2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03

**基本信息** 以北京中轴线文化、杂交水稻苗高统计、围棋复杂度等真实情境为载体，覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，通过基础题与创新题（如“积和集合”）的梯度设计，适配学业水平合格性考试对数学眼光、思维与语言的考查要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|集合运算、复数坐标、空间线面关系等|第11题结合中轴线文化考查古典概型，体现文化传承| |填空题|3/12|复数模、数据方差、函数性质判断|第20题通过射击环数对比考查方差，培养数据意识| |解答题|4/34|三角函数周期与最值、向量运算、立体几何证明、新定义集合|第25题“积和集合”新定义问题，考查抽象能力与创新思维，呼应核心素养中“数学思维”的推理要求|

2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03·参考答案 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D B A D B C B D 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D C A D D A A C D 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19． 20． ①. 7 ②. ＜ 21．①②③ 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分） 【答案】（1）(答案不唯一) （2），. 【详解】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式即可得解； （2）根据正弦函数的单调性可求最值. 【小问1详解】 因为， 所以为函数的一个周期. ……………………4分 【小问2详解】 当时，， 即， 所以在区间上的最大值和最小值分别为，.……………………8分 23．（本小题满分10分） 【答案】（1），； （2）； （3）. 【详解】 【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【小问1详解】 由题设，； ……………………4分 【小问2详解】 由题设，又， 所以，则，可得； ……………………6分 【小问3详解】 由（2）及，则，可得. ……………………10分 24． （本小题满分8分） 【答案】（1）证明见解析 （2）当点与点重合时，，理由见解析 【详解】 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. ……………………4分 【小问2详解】 在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. ……………………8分 25． （本小题满分8分） 【答案】（1）是； （2） （3）不是，理由见解析. 【详解】 【分析】（1）由题意可完成判断；（2）由题可得，然后分类讨论的可能情况，结合题意可得答案；（3）设集合A中全体元素乘积为，全体元素和为，由题可得，，.然后分别判断是否存在为2,3,4,5,6,7,8,9的集合A，可完成判断. 【小问1详解】 注意到，则取，满足题意. 则是 “积和集合”； ……………………4分 【小问2详解】 由题可得，若，则，符合； 若，则，不满足集合互异性，排除； 若，则，符合； 若，则，符合； 若，则，不整数，不满足题意，排除； 若，则，不为整数，不满足题意，排除； 综上，的所有可能取值为； ……………………6分 【小问3详解】 设，集合A中全体元素乘积为，全体元素和为. 假设为“积和集合”，则，. 因，则. 注意到，则. 若，则，这与题意不符，则， 故，. 若，设，则. 注意到均为奇数，则为偶数，则为偶数，这与矛盾，则不存在满足的集合A； 若，设. 若，设，则， 注意到，则可为. 则为，均不满足题意； 若，则，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 类似以上分析，可得当时，均不合题意. 综上可得，不是“积和集合 ……………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】集合，，则，故选B 2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 3. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】ACD可取特例证伪，对于B，由不等号的传递性即可证明. 【详解】对于A，若则原式不成立，故A错误； 对于B，，即，故B正确； 对于C，若则原式不成立，故C错误； 对于D，若则原式不成立，故D错误； 4．化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算法则及运算律计算即可得解. 【详解】. 故选：A 5．已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【分析】本题利用向量平行的坐标性质列出等式即可求解． 【详解】根据，， 若，则， 即，即． 故选：D． 6． （ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由. 故选：B. 7．已知，则可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案. 【详解】因为，所以，当时，. 8．不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 9．在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【分析】考察直线与平面的位置关系 【详解】由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交， 则与可能平行，也可能是异面直线. 10．设a，b是实数， 则""是""的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】考察不等式的性质和简易逻辑 【详解】充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立， 必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件.故选：D 11．北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【分析】基本事件总数，包含故宫的基本事件个数，由此即可求出概率． 【详解】在4个著名景点中随机选择2个景点，总的选法有：， 其中包含故宫的有：， 则概率． 故选：C． 12．在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案． 【详解】由， 所以.故选：A 13．如图，在平行四边形中，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【分析】利用余弦定理直接求解即可. 【详解】在中，， 由余弦定理可得 . 14．若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方体外接球直径为体对角线，结合球体体积公式求体积. 【详解】由题设，长方体外接球直径为体对角线为， 所以该球体积为. 故选：D 15．如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体中的平行关系和垂直关系，依次判断即可. 【详解】在长方体中，∥，平面，平面，平面，故A正确，B不正确； 平面，平面，，故C不正确； ∥，∥，∥，故D不正确. 故选：A. 16．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 17．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【详解】苗高由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24，故选C 18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 【答案】D 【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D. 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．已知复数，则__________. 【答案】 【详解】 【分析】由复数的加法运算即可求解. 【详解】由题意得. 20． 甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是______；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则______.（填“>”，“=或“<”） 【答案】 ①. 7 ②. ＜ 【详解】 【分析】利用给定数据求出平均数；再利用方差公式求出方差并比较大小. 【详解】甲运动员命中环数的平均数， 乙运动员命中环数的平均数， ， ，因此. 故答案为：7；< 21．已知函数，.设函数， 给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②的最大值为2； ③方程有两个不同的实数解. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②③ 【分析】作出函数的草图，数形结合，判断①②③的准确性即可. 【详解】根据题意，作出函数的草图如下： 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以方程只有一解，为，且. 所以函数的图象，如图所示， 所以在区间上单调递增，故①正确； 函数的最大值是时取得的，为，故②正确； 因为函数的图象与直线的交点有两个，所以方程有两个不同的根，故③正确. 故答案为：①②③ 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知函数. （1）写出的一个周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）(答案不唯一) （2），. 【详解】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式即可得解； （2）根据正弦函数的单调性可求最值. 【小问1详解】 因为， 所以为函数的一个周期. ……………………4分 【小问2详解】 当时，， 即， 所以在区间上的最大值和最小值分别为，.……………………8分 23．（本小题满分10分）已知向量，，． （1）求的坐标，的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【详解】 【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【小问1详解】 由题设，； ……………………4分 【小问2详解】 由题设，又， 所以，则，可得； ……………………6分 【小问3详解】 由（2）及，则，可得. ……………………10分 24．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面； （2）在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）当点与点重合时，，理由见解析 【详解】 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. ……………………4分 【小问2详解】 在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. ……………………8分 25．（本小题满分8分）已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”. （1）若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明） （2）若是“积和集合”，写出的所有可能取值： （3）若，判断是否为“积和集合”，并说明理由. 【答案】（1）是； （2） （3）不是，理由见解析. 【详解】 【分析】（1）由题意可完成判断；（2）由题可得，然后分类讨论的可能情况，结合题意可得答案；（3）设集合A中全体元素乘积为，全体元素和为，由题可得，，.然后分别判断是否存在为2,3,4,5,6,7,8,9的集合A，可完成判断. 【小问1详解】 注意到，则取，满足题意. 则是 “积和集合”； ……………………4分 【小问2详解】 由题可得，若，则，符合； 若，则，不满足集合互异性，排除； 若，则，符合； 若，则，符合； 若，则，不整数，不满足题意，排除； 若，则，不为整数，不满足题意，排除； 综上，的所有可能取值为； ……………………6分 【小问3详解】 设，集合A中全体元素乘积为，全体元素和为. 假设为“积和集合”，则，. 因，则. 注意到，则. 若，则，这与题意不符，则， 故，. 若，设，则. 注意到均为奇数，则为偶数，则为偶数，这与矛盾，则不存在满足的集合A； 若，设. 若，设，则， 注意到，则可为. 则为，均不满足题意； 若，则，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 类似以上分析，可得当时，均不合题意. 综上可得，不是“积和集合 ……………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市学考仿真模拟试卷 数学·答题卡姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计15分） 19．_______________________ 20．_______________________ 21．_______________________ 22. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （续22题） 23． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． 25. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4．化简后等于（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 6． （ ） A. B. C. D. 1 7．已知，则可以是（ ） A. 0 B. C. D. 8．不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9．在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 10．设a，b是实数， 则""是""的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（ ） A B. C. D. 12．在中，，则（    ） A． B． C． D．3 13．如图，在平行四边形中，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 14．若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（    ） A． B． C． D． 15．如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C． D． 16．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 17．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．已知复数，则__________. 20． 甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是______；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则______.（填“>”，“=或“<”） 21．已知函数，.设函数， 给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②的最大值为2； ③方程有两个不同的实数解. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知函数. （1）写出的一个周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 23．（本小题满分10分）已知向量，，． （1）求的坐标，的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值． 24．（本小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面； （2）在直线上是否存在点，使得？说明理由. 25．（本小题满分8分）已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”. （1）若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明） （2）若是“积和集合”，写出的所有可能取值： （3）若，判断是否为“积和集合”，并说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $