级上·河南开封·开学考试）把红、黄两种颜色的球各个放到一个袋子里．至少取出__________个球，可以保证取到两个颜色相同的球．如果把个红球和个黄球放进袋子，任意摸出一个球，摸出__________球的可能性大． 18．（2026·浙江杭州·二模）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江西抚州·期中）一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球． （1）取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？ （2）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 20．（本小题满分8分）（2025八年级上·北京·专题练习）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成6个扇形，颜色分别为红、黄、蓝三种，其中红色扇形有3个，黄色扇形有2个，蓝色扇形有1个．转动转盘，当转盘停止后，指针指向哪种颜色区域的可能性最大？指向哪种颜色区域的可能性最小？ 21．（本小题满分10分）（2026·江苏泰州·模拟预测）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． （1）若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）现有两个转盘，转盘A被平均分成3份，分别标有数字1、2、3；转盘B被平均分成4份，分别标有数字1、2、3、4．转动两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字（若指针指向分界线，则重新转动）． （1）用列表法或画树状图的方法，列出所有等可能的结果； （2）求两个数字之和为偶数的概率． 23．（本小题满分10分）（2024·山东潍坊·模拟预测）某小区针对电动车充电安全问题，举办了一次“安全用电”知识竞赛．现从参赛业主中抽取了人，按年龄（岁）分成组：第①组：，第②组：，第③组：，第④组：，第⑤组：，下面是频数分布直方图．若从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为． （1）第②组有________人；中位数落在第________组（填序号）； （2）把各组年龄的下限与上限的中间值近似看作该组的平均年龄，估计这人的平均年龄为多少？ （3）已知第①组有位男业主，电视台要随机从第①组中抽取名进行采访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到名男业主的概率． 24．（本小题满分12分）（2026·四川眉山·模拟预测）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请回答： （1）本次参加抽样调查的居民有 人；并补充完整条形图； （2）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数为 ； （3）小华把外形相同的A、B、C、D四种粽子各一个煮熟后、吃了两个，用列表法或画树状图的方法，求他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $